Introduccin a la Estadstica Bsica Manuel Spnola ICOMVIS

Introducción a la Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 1

Una visión general de la inferencia estadística Las 4 fases de un estudio o experimento 1. Definición de la población y parámetros de interés 2. Selección de la muestra 3. Análisis de datos 4. Inferencia hacia la población de interés Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 2

Una visión general de la inferencia estadística Selección de la muestra: Aleatorización, Replicación y estratificación (o bloqueo) Población de interés descrita por parámetros. Ejemplo: mapachines adultos en el Refugio de Vida Silvestre Maquenque Parámetro: Proporción de mapachines infectados con el virus de rabia Muestra seleccionada de la población descrita por estadísticos. Ejemplo: Un estudio sobre 100 mapachines adultos del RVS Maquenque encontró que el 47% estaba infectado con el virus de la rabia. Análisis: Gráficos, Estimación y Pruebas Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 3

1. Definición de la población y parámetros de interés v En el ejemplo, la población de interés es todos los mapachines adultos que viven en el Refugio de Vida Silvestre Maquenque. v El parámetro de interés es la proporción de mapachines adultos infectados por el virus de la rabia. v Podría ser posible, aunque extremadamente impráctico, que cada mapachín adulto viviendo dentro de los límites del RVS Maquenque fuera capturado y examinado con un examen para detectar el virus (de esta manera se conocería el valor del parámetro). v Sin embargo, en la práctica es imposible examinar cada mapachín del RVS Maquenque. v Por lo tanto, se toma una muestra. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 4

2. Selección de la muestra v Se requiere una muestra que sea representativa v Se requiere que la respuesta de nuestra muestra sea precisa. v Se requiere que la muestra tome en consideración divisiones o grupos establecidos de la población de interés. v Para alcanzar estos 3 requerimientos se debe recurrir a 3 principios fundamentales de la estadística (ARE): Aleatorización Replicación = Tamaño de muestra Estratificación (o Bloqueo) Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 5

2. Selección de la muestra Aleatorización v Este es el aspecto más importante de un estudio o experimento v Asegura que la muestra es “representativa” de la población asegurando que, “en promedio”, la muestra contiene una proporción de unidades de población que es aproximadamente igual a la proporción encontrada en la población. v Si un experimento no es aleatorizado o un estudio no colecta sus muestra al azar, raramente proporciona información útil. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 6

2. Selección de la muestra Replicación v Asegura que los resultados de un experimento o estudio serán lo suficientemente precisos para ser útiles. v Una muestra grande no implica que la muestra sea representativa (sólo la aleatorización asegura representatividad). v No se debe confundir replicación con repetir el estudio una segunda vez. v Se escogen 100 mapachines para dar cierta precisión a los resultados. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 7

2. Selección de la muestra Estratificación (o Bloqueo) v En ciertos estudios o experimentos el investigador conoce de antemano una variable que influye marcadamente sobre la variable respuesta. Por ejemplo, en el caso de los mapachines se puede reconocer relaciones fuertes entre diferentes regiones del RVS Maquenque y la variable respuesta. v La estratificación posibilita incrementar la precisión del estimado al estratificar o bloquear la población en grupos más homogéneos. v En cada estrato o bloque se realiza un muestreo aleatorio y los resultados son entonces combinados. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 8

3. Análisis de Datos v Una vez que el muestreo fue realizado se tiene un conjunto de información (estadísticos) colectado de la población. v El análisis de los datos depende de los datos colectados ( la muestra) y de la manera que los datos fueron colectados (el muestreo). Debe haber concordancia entre diseño de muestreo y análisis. § Por ejemplo, si los datos fueron colectados usando un muestreo aleatorio estratificado, entonces se deben usar métodos de análisis para muestreos estratificados. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 9

4. Inferencia hacia la población de interés v El interés está realmente en la población, no en la muestra. v La muestra es simplemente un elemento para obtener información sobre la población. v La información de la muestra debe ser usada para hacer inferencias sobre la población mediante: Gráficos Estimación Prueba de Hipótesis Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 10

4. Inferencia hacia la población de interés Gráficos v Un buen gráfico (figura) es preferible a una tabla de números o estadísticos. v El gráfico debe ser claro, relevante e informativo. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 11

4. Inferencia hacia la población de interés Estimación v El número obtenido de nuestra muestra es un estimado del verdadero (y desconocido) valor del parámetro poblacional. v Siempre se debe reportar una medida de precisión del estimado. v Hay diferentes manera de reportar la precisión de un estimado. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 12

4. Inferencia hacia la población de interés Prueba de Hipótesis (Estadística) v Puede haber un estudio previo en el RVS Maquenque y se quiere comparar si la tasa de infección aumento, es estable o disminuyó. v Puede haber un estudio en otra zona o parque nacional y se quiere comparar si la tasa de infección es mayor, igual o menor. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 13

Variables Aleatorias Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 14

Escalas o Niveles de medida Existen 4 escalas de medidas que deben ser consideradas: 1. Datos Nominales 2. Datos Ordinales 3. Datos de Intervalo 4. Datos de Razón (Racional) Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 15

Escalas de medidas 1. Datos Nominales § Son datos de clasificación (ejemplo: macho, hembra) § No tienen orden (no tiene sentido afirmar que macho > hembra). § Las etiquetas son arbitrarias: macho/hembra, 1/0. § Se puede examinar si el dato en escala nominal pertenece a un determinado valor (por ejemplo si el sexo de un animal es hembra) o contar el número de ocurrencia de cada valor (contar el número de machos en una muestra). 2. Datos Ordinales § Los datos pueden ser ordenados pero las diferencias entre valores no pueden ser cuantificadas. § Escala de satisfacción de 1 a 5. § Clasificación de hoteles (1 a 5 estrellas). § Se puede ordenar un dato como menor o mayor que otro valor, pero no se puede “cuantificar” la diferencia entre 2 valores ordinales. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 16

Escalas de medidas 3. Datos de Intervalos § Los datos pueden ser ordenados, tienen una escala constante, pero no tienen un cero natural. § Esto implica que las diferencias entre valores tienen sentido, pero los cocientes entre valores no. Ejemplo: 30°C - 20°C es igual a 20°C -10°C, pero 20°C/10°C no es 2 veces más caliente. § Temperaturas, fechas. § El valor 0°C es arbitrario. 4. Datos de Cociente § Los datos pueden ser ordenados, tienen un a escala constante, y tienen un cero natural. § Altura, peso, edad, largo, ancho, etc. § Tiene sentido decir que 10 m es 2 veces más largo que 5 m. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 17

Variables Variable Aleatoria (Random Variable) v Una propiedad medida (peso corporal, número de individuos, p. H, temperatura) por observaciones individuales. v El nombre aleatorio no significa que el peso de un individuo es aleatorio, sino que no se puede predecir el peso de un individuo hasta que se mide. v Es una medida numérica de un resultado aleatorio Ejemplo Variable aleatoria: peso corporal de mapachines adultos Población Estadística: Pesos corporales de mapachines adultos del Parque Nacional Manuel Antonio Muestra 3, 9 kg 2, 4 kg 3, 5 kg 3, 8 kg 3, 4 kg 3, 7 kg 3, 4 kg 2, 6 kg 3, 6 kg 2, 8 kg 3, 4 kg Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 3, 4 kg 18

Tipos de variables Variable Nominal Variable Cualitativa o Categórica Variable Ordinal Variable Discreta Variable Cuantitativa Variable Continua Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 19

Tipos de variables Variable continua Variable categórica Variable discreta Peso corporal (kg) Sexo No. de garrapatas 12. 8 Hembra 16 14. 5 Macho 5 11. 0 Hembra 14 Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 20

Tipos de variables Variables Categóricas v Son factores con 2 o más niveles. Ejemplos § Vivo/muerto § Macho/hembra § Edades de tilapias (por ejemplo, 5 clases) Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 21

Tipos de variables Variables Discretas v Variables que pueden tomar sólo números enteros. Ejemplos § Numero de huevos por nido § Numero de crías por camada § Numero de animales o plantas por unidad espacial o temporal Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 22

Tipos de variables Variables Continuas v Variables que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplos § Peso corporal de tapires § Altura de árboles § Largo de ala de tucanes § Oxigeno disuelto en el agua § Concentración de pesticida en tejidos de peces § Desviaciones del promedio de pulsaciones por minuto del corazón (números reales negativos y positivos) Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 23

Estadística Descriptiva e Inferencial Estadística Descriptiva Estadística Inferencial (Estimación de parámetros y Prueba de hipótesis) Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 24

Estadística Descriptiva e Inferencial Estadística descriptiva Estadística inferencial Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos. Comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población a partir de una pequeña parte de la misma (muestra). Podemos clasificar la estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 25

Estadística Inferencial v La estadística inferencial se concentra en la estimación de parámetros y la prueba de hipótesis estadísticas. v La población aquí no se refiere a una población biológica , se refiere a una población estadística. v Una población estadística es definida como la colección de todas las posibles observaciones de interés y sobre la cual nosotros deseamos hacer inferencias. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 26

Ejemplos de Poblaciones Estadísticas Población estadística: Venados de cola blanca (Odocoileus viginianus) en la Provincia de Guanacaste. Medida: peso corporal Diseño de muestreo: muestreo aleatorio estratificado, con estratificación basada en sexo y edad. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 27

Ejemplos de Poblaciones Estadísticas Población estadística: Cajas nidos del pato arcoiris (Aix sponsa) en el Refugio Nacional de Vida Silvestre Ottawa, Ohio, EUA. Medidas: uso/no uso. Diseño de muestreo: muestreo aleatorio simple. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 28

Ejemplos de Poblaciones Estadísticas Población estadística: Osos hormigueros (Myrmecophaga tridactyla) en 4 Parques Nacionales de Brasil. Medidas: Densidad (Número de individuos /ha). Diseño de muestreo: muestreo aleatorio estratificado, con estratificación basada en cada uno de los parques nacionales. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 29

Estadística Descriptiva Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 30

Resumen Estadístico de una Variable Parámetro de población vs estadístico de muestra v Es muy importante distinguir entre un parámetro de población y un estadístico de muestra. v Un parámetro es un resumen numérico de una población. Como una población tiene muchos miembros o elementos, el valor del parámetro es difícil de conocer, al menos que se realice un censo. v Cualquier medida calculada de un subconjunto de la población (muestra) es un estadístico. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 31

Resumen Estadístico de una Variable Parámetro de población vs estadístico de muestra Situación Parámetro Poblacional Estadístico de muestra Encuesta política a favor de candidatos presidenciales Proporción de votantes a favor de un candidato Proporción a favor de un candidato de 1000 encuestados Nivel de DDT (pesticida) en huevos de una especie de ave rapaz que habita en Guatemala Nivel medio de DDT en todos los huevos de la especie en Guatemala Nivel medio de DDT en 150 huevos de la especie colectados en Guatemala v Para distinguir entre parámetros poblacionales y estadísticos de muestra se usan diferentes símbolos. Generalmente se usan letras Griegas para referirse a parámetros y letras Romanas para referirse a estadísticos. v Se debe recordar que los estadísticos de muestra estiman el parámetro de población y la Estadística tiene como objetivo evaluar que tan bien el estadístico estima el verdadero parámetro de la población. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 32

Estimación de Parámetros v Un parámetro usualmente necesita ser estimado § Si se intenta conocer el peso corporal de los mapachines del PN Manuel Antonio no se pueden pesar todos los mapachines del parque. v La estimación de parámetros se basa en la colecta de una muestra representativa de datos. v Estos datos son colectados de acuerdo a un protocolo de base científica (diseño de muestreo). Población Estadística: Mapachines adultos del Parque Nacional Manuel Antonio Medida: Pesos corporal Población estadística Muestra PN Manuel Antonio Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 33

Definiciones Muestreo: la selección de una porción de un todo de tal manera que podemos usar esa porción para informarnos sobre el todo. Población estadística: la colección completa de elementos de estudio. La agregación completa de elementos de donde la muestra es colectada. Elemento: un miembro de una población (un animal, una planta, una caja nido, una madriguera). Muestra: es un grupo de unidades seleccionados de un grupo mayor (la población). La inferencia estadística trata de como obtener información (inferir) sobre los parámetros a partir de subconjuntos de valores (muestras) de la variable. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 34

Definiciones Unidad de muestreo Es aquel elemento o conjunto de elementos considerados para ser seleccionados por un protocolo de muestreo. En muestreos de un solo nivel (single-stage), la unidad de muestreo equivale al elemento. En un muestreo de 3 niveles (ejemplo, grupo de casas, familia, adultos), todos son unidades de muestreos y solo los últimos son elementos. Cada uno de los niveles se denominaría, unidad de muestreo primaria, unidad de muestreo secundaria, unidad de muestreo final o terciaria (en el ejemplo). Parámetro (estadísticos de población) § Un parámetro es un valor, usualmente desconocido (y por lo tanto tiene que ser estimado), que representa cierta característica de la población. § Ejemplos: peso corporal, tamaño de población, diversidad de especies. § Se considera un valor fijo (no varían, no son variables aleatorias). § Generalmente se caracterizan con letras griegas: μ, σ, Ψ Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 35

Definiciones Estadístico (Estadístico muestral) § Es una cantidad que es calculada de una muestra de datos. § Brinda información sobre valores no conocidos en la población correspondiente § Por ejemplo, el promedio de los datos en una muestra brinda información sobre el promedio total en la población de donde se tomó la muestra. § La media muestral, la varianza muestral, etc. , son estadísticos muestrales. § Generalmente se caracterizan con letras romanas ( ejemplo, , s 2), mientras que los equivalentes valores no conocidos (parámetros) son caracterizados con letras griegas (ejemplo, µ, σ). Estimado § Un estimado es una indicación del valor de una cantidad no conocida (parámetro) basado en los datos observados. § Más formalmente, un estimado es el valor de un estimador y es usado para indicar el valor de un parámetro. § Ejemplo: Estimado del peso promedio de los mapachines adultos del PN Manuel Antonio = 5. 5 kg Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 36

Definiciones Estimador Es una formula o expresión matemática usado para calcular un estimado. Ejemplo: Estimador de la media de la población Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 37

Medidas de Tendencia Central Media, Mediana y Moda Ejemplo Valores de DDT (ppm) en una muestra de 20 huevos de una especie de ave rapaz en México. 18 18 21 21 25 25 25 35 35 50 70 § En lugar de reportar los 20 valores se quiere reportar un valor “típico” que caracterice a la muestra. § Una medida apropiada puede ser un valor en el medio reconociendo que algunos huevos van a tener menos DDT y otros van a tener más DDT debido a variación en el tipo y cantidad de alimento consumido por las hembras. § 3 medidas de tendencia central son la media, la mediana y la moda. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 38

Medidas de Tendencia Central Media, Mediana y Moda Parámetro Media de la población (μ) Estadístico Como se calcula Comentarios Medida de localización. La media es sólo válida para datos de intervalo o cociente. Es sensitiva a valores atípicos (outliers). Media de la muestra ( ) Se ordenan los datos de menor a mayor Si n es impar la mediana es X(n+1)/2 Si n es par la mediana es (X(n/2) + X (n/2+1))/2 La mediana divide al conjunto de datos en 2 mitades con igual número de observaciones. La mediana es valido para datos ordinales, datos de intervalo, o datos de cociente (racional). No es sensitiva a valores atípicos. Mediana de la población (no símbolo) Mediana de la muestra (no símbolo) Moda de la población (no símbolo) La moda es el valor que ocurre más Moda de la La moda es válido para todas las escalas de muestra (no frecuentemente medidas. símbolo) (pueden existir múltiples modas) Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 39

Medidas de Tendencia Central Media, Mediana y Moda Ejemplo Valores de DDT (ppm) en una muestra de 20 huevos de una especie de ave rapaz en México. 18 18 21 21 25 25 25 35 35 50 70 21 + 25/2 Mediana Tamaño de muestra Media muestral Mediana muestral Moda muestral 20 544/20 = 27, 2 ppm (21 + 25)/2 = 23 ppm 21 ppm Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 40

Medidas de Tendencia Central Media, Mediana y Moda v Es muy raro que las 3 medidas sean exactamente iguales. v Si los datos tiene una distribución perfectamente simétrica entonces las medidas serán exactamente iguales (media = mediana = moda). v Como la distribución se torna asimétrica, la media muestral se aleja de la mediana en la dirección de la cola más larga. v La media es afectada por valores extremos, pero la mediana no. v Un simple manera de recordar la relación entre las 3 medidas es: “La mediana se ubica siempre entre la media y la moda” Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 41

Medidas de Tendencia Central Moda 18, 0 Mediana Media 19, 0 19, 3 Frecuencia Mean = 20, 0 Mediana =20, 0 Moda = 20, 0 Frecuencia Media, Mediana y Moda Media 20, 7 Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) Mediana Moda 21, 0 22, 0 42

Medidas de Tendencia Central Media, Mediana y Moda Si tuvieran que reportar una medida de tendencia central o localización para describir los salarios de los empleados de la UNA ¿Qué medida escogerían? La mediana es mejor, porque refleja mejor que la media los ingresos de los empleados de la UNA, ya que la media puede estar inflada por la presencia de 2 o 3 salarios altos. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 43

Medidas de Tendencia Central Media Geométrica y Media Armónica v Otras 2 medidas de tendencia central v Las veremos en el práctico Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 44

Medidas de Dispersión La Varianza y el Desvío Estándar v No es suficiente reportar una media u otra medida de localización o posición porque siempre hay variación en los datos. v Una medida de la variabilidad es quizás la medida más importante en estadística. v A mayor variabilidad en nuestros datos, mayor será nuestra incertidumbre en los valores de los parámetros estimados de los datos, y más baja será nuestra capacidad de poder encontrar diferencias entre estimados. v El desvío estándar (DE) mide la dispersión (variación) de los datos con respecto al centro de los mismos. v Si todos las observaciones son iguales, entonces el DE = 0. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 45

Medidas de Dispersión El Desvío Estándar y la Varianza Parámetro Estadístico Como se calcula Comentarios Desvío Estándar de la población ( ) Desvío Estándar de la muestra (s) El desvío estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Sensible a valores atípicos (outliers). Varianza de la población ( 2) Varianza de la muestra (s 2) La varianza es el cuadrado del desvío estándar. Sensible a valores atípicos (outliers). Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 46

Medidas de Dispersión Asimetría y Kurtosis v Hasta ahora hemos visto los 2 primeros momentos de una distribución muestral, la media y la varianza. v La asimetría involucra el 3 er momento y la kurtosis involucra el 4 to momento. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 47

Medidas de Dispersión Asimetría v La asimetría describe como la muestra difiere en su forma de una distribución simétrica. v La asimetría es el 3 er momento dividido por el desvío estándar al cubo (s 3) (es el 3 er momento de una distribución estandarizado). v Una distribución normal es simétrica y tiene asimetría = 0. v Una asimetría positiva indica una cola larga hacia la derecha. v Una asimetría negativa indica un acola larga hacia la izquierda. Asimetría positiva 3 er Momento Asimetría negativa Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 48

Medidas de Dispersión Kurtosis v La kurtosis mide cuanto de la densidad de probabilidades está distribuido en las colas vs el centro de la distribución. v Se dice que una distribución muestral es platikurtica (aplanada) cuando g 2 < 0 y leptokurtica (picuda) cuando g 2 > 0. Platikurtica 4 to Momento Leptokurtica Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 49

Medidas de Dispersión Percentiles v Un percentil es el valor de una variable por debajo del cual se encuentra cierto porcentaje de las observaciones. Por ejemplo: P 20 (percentil de orden 20) es el valor de la variable, tal que, el 20% de los datos son iguales o inferiores a P 20. Puede o no coincidir con un valor observado v El 25 percentil es el 1 er cuartil, el 50 percentil es la mediana, y el 75 percentil es el 3 er cuartil. v Por ejemplo, si un estudiante mide 185 cm y constituye el 90 percentil, entonces 90% de los estudiantes tienen alturas menos de 185 cm y 10% de los estudiantes tienen pesos mayores a 185 cm. Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 50

Medidas de Dispersión Percentiles P 20 = X(0, 20 x 24) = 4, 8 5 (la 5 ta observación) = 2, 1 P 75 = X(0, 75 x 24) = X 18 + X 19/2 =(el promedio de las observaciones 18 y 19)= (7, 5 + 8, 0)/2 =7, 75 P 50 = X(0, 50 x 24) = X 12 + X 13 = 4, 9 + 5, 2/2 = 5, 05 P 20 = 2, 1 P 75 = 7, 75 Xmin = 1, 1 0 1, 0 Xmax = 9, 9 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 8, 0 9, 0 10, 0 51

Medidas de Dispersión Coeficiente de Variación v El coeficiente de variación es una medida de variabilidad. v Se calcula dividiendo el desvío estándar por la media (y se lo multiplica por 100 para expresarlo como porcentaje). v Por ejemplo, si un grupo de datos tiene un CV = 16, 5% y otro grupo de datos tiene un CV = 25%, se puede concluir que el primer grupo de datos es menos variable que el segundo. Desvío estándar Media Estadística Básica - Manuel Spínola (ICOMVIS - UNA) 52