INTERVALOS CARACTERSTICOS Si la variable x tiene una

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Si la variable x tiene una distribución de media μ, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media, (μ - k, μ + k), tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p: • P(μ – k < x < μ + k) = p Área=0, 05 Área=0, 9 -k @ Angel Prieto Benito 0 Área=0, 05 k Matemáticas 2º Bachillerato CS 1

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Ejemplo_1 • Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0, 9. • Si dentro del intervalo hay un área de 0, 9, fuera de él habrá 0, 1. • Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0, 05. Por tanto: P (z > k) = 0, 05 P (z ≤ k) = 0, 95 • En las tablas encontramos p(1, 64) = 0, 9495, p (1, 65) = 0, 9505. • Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1, 64 y 1, 65. Es decir, k = 1, 645 y, por tanto, P (-1, 645 < z < 1, 6451) = 0, 9. • Hemos encontrado un intervalo [-1, 645; 1, 6451], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 2

PRINCIPALES VALORES CRÍTICOS • En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. • Principales valores críticos • 1–α α/2 zα/2 • 0, 95 • 0, 99 0, 05 0, 025 0, 005 1, 645 1, 96 2, 575 -k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 0 k=zα/2 3

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Ejemplo_2 • Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0, 95. • Si dentro del intervalo hay un área de 0, 95, fuera de él habrá 0, 05. • Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0, 025. • Por tanto: P (z > k) = 0, 025 P (z ≤ k) = 1 – P (z > k) = 0, 975 • En las tablas encontramos p(1, 96) = 0, 975. • Hemos encontrado un intervalo [-1, 96; 1, 96], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 95% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 4

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • • Ejemplo_3 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0, 99. • Si dentro del intervalo hay un área de 0, 99, fuera de él habrá 0, 01. • Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0, 005. Por tanto: P (z > k) = 0, 005 P (z ≤ k) = 0, 995 • En las tablas encontramos Ф(2, 57) = 0, 9949 y Ф(2, 58) = 0, 9951 • Tomamos un valor intermedio entre ambos: k = 2, 575, que nos asegure o aproxime a que su probabilidad sea p=0, 9950 • Hemos encontrado un intervalo [-2, 575; 2, 575], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 99% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 5

Intervalos en N(μ, σ) • • A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar N( 0, 1) , mediante el cambio de variable: X- μ Z = ----σ Operando tenemos: X - μ = Z. σ X = μ + Z. σ • En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p=1 – α es: (μ – Zα/2. σ , μ + Zα/2. σ) • Ejemplo • • • Para el 90% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo. (μ – Zα/2. σ , μ + Zα/2. σ) = (50 – 1, 645. 6 , 50 + 1, 645. 6) = = ( 50 – 9, 87, 50 + 9, 87) = (40, 13, 59, 87) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 6

INTERVALOS Y VALORES CRÍTICOS • En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. • Probabilidades Valor crítico Intervalos característicos • 1–α α/2 zα/2 (μ – Zα/2. σ , μ + Zα/2. σ) • 0, 95 • 0, 99 0, 05 0, 025 0, 005 1, 645 1, 96 2, 575 (μ – 1, 645. σ , μ + 1, 645. σ) (μ – 1, 965. σ , μ + 1, 96. σ) (μ – 2, 575. σ , μ + 2, 575. σ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 7

INTERVALOS Y NIVEL DE CONFIANZA -k 0, 05 0, 025 0 0, 95 k=z α/2 0, 05 0, 025 0, 005 0, 99 0, 005 • – 4. σ @ Angel Prieto Benito –σ μ Matemáticas 2º Bachillerato CS +σ + 4. σ 8