INTERPOLAZIONE G Barbaro interpolazione 1 In Statistica e

INTERPOLAZIONE G. Barbaro interpolazione 1

In Statistica e in genere nelle scienze sperimentali, si studiano o si osservano “relazioni” fra grandezze G. Barbaro interpolazione 1

Per esempio si può pensare allo studio della relazione fra reddito e risparmio di una popolazione oppure alla relazione tra altezza e peso dei militari, ecc. G. Barbaro interpolazione 1

n Di solito, i punti osservati si dispongono su un diagramma chiamato diagramma a dispersione: G. Barbaro interpolazione 1

Partendo da queste coppie di dati (x, y), si vuole determinare la funzione y = f(x) che descrive il fenomeno G. Barbaro interpolazione 1

Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l’andamento di un insieme di punti. G. Barbaro interpolazione 1

Per trovare la funzione si può procedere in due modi: 1) determinare la funzione che assuma esattamente i punti (x, y) osservati (interpolazione per punti noti, o interpolazione matematica); 2) determinare la funzione che si accosti il più possibile ai punti (x, y) osservati (interpolazione fra punti noti, o interpolazione statistica). G. Barbaro interpolazione 1

TIPI DI INTERPOLAZIONE Interpolazione MATEMATICA Calcola una funzione che passa PER tutti i punti Interpolazione STATISTICA Calcola una funzione che passa FRA i punti G. Barbaro interpolazione 1

A CHE COSA SERVE ? inserimento di uno o più dati in una serie che presenta vuoti. n ESTRAPOLAZIONE (valutazione di valori esterni alla serie dei dati). n PEREQUAZIONE (livellazione o “regolazione” dei dati di una serie non regolare attraverso la “sostituzione” al posto dei dati rilevati, di dati ottenuti dalla funzione matematica trovata). n G. Barbaro interpolazione 1

INTERPOLAZIONE MATEMATICA n SI UTILIZZA QUANDO LA FUNZIONE Y=f(X) DEVE PASSARE PER TUTTI I PUNTI OSSERVATI. n La scelta della funzione interpolante dipende dai casi, ma la funzione più usuale è quella espressa da un polinomio di grado pari a superiore a n-1 se i punti sono n: y= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + an-1 xn-1 n n in cui, le “a” sono i parametri e sono in numero uguale ai punti attraverso i quali bisognerà interpolare. n Per esempio, se i punti fossero 3, la funzione sarebbe: y=a 0+a 1 x+a 2 x 2 G. Barbaro interpolazione 1

ESEMPIO n n n Esempio: Un insegnante deve trasporre delle valutazioni degli scritti dell’esame di stato da punteggio grezzo, in formato percentuale, a punteggio finale, in 15 esimi; vuole mantenere le seguenti corrispondenze: punteggio grezzo (x) punteggio finale (y) 0% 4 50% 10 100% 15 Si tratta di determinare l’equazione di una funzione di secondo grado y=a 0+a 1 x+a 2 x 2 in quanto i punti da interpolare sono 3: A(0; 4), B(0, 5; 10), C(1; 15). G. Barbaro interpolazione 1

Si costruisce un sistema imponendo le condizioni di passaggio della funzione per i 3 punti: passaggio per A: 4=a 0 passaggio per B: 10=a 0 + 0, 5²a 2 + 0, 5 a 1 passaggio per C: 15= a 0 + 1²a 2 + 1 a 1 n Il sistema, risolto, da la seguente funzione: y=-2 x²+13 x+4 n G. Barbaro interpolazione 1

Il polinomio interpolatore le formule di Lagrange e di Newton Supponiamo di avere n punti sul piano cartesiano, (x 1, y 1), (x 2, y 2), . . . , (xn, yn). Come si può fare per scrivere una funzione polinomiale y = P(x) che passi per tutti i punti dati? G. Barbaro interpolazione 1

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La formula generale di Lagrange, scritta per esteso, è la seguente: Equazione della curva polinomiale di grado (n-1), passante per i punti (x 1, y 1), (x 2, y 2), . . . , (xn, yn) G. Barbaro interpolazione 1

INTERPOLAZIONE STATISTICA n Mentre nella interpolazione matematica la funzione interpolante deve passare per tutti i punti sperimentali, nell’interpolazione statistica la funzione passa attraverso i punti osservati. G. Barbaro interpolazione 1

L’interpolazione statistica viene utilizzata quando il numero di punti sperimentali è elevato G. Barbaro interpolazione 1

n E’ necessario che la funzione interpolante passi il più vicino possibile ai valori interpolati. n Ci sono vari metodi per attuare ciò, ma il più usato è quello dei minimi quadrati G. Barbaro interpolazione 1

n n Questo metodo consiste nel determinare i parametri della funzione interpolante prescelta in modo che sia minima la somma dei quadrati degli scostamenti dei punti dalla funzione La condizione di accostamento è dunque la seguente: y i ŷ x i G. Barbaro interpolazione 1

La funzione teorica può assumere differenti aspetti RETTA PARABOLA FUNZIONE ESPONENZIALE G. Barbaro interpolazione 1

CASO DELLA RETTA Ŷ = bx + a i parametri da determinare sono quindi a e b Questa è una funzione a due variabili di cui occorre trovare il minimo Si procede con la soluzione del sistema che pone le derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca di eventuali punti critici: G. Barbaro interpolazione 1

Utilizzando il metodo di Cramer si giunge alle soluzioni del sistema G. Barbaro interpolazione 1

E’ evidente che è difficile memorizzare le precedenti soluzioni. Esistono allora due procedimenti che è possibile seguire: 1° procedimento Si calcola il fattore b utilizzando la formula Mentre il fattore a si può ricavare dalla seconda equazione del sistema Sono le medie delle X e delle Y G. Barbaro interpolazione 1

ESEMPIO X Y x 2 XY 1 12 12 1 2 13, 5 27 4 3 14, 8 44, 4 9 4 16, 5 66 16 5 18, 2 91 25 TOT. 15 75 240, 4 55 G. Barbaro interpolazione 1

2° Procedimento Con questo procedimento si procede al calcolo delle medie dei valori sperimentali di X e Y e successivamente si calcolano gli scarti dalla media G. Barbaro interpolazione 1

ESEMPIO X Y X' Y' X'2 1 10 -2 -15 30 4 2 17 -1 -8 8 1 3 26 0 1 0 0 4 32 1 7 7 1 5 40 2 15 30 4 15 125 0 0 75 10 tot = 15/5 =3 = 125/5 = 25 G. Barbaro interpolazione 1

PERTANTO LA RETTA INTERPOLATRICE HA EQUAZIONE Y = 2, 5+ 7, 5 X G. Barbaro interpolazione 1

INDICI DI ACCOSTAMENTO Per valutare la bontà dell’accostamento tra i dati sperimentali e la funzione ottenuta con i minimi quadrati si utilizzano alcuni indici Indice lineare: I valori degli indici devono essere molto piccoli inferiori a 0. 1 Indice quadratico G. Barbaro interpolazione 1

CASO DELLA PARABOLA La condizione di accostamento è la seguente: Si tratta dunque di calcolare il minimo di una funzione a tre variabili [f(a, b, c)]. Si procede con la soluzione del sistema che pone le derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca del punto critico (minimo relativo, in questo caso): G. Barbaro interpolazione 1

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Esempio: Calcolare e rappresentare graficamente la parabola interpolante a minimi quadrati per i seguenti punti: x 1 2 4 6 8 12 y 9 5 4 5 6 10 Svolgimento: Conviene sviluppare i calcoli per le varie sommatorie in tabella (facilmente adattabile ad un foglio elettronico) come segue: G. Barbaro interpolazione 1

Si imposta e si risolve il seguente sistema ottenendo la seguente funzione y = 0, 1448 x² - 1, 6363 x + 9, 1052 G. Barbaro interpolazione 1

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REGRESSIONE E CORRELAZIONE In statistica spesso, nello studio delle relazioni tra due variabili, si è interessati ad accertare come varia una di queste in funzione dell’altra cioè ad individuare una opportuna funzione che metta in relazione le due variabili. Questo studio si chiama REGRESSIONE Per esempio potrebbe essere condotto uno studio tra REDDITO E CONSUMI. G. Barbaro interpolazione 1

* In migliaia di euro REDDITO* CONSUMI* 10 2 15 2, 3 18 2, 1 20 2, 5 22 2, 6 25 2, 5 30 3 La domanda è la seguente: esiste un legame tra le due variabili statistiche? E se esiste quanto è forte o debole questo legame? G. Barbaro interpolazione 1

Qualche studente potrebbe affermare che REGRESSIONE ED INTERPOLAZIONE siano la stessa cosa. In parte è vero. Però mentre nell’interpolazione le due variabili possono anche non essere di tipo statistico(esempio anni, vendite) nella regressione lo studio viene condotto su due variabili statistiche. La CORRELAZIONE invece studia LA FORZA del legame tra le due variabili statistiche. G. Barbaro interpolazione 1

Lo studio della regressione e della correlazione si occupa della ricerca del legame e della “misurazione” di tale legame tra due variabili statistiche. Nel nostro corso si tratta della regressione e della correlazione lineare intendendo che viene ricercato tra le variabili statistiche un legame di tipo lineare Lo studio può esser condotto in due modi: • attraverso la regressione ( si ricerca il legame tra le due variabili statistiche esprimendolo attraverso una funzione matematica) • attraverso la correlazione ricercando la forza o debolezza di tale legame con il calcolo di un indice G. Barbaro interpolazione 1

REGRESSIONE Il termine regressione fu introdotto da Galton (1822 -1911) a seguito di uno studio sull’ereditarietà dei caratteri biologici di tipo quantitativo. In particolare Galton prese in esame due variabili costituite rispettivamente dalle altezze dei padri e dalle altezze dei figli. Egli rilevò che le altezze dei figli di padri molto alti erano mediamente inferiori a quelle dei padri, o più precisamente, regredivano verso la media generale delle altezze della popolazione Galton chiamò regressione tale tendenza G. Barbaro interpolazione 1

In generale in statistica lo studio della regressione consiste nella determinazione di una funzione matematica che esprima la relazione tra due variabili Siano X e Y due variabili statistiche misure di due caratteri quantitativi di popolazione statistica (ex: X = Reddito e Y = Spese) La REGRESSIONE: studia come una variabile varia al variare dell’altra determina una funzione matematica che esprima come una variabile varia al variare dell’altra G. Barbaro interpolazione 1

Si parla di regressione lineare se la funzione è di tipo lineare Utilizzando il metodo dei minimi quadrati si determinano due rette di regressione: La retta che esprime Y come funzione della X : y = b 1 x + a 1 E la retta che esprime la X come funzione della Y : x= b 2 y + a 2 b 1, b 2: coefficienti di regressione G. Barbaro interpolazione 1

FORMULE PER IL CALCOLO : 1° procedimento Sono le medie delle x e delle y G. Barbaro interpolazione 1

FORMULE PER IL CALCOLO: 2° procedimento G. Barbaro interpolazione 1

b 1 E b 2 HANNO SEMPRE LO STESSO SEGNO Se b 1 e b 2 sono positivi esiste un legame lineare diretto (all’aumentare di una variabile aumenta l’altra) Se b 1 e b 2 sono negativi esiste un legame lineare inverso (all’aumentare di una variabile diminuisce l’altra) Se esiste un legame lineare perfetto (diretto o inverso in base al segno dei coefficienti) e le due rette sono coincidenti Se b 1 = b 2 =0 esiste indipendenza lineare( le due rette sono parallele agli assi cartesiani) G. Barbaro interpolazione 1

CORRELAZIONE LINEARE La CORRELAZIONE studia quanto le variabili sono collegate fra di loro misurando l’intensità del legame di interdipendenza fra le due variabili Talvolta lo studio della correlazione precede quello della regressione in quanto una variabile viene confrontata con tante altre per vedere con quale risulti più connessa G. Barbaro interpolazione 1

Nello studio della correlazione si procede al calcolo di un indice: r = Indice di Bravais-Pearson = dove b 1 e b 2 sono i coefficienti di regressione IL coefficiente r ha un campo di variazione: G. Barbaro interpolazione 1 Si usa il segno + se b 1 e b 2 sono positivi Si usa il segno – se i coefficienti b 1 e b 2 sono negativi

Un altro modo per definire il coefficiente di Bravais –Pearson è quello di definirlo come rapporto tra la covarianza di x e y e il prodotto degli scarti quadratici medi di x e di y. Dove : covarianza s. q. m. G. Barbaro interpolazione 1

se r= -1 esiste una correlazione lineare perfetta negativa Le due rette sono sovrapposte(‘l’angolo tra le rette è nullo) se r= +1 esiste una correlazione lineare perfetta positiva Le due rette sono sovrapposte(‘l’angolo tra le rette è nullo) G. Barbaro interpolazione 1

se r= 0 esiste INDIPENDENZA LINEARE fra le due variabili G. Barbaro interpolazione 1