Interpolao PROF HERON JR Objetivo w Interpolar uma

Interpolação PROF. HERON JR.

Objetivo w Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definidas (polinômios). g(x) é usada em substituição à função f.

Problemática w Essa necessidade de efetuar esta substituição surge quando: n n Quando são somente conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor de um ponto no tabelado. Quando a expressão da função é complicada de mais para ser integrada ou diferenciada.

Em equação w Consideremos n+1 valores distintas: x 0, . . . , xn (nós da interpolação) e os valores de f(x) nesses pontos: f(x 0), . . . , f(xn). Queremos determinar a função g(x) tal que: g(x 0)=f(x 0). . g(xn)=f(xn)

Graficamente

Classe de funções w Em nosso caso, consideramos a função g(x) com um elemento da classe de funções polinomiais. w Tentaremos aproximar a função f(x) a partir de um conjunto de valores com uma função do tipo: a 0+a 1 x+. . . +anxn

Interpolação polinomial w Dados os n+1 pontos (x 0, f(x 0)), . . . , (xn, f(xn)), queremos aproximar f(x 0) por um polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n: n f(xk)=pn(xk) ; k=0, 1, . . . n

Interpolação polinomial w Considerando que p o polinômio escreve-se pn(x)= a 0+a 1 x+. . . +anxn , a condição f(xk)=pn(xk) ; k=0, 1, . . . , n produz o sistema seguinte de n+1 equações , n+1 variáveis:

Interpolação polinomial: matriz w A matriz do sistema é: w Essa matriz é uma matriz de Vandermonde, desde que x 0, . . . , xn são pontos distintos, temos det A¹ 0. Então o sistema admite uma solução única.

Prova w Podemos proceder da forma seguinte: O determinante pode ser considerado como um polinômio em x 0: w E um polinômio de grau n com n raízes: x 1 a xn, ele pode ser escrito a. P(xi-x 0); i¹ 0

Determinante de Vandermonde w O determinante da matriz de Vandermonde pode ser escrito da forma seguinte:

Interpolação polinomial: teorema w Em outros termos podemos dizer que: Existe um único polinômio pn(x) de grau £n tal que pn(xk)=f(xk), k=0, 1, . . . , n desde que xi¹xj por j¹k.

Obter pn(x) w Para obter o polinômio pn(x), existem diversos métodos, o mais direto sendo a resolução do sistema linear. w A escolha do método depende de várias condições: a estabilidade do sistema, performance computacional, . . .

Resolução do sistema w Vamos encontrar o polinômio de grau £ 2 que interpola os pontos da tabela: x -1 f(x) 4 0 1 2 -1 Considerando p 2(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2. Temos o sistema:

Condicionamento w A determinação dos coeficientes pela resolução do sistema é um processo simples, mas o sistema pode ser mal condicionado e sua resolução com numeração a ponto flutuante produzir resultados errados. w Existem outros métodos para determinar os polinômios de interpolação. Como existe uma solução única, qualquer método que determina uma solução, determina a solução única.

Forma de Lagrange w Considerando os n+1 pontos (x 0, y 0=f(x 0)), . . . , (xn, yn= f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Lagrange propôs de representar o polinômio pn(x) da forma: pn(x)=y 0 L 0(x)+. . +yn. Ln(x), onde Lk(x) são polinômios de grau n e a condição pn(xi)=yi, i=0, . . . , n seja satisfeita.

Forma de Lagrange w A melhor forma de ter a condição: pn(xi)=yi i=0, . . . , n, é impor: w Por isso, consideramos:

Forma de Lagrange w O numerador de Lk(x) é um produto de n fator em x, então Lk(x) é de grau n. w Podemos verificar também que: w A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:

Interpolação linear w Interpolação de dois pontos (x 0, y 0=f(x 0)) e (x 1, y 1=f(x 1)). w Usando a forma de Lagrange, temos:

Exemplo x -1 w Seja a tabela: f(x) 4 w Temos: 0 1 2 -1

Forma de Newton w Considerando os n+1 pontos (x 0, f(x 0)), . . . , (xn, f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Newton propôs de representar o polinômio pn(x) da forma: pn(x)=d 0+d 1(x-x 0)+d 2(x-x 0)(x-x 1)+. . . +dn(x-x 0). . . (x-xn-1) Os coeficientes dk, k=0, . . . , n são diferenças divididas de ordem k entre os pontos (xj, f(xj)), j=0, . . . , k

Operador diferenças divididas w f(x) é uma função tabelada em x 0, . . . , xn. w Os operadores de diferenças divididas são definidos por:

Operador diferenças divididas x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 . . . Ordem n x 0 f[x 0] f[x 0, x 1] x 1 f[x 1] f[x 0, x 1, x 2] f[x 1, x 2] x 2 f[x 2] f[x 1, x 2, x 3] f[x 0, . . . , xn] f[xn-2, xn-1, xn] . . xn f[xn] f[xn-1, xn]

Operador diferenças divididas w Exemplo: x f(x) -1 1 x -1 0 1 2 -1 2 -2 1 0 0 3 Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4 1 -1/2 -1 0 1/6 0 -1 -1 3 -2 0 0 -1 -1/24

Forma de Newton w Podemos provar que as diferenças divididas satisfazem a propriedade seguinte: Onde j 0, . . . , jk é qualquer permutação de 0, . . . , k.

Forma de Newton w Forma de Newton para o polinômio interpolador: n n n Seja uma função f(x) contínua e com tantas derivadas contínuas necessárias num intervalo [a, b]. Sejam a=x 0<x 1<. . . <xn=b Vamos construir o polinômio pn(x) que interpola f(x) em x 0, . . . , xn, construindo sucessivamente os polinômios pk(x), k=0, . . . , n

Forma de Newton w Para xÎ[a, b], x¹x 0 w Temos: w Podemos notar que E 0(x) é o erro cometido aproximando f(x) por p 0(x)

Forma de Newton

Forma de Newton

Forma de Newton w Continuando assim para todos pk(x), temos pn(x)=f(x 0)+(x-x 0)f[x 0, x 1]+. . . +(x-x 0). . (x-xn-1) f[x 0, . . . , xn] w O erro é dado por: En(x)=(x-x 0). . (x-xn)f[x 0, . . . , xn, x]

Forma de Newton w Considerando a tabela: x -1 f(x) 4 x -1 Ord 0 4 Ord 1 Ord 2 -3 0 1 2/3 -1 2 -1 0 1 2 -1

Estudo do erro w A aproximar a função f(x) por um polinômio, comete-se um erro: En(x)=f(x)-pn(x)

Estudo do erro w Teorema: Sejam x 0<. . . <xn, seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para x no intervalo [x 0, xn]. Em qualquer ponto x do intervalo [x 0, xn], o erro é dado por:

Estudo do erro w Do teorema precedente, podemos deduzir que: w Dois corolários: n Se f(n+1)(x) é contínua em [x 0, xn], n Se além disso, x 1 -x 0=x 2 -x 1=. . . =xn-xn-1=h

Estudo do erro w Se a função é dada na forma de uma tabela, só podemos estimar o valor absoluto do erro. w Mas a tabela de diferencias divididas é construída até ordem n+1, podemos usar o maior valor destas diferenças como aproximação para: w Nesse caso, o valor do erro pode ser majorado com:

Interpolação inversa w Trata-se de, conhecendo um valor y de Î(f(x 0), f(xn)), aproximar um valor de x tal que f(x)=y. Uma solução consiste em interpolar f(x) é em seguida resolver a equação f(x)=y. No caso de graus elevados (>2), a resolução da equação pode ser difícil e não temos avaliação do erro cometido. n Uma outra solução consiste em efetuar uma interpolação inversa, ou seja determinar um polinômio interpolador de f-1(x). Com a interpolação inversa, podemos calcular uma avaliação do erro cometido. A interpolação inversa só poder ser feita com uma função monótona. n

Grau do polinômio w Trata-se de determinar o grau do polinômio para interpolar uma função em um ponto: n n Deve-se construir a tabela de diferenças divididas. Se na vizinhança do ponto de interesse, as diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes, podemos concluir que um polinômio de grau k é suficiente.