INTERPOLAO POLINOMIAL E POSICIONAMENTO DE PONTOS Deborah Sadetsky

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E POSICIONAMENTO DE PONTOS Deborah Sadetsky (150912) Desirée R. Soares (166526)

Contextualização Histórica; Ideias Básicas; Exemplos; Aplicações; Referências.

Contextualização Histórica Algoritmo de Nelder e Mead Winfield traz a ideia de usa interpolação na construção de modelos quadráticos 1964 1971 1965 1973 Torczon aborda Algoritmos de Busca Padrão Powell 1997 2002 NEWUOA UOBYQA 2004 Polak apresenta o Algoritmo “Variações Locais” “An efficient method for finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives” – M. J. D. Powell 2006 MADS

Ideias Básicas O principal objetivo é aproximar a função f : IRn→IR em torno de um ponto de interesse, através de um modelo Q: IRn→IR polinomial quadrático.

Polinômios de grau d em IR n Notação: P dn subespaço dos polinômios de grau ≤ d em IRn p 1 dimensão de Pdn. Y = {y 0, y 1, …, ym} conjunto de pontos em IRn Q(Y) polinômios quadráticos que interpolam a função objetivo f no conjunto de pontos Y. Obs: A dimensão do subespaço dos polinômios de grau d ≤ 1 em IRn (P 1 n) é p 1= n+1.

Base “natural” – Expansão de Taylor Vamos tomar P 23 (subespaço dos polinômios de grau ≤ 2 em IRn e dimensão p 3) e f(x) uma função contínua e derivável até segunda ordem. Teremos a seguinte Expansão de Taylor em torno de x 0:

Base “natural” – Expansão de Taylor

Base “natural” – Expansão de Taylor

Base “natural” – Expansão de Taylor

Base “natural” – Expansão de Taylor O que nos fornece a base: Em P 2 N teríamos a base:

Polinômios Interpoladores Definição 1: O polinômio p(x) interpola f em z ∈ IRn se p(z)=f(z). Consideremos o conjunto Y = {y 0, y 1, . . . , yp} de p+1 pontos em IRn e uma base ϕ ={ϕ 0(x), ϕ 1(x), . . . , ϕp(x)} de Pdn. Então, qualquer polinômio de grau d em IRn pode ser escrito como: p j p(x) = ∑ α ϕ (x) j=0 j

Polinômios Interpoladores Impondo as condições de interpolação em y 0, y 1, . . . , yp, isto é, exigindo que: p p(yi) = ∑ αjϕj(yi) = f(yi) com i = 0, 1, . . . , p (1) j=0 obtemos um sistema de equações lineares, cuja solução, que esperamos existir e ser única (nem sempre acontece), fornece os coeficientes de p(x).

Polinômios Interpoladores Abrindo as equações (1) em forma de sistema, percebe-se que temos que resolver M(ϕ, Y)αϕ = f(Y), onde: Φ 0(y 0) Φ 1(y 0) Φp(y 0) M(ϕ, Y) = Φ 0(y 1) Φ 1(y 1) Φp(y 1) Φp(yp) Φ 0(yp) Φ 1(yp) f(Y) = (f(y 0), f(y 1), . . . , f(yp))T e αϕ = (α 0, α 1, . . . , αp)T

Polinômios Interpoladores Definição 2: O conjunto Y = {y 0, y 1, . . . , yp} é dito posicionado para interpolação polinomial quadrática em IRn se a matriz M(ϕ, Y) for não singular para a base ϕ de Pdn e, se M(ϕ, Y) for quadrada, ou seja, se a quantidade de pontos que tivermos para interpolar for igual à ordem da base ϕ. Obs. : Como todas as bases em espaços vetoriais de dimensão finita são equivalentes, a definição acima vale se M(ϕ, Y) for não singular, qualquer que seja ϕ base de Pdn.

Exemplo para o caso unidimensional (P 21): Temos os pontos os seguintes conjunto de pontos: Suponha que f(x)=exp(x).

Exemplo

Polinômios Interpoladores de Lagrange Definição 3: Dado um conjunto Y = {y 0, y 1, …, yp} de pontos de interpolação, a base para Pdn, é chamada de base de polinômios de Lagrange se: Se i=j Se i≠j Para i, j=1, …q Lema 1: Se o conjunto Y é posicionado, então a base de polinômios de Lagrange existe e é única.

Polinômios Interpoladores de Lagrange Por outro lado, se existirem p+1 polinômios de Lagrange e uma base Φ em Pdn, seja AΦ a matriz cujas colunas são os coeficientes de cada polinômio de Lagrange em relação a essa base. Dessa forma, M(Φ, Y)AΦ = I, o que implica que a matriz M(Φ, Y) é não singular, donde o conjunto Y é posicionado, por definição.

Polinômios Interpoladores de Lagrange Seja n=1 e d=2. Assim, teremos a seguinte base para P 21: Consideremos

Polinômios Interpoladores de Lagrange Os três polinômios de Lagrange com relação a Y, são:

Polinômios Interpoladores de Lagrange A partir desses polinômios, obtemos a seguinte matriz AΦ:

Polinômios Interpoladores de Lagrange Temos que M(Φ, Y) é dada por: Após “alguns” cálculos, temos que:

Polinômios Interpoladores de Lagrange Lema 2: Para qualquer função f : IRn → IR e qualquer conjunto posicionado Y ={y 0, y 1, . . . , yp} ⊂ IRn, o único polinômio p(x) que interpola f em Y pode ser escrito como p p(x) = ∑ f(yi)li(x), i=0 onde {li(x), i = 0, . . . , p} é a base de polinômios de Lagrange para Y.

Observações sobre os Polinômios de Lagrange • Dado um conjunto Y de pontos interpoladores, o número de operações efetuadas para o cálculo de uma base de polinômios de Lagrange sobre Y é da ordem de p 3; • A ordem do número de operações efetuadas para calcular o valor numérico de p(x), o polinômio que interpola f em Y, é também p 3.

Exemplo para o caso unidimensional (P 21): Temos os pontos os seguintes conjunto de pontos: Suponha que f(x)=exp(x).

Exemplo

Propriedade dos polinômios de Lagrange: Uma vez calculados, eles podem ser utilizados para construir o modelo interpolador a um custo computacional (em operações) consideravelmente baixo. Ainda que a construção do conjunto de polinômios necessite de um número adicional de operações, a atualização e manutenção desse conjunto pode ser feita de forma eficiente e prática, de maneira que esse gasto adicional pode ser amenizado, dependendo da implementação do algoritmo.

Aplicação

Referências 1. M. A. Diniz-Ehrhardt, V. L. R. Lopes & L. G. Pedroso. Métodos sem derivadas para minimização irrestrita, São Carlos (SP): Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC), 2010. Disponível em http: //www. sbmac. org. br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/2049. pdf; 2. I. X. M. Nascimento. Otimização sem derivadas: sobre a construção e a qualidade de modelos quadráticos na solução de problemas irrestritos. Dissertação de Mestrado em Matemática Aplicada. Campinas, IMECC, Unicamp, 2014. http: //repositorio. unicamp. br/jspui/handle/REPOSIP/ 306528; 3. T. Rincão. Otimização Irrestrita sem Derivadas Baseada em Interpolação Polinomial. Dissertação de Mestrado em Matemática Aplicada. Campinas, IMECC, Unicamp, 2008. Disponível em http: //repositorio. unicamp. br/bitstream/REPOSIP/306044/1/Rincao_Thiago_M. pdf; 4. C. I. Rodrigues. Geo. Gebra na sala de aula. Minicurso SEPROMAT. Campinas, IMECC, Unicamp, 2017. Disponível em https: //www. ime. unicamp. br/~sepromat/Sepromat-Geo. Gebra-nasala-de-aula-com-acertos. pdf; 5. M. Andretta. Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange. São Carlos, ICMC, USP, 2012. Disponível em http: //conteudo. icmc. usp. br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme 0500 -112/iplagrange. pdf. 6. Taylor series | Chapter 10, Essence of calculus - 3 Blue 1 Brown. Disponível em: https: //www. youtube. com/watch? v=3 d 6 Dsj. IBz. J 4&t=287 s