Interpolacija i aproksimacija funkcija Aproksimacija funkcija je zadana

  • Slides: 16
Download presentation
Interpolacija i aproksimacija funkcija

Interpolacija i aproksimacija funkcija

Aproksimacija • funkcija je zadana formulom koja je npr. prekomplicirana za izračunavanje funkcijskih vrijednosti

Aproksimacija • funkcija je zadana formulom koja je npr. prekomplicirana za izračunavanje funkcijskih vrijednosti pa ju mijenjamo nekom funkcijom F koja je jednostavnija za računanje • npr:

Interpolacija • funkcija f je zadana tablično x x 0 . . . xn

Interpolacija • funkcija f je zadana tablično x x 0 . . . xn y y 0 . . . yn a = x 0 < x 1 <. . . < xn = b čvorovi interpolacije(interpolacijske točke) • funkciju f mijenjamo funkcijom F za koju vrijedi: • F je interpolacijska funkcija

Teorem • Ako je zadana n+1 točka interpolacijski čvorovi (xi, yi), i=0, 1, .

Teorem • Ako je zadana n+1 točka interpolacijski čvorovi (xi, yi), i=0, 1, . . . , n tada postoji jedinstveni polinom n-tog stupnja koji prolazi kroz te točke

Primjer 1 • Odredite(približno) koliko je znate sljedeće podatke: ako x 1 2 3

Primjer 1 • Odredite(približno) koliko je znate sljedeće podatke: ako x 1 2 3 y 2 3 6

Primjer 2 • Mathematica: funkcija f(x)=lnx x y 1 2 3 ln 1 ln

Primjer 2 • Mathematica: funkcija f(x)=lnx x y 1 2 3 ln 1 ln 2 ln 3 • Što se događa ako povećamo broj čvorova?

Lagrangeov interpolacijski polinom

Lagrangeov interpolacijski polinom

Ekvidistantni čvorovi • Lagrangeov polinom izgleda:

Ekvidistantni čvorovi • Lagrangeov polinom izgleda:

Primjer 1 – pomoću Lagrange • Odredite Lagrangeov interpolacijski polinom ako znate sljedeće podatke:

Primjer 1 – pomoću Lagrange • Odredite Lagrangeov interpolacijski polinom ako znate sljedeće podatke: x 1 2 3 y 2 3 6

Opća formula za Lagrangeov interpolcijski polinom ili gdje

Opća formula za Lagrangeov interpolcijski polinom ili gdje

Aitkenova interpolacijska shema • Ako želimo izračunati vrijednost funkcije f u nekoj točki ,

Aitkenova interpolacijska shema • Ako želimo izračunati vrijednost funkcije f u nekoj točki , ne moramo izračunavati Lagrangeov polinom pa tek onda uvrštavati točku a u taj polinom, nego koristimo sljedeću shemu:

xi yi xi-a Li-1, i Li-2, i-1, i Li-3, i-2, i-1, i x 0

xi yi xi-a Li-1, i Li-2, i-1, i Li-3, i-2, i-1, i x 0 y 0 x 0 - a x 1 y 1 x 1 - a L 01 x 2 y 2 x 2 - a L 12 L 012 x 3 y 3 x 3 - a L 23 L 123 L 0123 x 4 y 4 x 4 - a L 34 L 234 L 1234 Li-4, . . . i L 01234 f(a)

gdje su:

gdje su:

Primjer 1 - Excel

Primjer 1 - Excel

Ocjena greške gdje

Ocjena greške gdje

Primjer 2 – Mathematica ocjena greške

Primjer 2 – Mathematica ocjena greške