Interazione debole di corrente carica In analogia con

Interazione debole di corrente carica In analogia con la descrizione dell’ interazione elettromagnetica, per la quale l’ ampiezza di transizione in un processo di diffusione tra fermioni carichi point-like è data dalla (1. 13): eek e k’ la teoria di Fermi dell’ interazione debole descrive q=k’-k anch’essa lo scattering come un’ interazione corrente-corrente: quark (2. 11) p In assenza (al momento) di una teoria di campo completa Fermi introdusse la costante di interazione debole G, che ha le dimensioni dell’ inverso del quadrato dell’ energia: n k 2 [G] = [1/q ] eq p’ quark e- G L’ interazione è di “corrente carica”, nel senso che (a p differenza dello scattering e. m. ) la carica del fermione uscente cambia di un unità rispetto a quella del fermione quark d entrante: la carica elettrica è stata trasferita nell’ interazione. k’ p’ quark u

Storicamente, l’ interazione ‘di contatto’ (ossia non ‘mediata’ dal quanto di un campo come il fotone) fu introdotta da Fermi per descrivere il decadimento b del neutrone all’ interno dei nuclei radioattivi, che è il ‘prototipo’ dell’ interazione debole di corrente carica; (2. 12) n p e- ne p n ene A livello elementare dei costituenti: (2. 12’) d u e- ne u n u d d Il processo (2. 12’) è descritto dalla stessa matrice di transizione del processo di scattering: ne d e- u GF in cui l’ antineutrino ‘uscente’ dall’ interazione di decadimento è sostituito dal neutrino entrante nel processo di diffusione. p d u e- ne

L’interazione vettoriale di contatto a’ la Fermi non basta a descrivere la fenomenologia (violazione della parità, neutrini solo a elicità negativa). La forma più generale possibile di una interazione corrente-corrente, che preservi l’ invarianza di Lorentz di Mif, e che può essere costruita dagli spinori delle particelle in gioco e dalle matrici di Dirac, è la seguente [vedremo infatti successivamente come per il decadimento b la semplice forma (2. 11) non è sufficiente a descrivere correttamente l’ interazione ] : (2. 13) viola la conservazione della parità (contrazione di termini con proprietà di trasf. opposte) dove per brevità si sono omessi i quadri-momenti delle particelle e gli Oi sono operatori bilineari covarianti delle matrici di Dirac gm [convenzionalmente, la matrice g 5 nel termine di violazione della parità viene inserita nella corrente leptonica]: Specificamente:

• • • Gli elementi S e V non possono causare decadimenti con spin flip del nucleone (DJ>0, decadimenti di tipo “Fermi”). Se fossero presenti entrambi in M causerebbero termini di interferenza effetti nello spettro di energia dell’elettrone uscente (che NON sono osservati). G, j elementi A e T contribuiscono anche a decadimenti di tipo “Gamow. Teller” (DJ=1); di nuovo, ci si attende effetti di interferenza se entrambi sono presenti, ma essi non si osservano Quali combinazioni di coupling sono attive nel decadimento b si può dedurre dalla distribuzione dell’angolo tra elettrone e neutrino, da tutavia è ovviamente più pratico studiare l’angolo fra elettrone e rinculo adronico (ma non facile, e infatti questo causò inizialmente confusione). • • La quantità fisica che determina univocamente quali siano gli operatori da usare, dato per assodato che l’antineutrino è right-handed dall’esperimento di Goldhaber, è l’elicità dell’elettrone: per V e A deve essere negativa, per S e T positiva. Il decadimento del pione carico ne è una dimostrazione. Attraverso varie misure si trova che l’interazione è vettore-assiale.

Il decadimento del pione carico può essere calcolato scrivendo l’elemento di matrice come un prodotto del vettore q per la corrente leptonica. Se ipotizziamo una forma V-A per la corrente debole, ad esempio, abbiamo con cui si trova la larghezza di decadimento in funzione dell’incognita “funzione di struttura del pione”, una costante (non ci sono variabili in gioco, q 2=Mp 2) Nonostante l’incognita fp un test quantitativo della teoria, e sulla correttezza dell’elemento di matrice scritto, è possibile calcolando il rapporto fra larghezze di decadimento del pione in elettrone e muone: La soppressione del decadimento in elettrone è opposto a quanto ci si aspetta per l’ampiezza dello spazio delle fasi. Il motivo è dinamico: V-A prevede che i leptoni relativistici siano left-handed, mentre il decadimento li forza ad essere right-handed!

Ulteriori informazioni vengono da altri studi decadimenti dei pioni e dei muoni. • Muoni derivanti da decadimento del pione carico portati a riposo in un assorbitore (C) che non ne modifica lo stato di spin permettono a Garwin di misurare lo spettro degli elettroni emessi, che risulta piccato al massimo valore mm/2. La configurazione del decadimento è allora quella che segue: p+ n m+ p m q e+ n n • La distribuzione angolare degli elettroni segue una distribuzione I(q) = 1 -1/3 cosq V-A

L’ analisi dei dati relativi ai decadimenti b nucleari (sia con DJ=0, 1 dove J è lo spin del nucleone; discuteremo in dettaglio più avanti l’analisi decadimenti b nelle transizioni cosidette “di Fermi” e “di Gamow-Teller”) dimostra che i termini scalare (S), pseudoscalare (P) e tensore (T) nell’ ampiezza (2. 13) sono nulli. Sperimentalmente, si osserva inoltre che i neutrini sono “left-handed” (e gli anti-neutrini sono right-handed) [ esperimento di Goldhaber et al. , Phys. Rev. 109 (1958), 1015]. (Dedico poo avanti due parole a questo esperimento fondamentale. ) In pratica si trova che la forma più generale compatibile con i dati sperimentali è la seguente: (2. 14)

L’esperimento di Goldhaber • Una pietra miliare della fisica degli anni 60 è la misura dell’elicità del neutrino di Goldhaber, Grodzins, e Sunjar • • • 152 Eu (JP=0 -) decade per cattura K in 152 Sm* (JP=1 -, B=24%); la diseccitazione in 152 Sm (JP=0+) ha t=7*10 -14 s (Eg=961 ke. V). Il neutrino viene emesso con Ev=900 ke. V (importante in seguito!) La conservazione del momento angolare implica che 152 Sm* e n hanno la stessa “handedness” basta misurare la handedness del nucleo eccitato. Il gamma conserva l’informazione del rinculo adronico, e ha la stessa polarizzazione se emesso nella direzione del rinculo. La polarizzazione dei g può operarsi usando la diversa sezione d’urto Compton dei fotoni in ferro magnetizzato parallelamente o antiparallelamente alla direzione dei fotoni (xs massima se g e elettrone hanno spin antiparalleli) Ok, ma come misurare selettivamente i fotoni “forward emitted” ?

• • • Si usa il fatto che nel decadimento radiativo, il fotone “cede” il momento E 0/c al nucleo, e quindi l’energia di emissione è ridotta di un fattore E 0/(2 Mc 2). Se un altro nucleo di 152 Sm viene eccitato, anch’esso richiede che il fotone che lo eccita abbia energia E 0+E 0/(2 Mc 2). La differenza fra energia del fotone emesso e energia del fotone assorbito in scattering risonante è DE=E 0/Mc 2, ed è molto maggiore della larghezza intrinseca dello stato il riassorbimento di solito non ha luogo; ha luogo solo se il fotone riceve un “boost” dal moto iniziale del 152 Sm* !! Quindi il riassorbimento ha luogo solo per quei fotoni che sono emessi in avanti ? Vediamo. E(Sm*) = P 2/2 M = En 2/2 Mc 2 = Mv 2/2 v/c = En/Mc 2 Per fotoni emessi ad angolo q dal Sm* si ha Eg = E 0(1+v/c cosq) –E 02/(2 Mc 2) Successivamente, nel riassorbimento viene perduto un altro fattore E 02/(2 Mc 2) per cui Eg = E 0(1+v/c cosq) –E 02/(Mc 2) g In risonanza, E 0 = Eg e questo si ha se E 0 En v/c cosq = E 02/(Mc 2) cioè E 0 = En cosq q n Sm* Il moto termico nella sorgente e nel bersaglio modificano le energie dei nuclei in gioco, rendendo possibile lo scattering risonante per i fotoni “forward” dato che En=900 ke. V.

Eu La inventiva di Goldhaber et al. si vede dalla semplicità dell’arrangiamento finale: con un semplice conteggio di fotoni in un fotomoltiplicatore e uno switch per il campo magnetizzante B, si misura lo spin dei neutrini, le particelle elementari più elusive in assoluto!! Fe B g Pb Na. I Sm 2 O 3 PMT

Da altri esperimenti (scattering di neutrini) si trova che la violazione di parità nelle interazioni deboli è massimale, ovvero neutrini e antineutrini hanno elicità opposta. Se la corrente adronica nell’ interazione è uguale a quella leptonica (ossia CA= -CV ), si ha la “teoria V-A” dell’ interazione debole di corrente carica: (2. 15) Nel decadimento b nucleare ciò non è vero. Sperimentalmente, dalle frequenze di decadimento delle transizioni di Fermi (“vettoriali pure”: 14 O 14 N+e+ne) e “miste” (di Gamow-Teller (“vettoriali-assiali”) e di Fermi, come ad esempio il decadimento di neutroni liberi: n pe-ne ) si misura: Questo è dovuto all’ interazione forte tra i quarks all’ interno del nucleone, che alle energie tipiche dei decadimenti b ( Me. V) sono importanti. Alle alte energie utilizzate nei processi di DIS i quarks si possono considerare liberi, e la teoria V-A “pura” risulta valida.

Sezioni d’urto dei processi di scattering debole Vedremo più avanti che la sezione d’ urto per lo scattering debole è dell’ordine di: 2 s(s) G s/p Per s = 1 Ge. V 2 : Questa sezione d’urto va confrontata , ad esempio, con quella per lo scattering e. m. e+e- m+m- , che vedremo essere: s. QED(s=1 Ge. V) = 87 nb ossia circa 9 ordini di grandezza maggiore

Il calcolo della sezione d’ urto del processo di scattering debole nd e- u procede in maniera analoga a quella del processo elettromagnetico eq eq , con le sostituzioni: Il termine che nel processo di QED vale ora vale [calcolo laborioso; cfr. Perkins, app. F ] : (2. 16) s/2 dove si è utilizzata la variabile s di Mandelstam. n k p d k’ ep’ u s=(k+p)2 2 kp

In definitiva, per la sezione d’urto: e- k=(E, k) n k’=(E’, k’) q* d u (2. 17) dove si è espressa la sezione d’urto in funzione della variabile di inelasticità introdotta nel DIS [cfr. (2. 8)]: [Si dimostra (es. 2. 1) che e quindi dove q* è l’angolo di scattering nel CM; N. B. : la relazione tra y e l’angolo di scattering nel laboratorio è ]

B n Per il processo di diffusione da anti-neutrini (dal punto di vista sperimentale, interessa lo scattering da anti-neutrini del muone): A d (I) o del processo di scattering inverso: l’ elemento di matrice è lo stesso del processo da neutrini: se si sostituiscono le particelle della corrente leptonica (n, m) con le antiparticelle con momenti opposti (“crossing”), ossia sostituendo nelle variabili cinematiche entrano nell’ ampiezza di scattering: (2. 18) D m- k k’ p p’ u C AB CD crossing B A d p ( II ) -k -k’ D m+ p’ u C

In definitiva, con la sostituzione (2. 18) la sezione d’urto (2. 17) diventa: da cui (2. 19) dove di nuovo si è espressa la sezione d’urto differenziale in funzione della variabile di inelasticità y. Per invarianza rispetto all’inversione CPT, si ha inoltre: (2. 19’)

Riassumendo, abbiamo i seguenti “mattoni fondamentali” per costruire le sezioni d’ urto di diffusione neutrino - nucleone: Notiamo le elicità: m- n q m+ u q=p u d q=p : m- q n d u elicità permessa per m-, d : m+ d elicità proibita per d la sezione d’urto si annulla a q=p (ossia ad y = 1; si ricordi: 1 -y = (1+cosq)/2 ) m+ , Siamo ora in grado di studiare il processo di deep inelastic scattering debole, utilizzando cioè come sonde i neutrini e gli anti-neutrini; vedremo che essi mettono in evidenza la stessa struttura nucleare (lo stesso andamento delle densità partoniche in funzione del momento frazionario x e lo stesso comportamento di invarianza di scala delle funzioni di struttura).

Nota sulle elicità Nei processi di scattering puntiforme ad alta energia solo gli spin delle particelle contribuiscono al momento angolare, e trascurando le masse gli stati di particella devono pensarsi autostati di elicità -1, quelli di antiparticella elicità +1. Questo ha la chiara conseguenza dei fattori visti nello scattering di neutrini: quando lo spin totale (preso come asse dello scattering nel CM quello di quantizzazione) è Jin=0 tutti gli angoli di emissione sono permessi; quando lo spin totale è Jin=1, solo uno dei tre possibili stati di elicità è permesso, e si ha una riduzione di un fattore 3 della sezione d’urto:

Scattering neutrino-nucleone Abbiamo visto che la sezione d’urto doppio-differenziale per il DIS elettromagnetico su una targhetta isoscalare è data dalla (2. 9): (2. 9) ottenuta sulla base dell’ ipotesi partonica e della sezione d’urto del processo elementare di QED (scattering Mott eq eq), che può scriversi anche come eek e k’ q=k’-k p =-q 2 t u = -s(1+cosq)/2 = 1 -y eq quark p’ quark

In maniera analoga, partendo dalle sezioni d’urto elementari (2. 17) e (2. 19’) per lo scattering debole: m- nm k G k’ (2. 17) u d (2. 19’) nm k k’ m- G si ottiene la sezione d’urto per lo scattering di neutrino su una targhetta isoscalare che contiene quark q(x) ed antiquark q(x): (2. 20) [si ricordi la sostituzione: ; si noti anche l’ energia del CM del processo elementare che coinvolge il quark di momento frazionario x all’ interno del nucleone è s’=xs ]

m+ Gli anti-neutrini vengono diffusi dai quark u e anti-d all’ interno del nucleone; la loro sezione d’urto è data quindi da: G u d m+ (2. 21) Ne consegue dunque che nell’ ipotesi partonica, la somma delle sezioni d’urto doppio differenziali per lo scattering di neutrini e di anti-neutrini: G misura la stessa funzione di densità partonica q(x)+q(x) misurata dallo scattering e. m. eq eq [cfr. (2. 9) e (2. 9’)].

Possiamo anche scrivere la precedente come segue: (2. 22) dove si è introdotta la funzione di struttura “debole”: analogamente a quanto fatto per lo scattering e. m. . La predizione del modello a quark per il nucleone, con le assegnazioni di carica +2/3 e -1/3 per i quark up e down , è quindi che il rapporto: sia indipendente da x, e che la funzione di struttura F 2 n. N misurata attraverso la relazione (2. 22) sia: dove F 2 e. N è la funzione di struttura e. m. misurata attraverso la relazione (2. 9) :

Storicamente, la verifica sperimentale arrivò dal confronto dei dati dai neutrini ottenuti con la camera a bolle GARGAMELLE (situata inizialmente presso il proto-sincrotrone (PS) da F 2 n. N(x) 26 Ge. V del CERN, e successivamente collocata presso il Super. Proto. Sincrotrone (SPS) da 400 Ge. V) con i dati di DIS e. m. di SLAC: A differenza dello scattering e. m. , l’ insieme dei dati di neutrini e antineutrini permette di separare il contributo da quark ed antiquark; infatti : (2. 23) dove si è introdotta la funzione x=-q 2/2 Mn

E’ quindi possibile determinare separatamente le densità partoniche di quark e anti-quark: [da: Perkins, Fig. (8. 13)] x=-q 2/2 Mn Sperimentalmente si osserva che i quarks sono portatori di circa il 70% del momento totale portato dai partoni; gli antiquark sono concentrati a valori di basso momento frazionario.

Dai dati risulta: ossia l’integrale del momento frazionario portato dai partoni è all’incirca solo la metà del momento totale del nucleone! Vi sono altri costituenti, non dotati di carica e. m. e debole, che sono portatori di un’ equivalente frazione di momento; essi sono, come vedremo, i “gluoni”, i mediatori dell’ interazione forte tra i quark all’ interno del nucleone. L’integrale di F 3(x) = q(x)-q(x) misura invece il numero di quarks di valenza nel nucleone, poiche’ il ‘mare’ contiene un egual numero di quark e antiquark; Vale cioè la ‘regola di somma” di Gross-Llewellyn Smith: che risulta verificata sperimentalmente [CDHS, Zeit. Phys. C 1, 143 (1979), Phys. Rev. Lett. 42, 1317 (1979)]. Anche singolarmente le differenze sono quelle che ci si aspetta: combinando dati di e. N e n. N scattering si trova

Collisione di CC n. N nella Big European Bubble Chamber (BEBC): “Narrow-band” n beam al SPS del CERN, En 200 Ge. V; il muone è identificato grazie alla sua penetrazione attraverso il ferro, e misurato da camere a fili proporzionali [da: Perkins, Fig. 8. 1]

BEBC [Nucl. Instr. Meth. 154 (1978), 445. ] Camera a bolle: - Targhetta : mistura H 2/Ne - Massa fiduciale M = 14 tons - Immersa in un campo magnetico B= 3 T (magnete superconduttore) Dp/p 7% Identificatore di muoni: 150 m 2 di camere proporzionali a multifilo (MWPC) nm beam

Esperimento CDHS n beam ( Cern-Dortmund-Heidelberg-Saclay collaboration) [Nucl. Instr. Meth. 148 (1978) 235 ] Fe+scintillatore; (19 moduli, separati da camere a deriva) Massa 1200 tons eventi di CN eventi di CC

Confronto F 2 n. N - F 2 e. m. F 2 Esperimenti BCDMS, NMC: e-N scattering a SLAC Esperimento CCFR: n-N scattering al CERN piccola correzione per i quark strange e charm del “mare” Notare la dipendenza di F 2 da q 2 a x fissato (“violazione dell’ invarianza di scaling”, vedi cap. 4) Q 2(Ge. V 2) [QCD Workshop, Aachen, 1992]

Parte I, Capitolo 3 - Quarks e gluoni; “colore” - QCD e violazione dello “scaling” - La “running coupling constant” as(q 2)

QCD e violazione dello “scaling” I nucleoni sono stati legati di quarks che interagiscono “fortemente” [ in aggiunta cioè all’ interazione e. m. , che è piccola; essa è responsabile, ad esempio, della piccola differenza di massa tra il neutrone: n = |ddu> ed il protone p = |uud>: mn-mp (939. 6 – 938. 3) Me. V 1. 3 Me. V l’ energia di legame e. m. (negativa) necessaria per tenere insieme i quark nel volume del nucleone, è in valore assoluto maggiore per il protone (cariche dei quark q=2/3, -1/3) che per il neutrone (cariche q= -1/3, 2/3) ]. L’interazione forte tra quark, portatori di una carica forte detta convenzionalmente “di colore” (per distinguerla dal “f. Iavour”, sapore, che è associato all’ interazione debole) avviene attraverso lo scambio di mediatori, detti gluoni (elettricamente neutri: essi non sono “visti” dallo scattering e. N) portatori anch’essi di carica forte: i gluoni sono cioè “colorati” (a differenza del fotone, che non ha carica e. m. )

Cenni sull’isospin • Come il protone e il neutrone, che hanno simile massa, identico spin, e quasi identiche sezioni d’urto di scattering, anche nuclei leggeri furono trovati avere proprietà simili (mirror nuclei, es. 7 Li, 7 Be). Heisenberg introdusse il concetto di Isospin per descrivere questa simmetria. • La simmetria implica la conservazione dell’isospin nelle interazioni forti: l’hamiltoniana di QCD non è sensibile al sapore dei quarks. • L’isospin si descrive in completa analogia allo spin. Stati a 2 particelle sono descritti da SU(2): 2 x 2=3 x 1 tripletto simmetrico, singoletto a. s • (SU(2): gruppo speciale unitario di matrici unimodulari a det=1; descritto dalla rappresentazione fondamentale delle s di Pauli)

Storicamente, la necessità di un ulteriore numero quantico di colore (che differenzia cioè tre ulteriori possibili stati per un quark “up” o “down”: u. R, u. G, u. B , d. R, d. G, d. B “rosso”, “verde”, “blu” ) era sorta dall’ interpretazione degli adroni osservati nella spettroscopia adronica (includendo le particelle dotate di numero quantico di stranezza, come mesoni K) come multipletti del gruppo di simmetria SU (3)flavor (che generalizza la simmetria SU(2) di isospin): Modello a quark degli adroni ( “eightfold way”, che prende il nome dal multipletto, un ottetto, di stati con masse più basse), proposto inizialmente da Gell-Mann [Phys. Lett. 8(1964), 214] e indipendentemente da Zweig [CERN report TH 401, 1964]: Gli adroni (mesoni: spin intero: 0, 1; barioni: spin semintero: 1/2, 3/2 ) sono stati quantici appartenenti a rappresentazioni del gruppo di simmetria SU(3), costruiti a partire da un tripletto di stati di quark : up (u), down (d), strange (s).

La simmetria SU(3)flavor estende a due numeri quantici (l’ “isospin” I e la Stranezza S ) il concetto di invarianza delle interazioni forti osservata rispetto alla carica elettromagnetica (invarianza di isospin). il protone |p> (I 3=1/2) e il neutrone |n> (I 3=-1/2) hanno la stessa interazione forte all’ interno dei nuclei, ed hanno la stessa massa (a parte piccole correzioni di origine e. m. ). Ad esempio, gli 8 barioni di spin ½ più leggeri osservati in natura, “stabili” rispetto all’ interazione forte ( a parte il protone, decadono tutti per interazione debole con vita media t > 10 -12 s): numero barionico Y=B+S “stranezza” 0 0 0 p, n, L , S , X ddu=n uud=p m 940 1 sono membri di un unico ottetto, L 0 , S 0 SS+ rappresentazione di SU(3) m 1150 0 -1 X- X 0 m 1320 I 3

La simmetria SU(3)flavor è solo approssimativa, nel senso che membri di uno stesso multipletto hanno masse molto diverse (mentre membri dello stesso multipletto di SU(2), le linee orizzontali ad “ipercarica” Y = costante nei diagrammi, hanno masse circa uguali); tuttavia lo schema di assegnazione dei numeri quantici funziona molto bene e il modello ha avuto un notevole potere predittivo nello stabilire l’ esistenza di nuovi stati quantici. Ad esempio, i barioni di spin 3/2 (essi non sono Y stabili rispetto alle interazioni forti a parte W : decadono con vita media 10 -23 s ) appartengono D-=ddd 1 ad un decupletto 0 La particella W- (scoperta nel 1964) fu predetta -1 sulla base del modello a quark e della differenza di massa costante ( 150 Me. V) tra -2 i multipletti costituiti da particelle di egual stranezza. D++=uuu D(1232) uus dds uss dss sss S(1380) X(1530) W(1670) -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 I 3

Prodotto di rappresentazioni in SU(3) • SU(3) è descritto nella sua rappresentazione fondamentale da 8 generatori, le matrici 3 x 3 (l di Gell-Mann), che godono delle proprietà di commutazione [1/2 li, 1/2 lj]=ifijk 1/2 lk • Vi sono due operatori che commutano, Y e I 3. Nella applicazione a SU(3) di sapore, sono l’ipercarica e la terza componente dell’isospin • Possiamo porre i quarks u, d, s nella rappresentazione fondamentale (3) di SU(3), e gli antiquark nella sua coniugata. Con essi si possono costruire gli adroni (rappresentazioni irriducibili) dal prodotto di rappresentazioni. Questo ci permette di studiarne le proprietà di simmetria • Si usano i “diagrammi peso”, che si combinano con semplici regole. Le rappresentazioni, specificate da I 3 e Y, hanno simmetria esagonale; ogni sito nel diagramma è occupato da almeno uno stato; stati “interni” alla figura geometrica hanno via più stati in ogni sito. • Si possono calcolare i prodotti di rappresentazioni: con i diagrammi peso fondamentali di 3 e del suo coniugato (esempio 3. 1)

Il modello SU(3)F prevede stati (effettivamente osservati) ai ‘vertici’ del decupletto nel diagramma (I 3, Y) : D++(1232) = |uuu>, D-(1232) = |ddd>, W-(1672) = |sss> nei quali i tre quark indistinguibili sono tutti nello stesso stato quantico (con spin allineati sz=+1/2). Ciò è in contrasto con il principio di esclusione di Pauli, e richiede l’ introduzione di un ulteriore numero quantico (la carica di colore) per differenziare i fermioni costituenti; per cui, ad esempio, D++(1232) = |u. Ru. Gu. B> Il singoletto di SU(3)C dall decomposizione di 3 x 3 x 3 è scrivibile (1/6)0. 5[RGB+GBR+BRG-GRB-RBG-BGR] ed è antisimmetrico, come richiesto. Evidenze sperimentali dell’ esistenza del “colore” provengono dalla misura del “rapporto R” alle alte energie dei collisori e+e- , e dalla misura della frequenza di decadimento del mesone p 0 gg. Come vedremo in seguito, R NC, numero di cariche di colore.

La teoria di campo che descrive l’interazione forte è la Cromo-Dinamica Quantistica (QCD), sviluppata in stretta analogia con la QED, ma ponendo alla base della teoria il gruppo di simmetria (non abeliano) SU(3)color al posto del gruppo abeliano U(1) rispetto al quale è invariante la QED. La QED è invariante rispetto alla trasformazione locale di gauge [cfr. (1. 5), (1. 5’)]: (1. 5) (dove, ricordiamo, e è la carica elettrica del fermione Y e Am è il campo del fotone ) e la dinamica è introdotta dalla derivata covariante inserita nella Lagrangiana del sistema: La QCD postula invarianza della fisica per le trasformazioni di gauge (3. 1) (la somma sugli indici ripetuti a e b è sottintesa) ( i=1, 2, 3 indice di colore a=1, 2. . 8 indice dei campi gluonici )

L’ invarianza della QED rispetto ad una moltiplicazione di fase (gruppo di simmetria U(1)) è generalizzata in QCD all’ invarianza rispetto ad una ‘rotazione’ nello spazio dei 3 gradi di libertà di colore. Le quantità Yi in (3. 1) sono 3 campi spinoriali: (q è il quark di sapore generico: q =u, d, s…) e la matrice U è la generica matrice di rotazione 3 X 3 del gruppo SU(3): dove le matrici 3 x 3 la sono gli 8 generatori del gruppo SU(3): (3. 2) aa(x) sono funzioni arbitrarie delle 4 -coordinate e (analogo della carica elettrica in QED). è la carica forte

Al posto del fotone, associato all’ unico generatore del gruppo U(1), esistono 8 campi mediatori gluonici Gma(x) associati agli 8 generatori del gruppo SU(3) e le costanti fabc che compaiono nella trasformazione di gauge dei campi, eq. (3. 1)b, sono le “costanti di struttura” di SU(3), che definiscono completamente l’ algebra dei generatori di SU(3): [la, lb] = i Scfabclc La derivata covariante che introduce, garantendo l’invarianza di gauge della Lagrangiana, l’interazione tra i campi spinoriali dei quark ed i gluoni è ora: qi(x) igg la m ij (3. 3) QCD: I quarks interagiscono scambiandosi gluoni colorati; al vertice di interazione la quantità iggmlaij sostituisce iegm che compare in QED qj (x) i, j=R, Y, B a=1, . . 8 Gam(x) e. QED: iegm Am(x) e-

Gli 8 campi vettoriali G hanno termini cinetici simili al fattore -1/4 Fmn. Fmn che si introduce nella Lagrangiana di QED, ma questa volta serve un fattore addizionale, dovuto alla loro proprietà di commutazione: Possiamo scrivere la Lagrangiana di QCD per campi spinoriali di quarks, dotati di colore, e 8 campi di gluoni auto-interagenti, come segue: (Ti=li/2) Come per il fotone, l’invarianza locale di gauge che faticosamente si ottiene con le definizioni su viste richiede che i gluoni abbiano massa nulla. La differenza sta nelle proprietà di commutazione delle matrici T, che portano all’autointerazione dei gluoni.

Riassumendo, la QCD è basata su una simmetria esatta, SU(3) di colore, che governa le traformazioni della fase dei campi di colore dei quarks: I generatori di SU(3) non commutano tra loro, e questo porta a un’autointerazione dei gluoni, come per i bosoni vettori deboli: Come per la QED, se si parte da una Lagrangiana per quarks colorati e liberi e si impone invarianza SU(3) locale, si è forzati a introdurre una covarianza della derivata, con otto campi vettoriali G (corrispondenti agli N 2 -1=8 generatori) che trasformano in modo covariante, e i relativi termini cinetici:

La Lagrangiana ora vista descrive quarks colorati e gluoni. Otto gluoni sono necessari a compensare le variazioni arbitrarie nelle fasi La(x) dei tre campi di colore dei quarks in ogni punto dello spazio-tempo La SU(3) di colore è una simmetria esatta della natura: i gluoni hanno massa nulla come il fotone I gluoni hanno autointerazioni, a causa della natura non abeliana di SU(3) che ha introdotto nella Lagrangiana di QCD i termini misti attraverso le espressioni • La costante gs determina l’intensità delle interazioni forti e copre il ruolo di “carica” del campo di colore. Si noti però come essa è sempre associata alle costanti di struttura di SU(3): questo implica diversa intensità per i diversi accoppiamenti qg e gg. • Infine, la natura non abeliana del gruppo SU(3) ha un effetto sulla dipendenza dal quadrimomento trasferito della costante di accoppiamento forte as=gs 2/4 p. Studieremo questo effetto nel seguito.

Una fondamentale differenza tra la teoria abeliana di QED e le teorie di gauge non abeliane (QCD per l’interazione forte, QEWD per l’ interazione elettrodebole) è l’ esistenza in queste ultime di auto-interazione tra i mediatori, con vertici, ad esempio in QCD, a 3 gluoni: Gam(x) Gbn(x) igfabc[gmn(p 1 -p 2)r+gnr(p 2 -p 3)m+grm(p 3 -p 1)n] Gcr(x) Gam(x) Gbn(x) e a 4 gluoni: Gcr(x) Gds(x)

Fattori di colore La struttura SU(3) di colore della QCD ci permette di calcolare l’intensità di interazione fra i quarks. Per far questo costruiamo una rappresentazione in cui i tre colori R, G, B appartengono a un tripletto di SU(3). I gluoni, che mediano le interazioni di colore, sono contenuti in un ottetto risultante dalla decomposizione e quindi sono: mentre il singoletto: G R non trasporta colore. B

Come in QED l’interazione è proporzionale alle cariche elettriche dei due fermioni, lo stesso accade in QCD. L’accoppiamento si scrive CF as = 1/2 c 1 c 2 as (in QED: e 1 e 2 a) ove CF è detto fattore di colore. Per calcolare l’intensità dell’interazione QCD fra due quarks si considerano tutte le combinazioni di gluoni che possono contribuire: ad esempio per RR RR o GG GG contribuiscono sia g 7 che g 8, e si ha (due diagrammi possibili) Per lo scattering di una coppia BB invece contribuisce solo g 8 , ma si trova lo stesso risultato: Invece per una coppia di quark diversi (eg. RB) l’ampiezza dell’interazione risulta proporzionale al fattore di colore: (due diagrammi possibili) ove il segno relativo dipende dall’antisimmetria della coppia

Si può sommarizzare per due quarks l’ampiezza ci cj = P-1/3, ove P è +1 se la coppia è uno stato simmetrico, -1 se è antisimmetrico di colore. Per una coppia quark-antiquark, come quella contenuta in un mesone singoletto di colore! basta fare il conto per una combinazione e moltiplicare per 3, vista la simmetria (esempio 3. 2): attrattiva! (tre diagrammi possibili) dove abbiamo usato ci negativi per gli antiquarks. Si può anche mostrare che per un barione l’ampiezza è -2/3. Gli stati quark-antiquark e qqq sono quindi stati legati per la QCD.

L’ esistenza di gluoni e la dinamica gluoni-quark descritta dalla QCD modificano lo scenario di invarianza di scala delle funzioni di struttura del nucleone predetto dal modello a partoni. Nel DIS, la collisione “head-on” tra il fotone (virtuale) di momento q 2 ed il quark: g* quark viene sostituito da un processo più complesso, nucleone che implica la radiazione di gluoni e la produzione di jets con p. T non nullo rispetto alla direzione del P fotone. q 2 x. P g* q 2 Un quark q(x) “visto” con momento x. P dal fotone virtuale può provenire da un altro quark di momento frazionario y > x che ha irradiato un gluone di zy. P=x. P quark momento (y-x)P, processo di “scattering Compton”: y. P nucleone G g*q q g P

Può inoltre accadere che ad un gluone di momento y. P occorra un processo di scattering su un quark di momento (x-y)P, prima che questi venga diffuso dal fotone: g* q 2 G y. P zy. P=x. P quark (y-x)P In definitiva, le densità partoniche q(x) dipendono dalle densità dei quark e dei gluoni per momenti frazionari y>x e dalle probabilità dei processi di radiazione Pqq(x/y) e di diffusione gluone-quark Pgq(x/y), dette ‘funzioni di splitting’. Queste sono determinate dalla dinamica dell’ interazione e quindi calcolabili nell’ ambito della QCD perturbativa. Esse dipendono ovviamente dalla “costante” di accoppiamento forte as(q 2) g 2, che è funzione del momento trasferito q 2 (tale funzione è anch’essa calcolabile dalla QCD, utilizzando le equazioni del gruppo di rinormalizzazione, come vedremo in seguito).

Possiamo riscrivere le funzioni di struttura del modello a partoni nella forma [cfr. (2. 6)]: che rende evidente il fatto che nella sezione d’urto totale viene “selezionato”, tra tutti i possibili momenti frazionari y del quark nel nucleone, quello tale da soddisfare la condizione di elasticità per lo scattering partonico: y = x = -q 2/Mn Le funzioni sono modificate dalla sezione d’urto per un quark di momento y>x di subire un processo di scattering Compton gluone-quark tale da fornirgli esattamente il momento “finale” zy = x : (3. 4)

Il processo di scattering Compton gluone-quark è simile al processo di diffusione Compton e. m. : g*q gq e può essere calcolato a partire dalla sezione d’ urto di QED: g* quark k p g* k’ k q k’ p’ p’ g*(k) q(p) g*(k’) q(p’) u= (k-p’)2 t= q p’ s=(p+q)2 quark (q-p’)2 p k gluone g*(q) q(p) q(p’)g(k) (3. 5) processo con propagatore fermionico [per il conto, simile a quello visto per em scattering, vedi Halzen, cap. 6] E’ utile esprimere la sezione d’urto in funzione del momento trasverso del quark

Considerando l’ angolo di scattering q del quark rispetto al fotone, per il momento trasverso del quark (a un fissato p) si ha: dp. T 2 = d(p 2 sin 2 q) = 2 p 2 sinqcosqdq = 2 p 2 d(cosq) = (s/2)dcosq = 1 (q piccoli, t<<s) = sd. W/4 p s=4 p 2 gluone g* PT q p d. W=2 psinqdq=2 pdcosq quark d. W = 4 pdp. T 2/s e inserendo in (3. 5) si ha: 0 Definendo, in analogia con la variabile di Bjorken x = -q 2/2 Pq : z=-q 2/2 pq = -q 2/[(p+q)2 -q 2]=-q 2/(s-q 2) alla fine si ottiene [vedi Halzen, cap. 10. 4]: (3. 6) dove si è definita la “funzione di splitting”: singolare per p. T 2 0

CF=4/3 (8 configurazioni, media su 3 stati iniziali, e fattore ½) = p 2 Tmax Integrando su p. T 2, si ottiene: x. P=zy. P quark y. P valore fissato z=x/y cut-off per divergenza infrarossa che va inserita nella espressione (3. 4) per la funzione di struttura : dove si è ridefinito: e Q 2= -q 2 (3. 7)

In definitiva la QCD prevede che la funzione di struttura F 2(x)/x sia funzione sia di x che di Q 2=-q 2 , e l’evoluzione delle densità partoniche con Q 2 sia: Questa equazione integro-differenziale è incompleta, perché non tiene conto del processo di gluon-quark splitting: g* q 2 gluone ma solo di quello di quark-gluon bremsstrahlung: g* q quark p’ y. P k p gluone zy. P=x. P quark (x-y)P

Considerando entrambi i processi, si ottiene l’eq. completa integrodifferenziale di Altarelli-Parisi: (3. 8) dove si è introdotta, insieme alla densità partonica q(x, Q 2), anche la densità gluonica g(x, Q 2); la funzione di splitting gluone-quark è data da: La (3. 8) va complementata da un’ equazione di evoluzione analoga per g(x, Q 2): (3. 8’) [ per le espressioni complete delle funzioni di splitting Pqg e Pgg, si veda Renton, cap. 7 ]

• Sperimentalmente l’evidenza delle violazioni di scaling viene non solo dalle distribuzioni di F 2 in funzione del Q 2, ma prima di tutto dalla presenza di jets addizionali nel DIS, e di quark jet non più collineari col fotone. • La sezione d’urto di scattering ha una dipendenza dal PT del quark jet che dipende da alpha strong permette di misurare as

• Avevamo scoperto, aumentando il q 2 nello scattering inelastico, che il protone, da un “size” caratteristico di 0. 8 fermi, collegato a una scala caratteristica nei fattori di forma elettrico e magnetico, era ora visto come collezione di oggetti puntiformi nessuna scala di distanza scaling di Bjorken • Ora ritroviamo una dipendenza dal q 2. Che scala stiamo sondando ? • Con l’aumento del q 2, vediamo i quarks non più come oggetti puntiformi non interagenti, ma circondati da una “nuvola” di coppie q-antiq e gluoni. Più aumenta il q 2, più “risolviamo” questa nuvola nei suoi costituenti. E’ questa la ragione delle violazioni di scaling. • A basso x, F 2 aumenta col q 2. Ad alto x, diminuisce con il q 2. Ciò dipende dalla forma delle q(x) e g(x): ad alto x le eq. AP rendono sempre meno probabile trovare un quark, all’aumentare del q 2. A basso x g(x) contribuisce con splitting di quarks aumenta q(x)con il q 2. • L’evoluzione col q 2 comporta delle incertezze importante la misura sperimentale. Un esempio dei problemi viene dalla “compositeness” di CDF nel Run I. . .

In definitiva, la QCD prevede la violazione dell’ invarianza di scala di Bjorken; ciò è confermato dalle misure sperimentali nello scattering e. N [dall’ esperimento BCDMS, Phys. Lett. 223 B, 490], F 2 e. N 1. 0 0. 5 e da quelle relative allo scattering n. N ] dall’ esperimento CDHS al Cern, De Groot et al. (1979); si ricordi: F 2 n. N

Con i dati totali di ZEUS e H 1 le funzioni di struttura del protone sono misurate in grande dettaglio in un ampio range di Q 2 e x.

DIS: targhetta fissa vs collisori La regione cinematica nel piano (x, Q 2) accessibile agli esperimenti è limitata , ad alti Q 2, dall’ energia disponibile nel CM; a bassi valori di x, dal minimo valore misurabile dell’ angolo di diffusione dell’ elettrone. La regione fisica accessibile è quella al di sotto della retta che dà il limite cinematico y= (E-E’)/E = 1 (ossia, la linea dell’ urto massimamente anelastico in cui E’=0, Eadr=E) In tale situazione: Esperimenti su targhetta fissa Esperimenti al collisore e-p “HERA” CERN, FNAL (n/m N) e. N E’ importante salire con l’ energia nel CM gli esperimenti con due fasci collidenti permettono di sondare momenti trasferiti molto maggiori che non gli esperimenti con targetta fissa.

DIS al collisore e-p HERA Confrontiamo diverse situazioni sperimentali: HERA (Desy, Amburgo): Collisore e-p , Ep=920 Ge. V, Ee= 27. 5 Ge. V CERN, FNAL: scattering n/ m su N, Ebeam=200 Ge. V SLAC: scattering e. N, Ee=20 Ge. V

lunghezza 6. 3 Km Ee = 27. 5 Ge. V, Ep=920 Ge. V Il CM è in movimento nel sistema del laboratorio => rivelatori asimmetrici 2 esperimenti principali: ZEUS, H 1 22 m Il rivelatore ZEUS [Z. Phys. C 72, 399] e- p

H 1: Nucl. Instr. Meth. A 386, 310 (1997) Evento di DIS in H 1 angolo del jet adronico Distribuzioni cinematiche in ZEUS

La estensione della misura delle densità partoniche rispetto agli esperimenti a targhetta fissa è notevole Importante per: - verifiche di QCD a più alta scala - determinazione delle funzioni di densità partoniche (PDF) dei quarks anche a bassi valori di x (importante per le predizione dei processi di fisica, ad esempio pp-> tt, pp->Z/W+ X, pp -> Higgs+ X… ai collisori adronici come il Tevatrone e LHC (vedi seguito) Esperimenti con targhetta fissa (SLAC, CERN, FNAL)

L’ evoluzione delle PDF predetta dalla QCD con l’ausilio delle eq. integro-differenziali di Altarelli-Parisi (eq. 3. 8) sono confrontabili con i risultati sperimentali in un largo intervallo di Q 2 e x; il confronto è buono in regime di QCD perturbativa (Q 2 >> LQCD)

Misure di as • Vi sono moltissimi modi diversi per determinare la costante della QCD. Si sfruttano osservabili di DIS, decadimenti adronici del tau, forme dei jets, osservabili nel decadimento adronico della Z, sezioni d’urto di 3/2 jets. . . Tutti i metodi danno valori consistenti, una volta “evoluta” as a un valore comune di Q 2.