Intelligenza Artificiale AA 20012002 Intelligenza Artificiale Breve introduzione

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Intelligenza Artificiale Breve introduzione alla logiche sfumate (fuzzy logics) Marco Piastra Logiche sfumate - 1

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Insiemi sfumati • “E la tartaruga fece una lunga camminata. . . ” – ma quant’è lunga, una lunga camminata. . . • per una tartaruga? Long(walk) 1 0 mooolto lunga Long( ) 20 40 60 80 meters • La funzione caratteristica di un insieme non sfumato è del tipo: : U {0, 1} • La funzione caratteristica di un insieme non sfumato è del tipo: : U [0, 1] (tutto l’intervallo, non solo i valori estremi) Logiche sfumate - 2

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Operatori insiemistici • Operatori insiemistici per gli insiemi sfumati – sono definiti per analogia con gli operatori non sfumati • Alcune scelte comuni – complemento: – intersezione: – unione: A = 1 – – A A B = min( A , B) A B = max( A , B) Long(walk) Medium(walk) 1 Medium( ) 0 20 Long( ) 40 60 80 meters (Medium(walk) Long(walk)) Logiche sfumate - 3

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Scelta degli operatori insiemistici • La scelta degli operatori insiemistici per gli insiemi sfumati non è affatto ovvia • Si possono identificare dei requisiti: – norme e co-norme triangolari intersezione T-norm (Dubois & Prade) AND unione OR boundary: monotonicity: commutativity: associativity: T(0, 0) = 0; T(1, a) = a a c; b d T(a, b) = T(b, a) T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c) T-conorm (Dubois & Prade) boundary: monotonicity: commutativity: associativity: S(1, 1) = 1; S(0, a) = a a c; b d S(a, b) = S(b, a) S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) Logiche sfumate - 4

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Scelta degli operatori insiemistici (2) • Esistono inifinite norme e co-norme triangolari • Esempi: intersezione T-norm AND unione OR Minimum: min(a, b) Algebraic product: ab Bounded product: max(a b 1, 0) T-conorm Maximum: Algebraic sum: Bounded sum: max(a, b) a b ab max(a b, 1) Qual’è la scelta giusta per la passeggiata della tartaruga? Long(walk) (Medium(walk) Flat(walk)) Logiche sfumate - 5

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Sistemi inferenziali sfumati • La risposta (o forse la domanda) relativa alla scelta degli operatori insiemistici può essere meglio inquadrata considerando i sistemi inferenziali sfumati – (fuzzy inference systems) • Sono sistemi a regole – in cui si usa una rappresentazione tramite insiemi sfumati – per le premesse e le conseguenze • Molto usati nei sistemi di controllo automatico Logiche sfumate - 6

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Sistema di Mamdani • Una base di regole sfumate conditioning z 1=a if (z 1 is A 1) and (z 2 is B 1) then (u is C 1) if (z 1 is A 2) and (z 2 is B 2) then (u is C 2) A 1 B 1 z 2=b 1 1 = min( 1, 1) C 1 result û z 1 z 2 B 2 A 2 2 z 1 is a 2 z 1 2 z 2 is a u C 2 u (u) = max(min(C 1, 1), min(C 2, 2)) z 2 u 2 = min( 2, 2) – le premesse vengono intersecate con le osservazioni – i degrees of fulfillment vengono propagati ai conseguenti – si calcola l’unione delle conseguenze Logiche sfumate - 7

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Sistema di Sugeno • Una base di regole sfumate z 1=a if (z 1 is A 1) and (z 2 is B 1) then u = f 1(z 1, z 2) if (z 1 is A 2) and (z 2 is B 2) then u = f 2(z 1, z 2) A 1 B 1 z 2=b 1 1 1 z 2 B 2 A 2 2 z 1 is a 2 z 1 û = 1 f 1(a, b) + 2 f 2(a, b) 2 z 2 is a z 2 – il calcolo dei degrees of fulfillment è identico al caso precedente – ma l’unione dei è calcolata in modo diverso Logiche sfumate - 8

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Sistemi logici sfumati • Sono sistemi molto diversi dalla logica classica v( ) conseguenza logica semantica significato semantica rappresentazione simbolica derivabilità ? v( ) • Infatti: – il linguaggio formale perde completamente rilevanza • tuttavia rimane il concetto di simbolo (long, short, medium). . . – il calcolo inferenziale si effettua per via semantica – il livello di generalità è scarsissimo • si tratta di fatto di sistemi ‘ad hoc’ • una logica per ogni problema – però i sistemi funzionano. . . Logiche sfumate - 9

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Un’ipotesi esplicativa • La logica sfumata potrebbe essere un incontro tra: – logica modale – probabilità logica classica logica modale one particular walk one possible set the same particular walk Long(x) All conceivable walks many possible sets Logiche sfumate - 10

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Un’ipotesi esplicativa (2) • La probabilità misura l’appropriatezza delle descrizioni – dal punto di vista del soggetto che ne fa uso walk a probability distribution ( ) Long(x) All conceivable walks walk Long(x) ( ) Long(m) = (Long(x) (length(x) = m)) Logiche sfumate - 11

Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002 Riferimenti • Il programma dimostrativo dei fuzzy inference systems si trova al sito: http: //ai. iit. nrc. ca/IR_public/fuzzy. JToolkit. html • Il sistema si integra anche con Jess Logiche sfumate - 12