Integrazione Numerica Data una funzione f integrabile su

Integrazione Numerica • Data una funzione f integrabile su [a, b] consideriamo E consideriamo il problema di valutare numericamente tale integrale. sua approssimazione. Perché? u. Non sempre è possibile esprimere la primitiva della funzione integranda in termini di funzioni elementari u. In alcuni casi non si conosce la primitiva u. La funzione da integrare può essere data non in forma analitica, ma per punti. Si cercano metodi numerici in grado di fornire una approssimazione di un integrale in termini di un numero finito di valori della funzione integranda FORMULE DI QUADRATURA 1

Supponiamo di conoscere (o di poter valutare) la funzione integranda f(x) in punti (scelti o prefissati), distinti in [a, b] Costruiamo formule del tipo = nodi della formula di quadratura = pesi della formula di quadratura Dato che l’operatore integrazione è un funzionale lineare, tale formula ne preserva, tra l’altro, questa proprieta’ errore di quadratura • IDEA IMMEDIATA: • Approssimare f(x) con il polinomio interpolante la funzione nei nodi di grado n (unico perche’ i nodi sono distinti) dove 2

Formule interpolatorie • Se rappresentiamo • Le formule costruite in questo modo si chiamano formule di quadratura interpolatorie nella forma di Lagrange • ESEMPIO Consideriamo i punti (a, f(a)) e (b, f(b)) e sostituiamo alla funzione la retta che passa per i punti dati Regola dei Trapezi 3

Grado di precisione • La precisione di una formula di quadratura è legata alla bontà con cui approssima , pertanto in generale è dipendente dalla funzione integranda. • Si esamina per quale classe di funzioni e’ esatta (cioè ) Definizione: Una formula di quadratura ha grado di precisione k se è esatta quando la funzione integranda è un polinomio di grado k, ed esiste almeno un polinomio di grado k+1 per cui l’errore risulti non nullo • Tale definizione è giustificata dal teorema di Weierstrass • Vale il teorema seguente Teorema: Le formule di quadratura interpolatorie costruite su n+1 nodi, hanno grado di precisione almeno n. 4

Convergenza • Dal teorema di Weierstrass discende anche il seguente Teorema: Sia una successione di formule di quadratura tali che abbia grado di precisione almeno n, ed equilimitate (i. e. ). Allora si ha Dim. Per Teorema di W. Teorema: Data una famiglia di formule di quadratura interpolatorie Allora si ha tali che 5

Osservazione: In una formula di quadratura interpolatoria si ha (dim. per esercizio) Corollario: Data , se i pesi di una formula di quadratura di grado di precisione n, sono tutti positivi allora 6

• Tra le formule interpolatorie piu’ usate si possono mettere in evidenza due classi importanti: 1. Formule di Newton-Cotes: i nodi sono prefissati nell’intervallo [a, b] e sono equispaziati. Queste formule hanno grado di precisione n o n+1 ed hanno i pesi facilmente ricavabili ed espressi con semplici numeri razionali. Hanno però lo svantaggio che per n>9 i non sono tutti dello stesso segno. 2. Formule gaussiane: i nodi non sono prefissati a priori, ma assime ai pesi vengono ricavati in modo da massimizzare il grado di precisione che risulta di 2 n+1. Queste formule, rispetto a quelle di Newton-cotes, hanno il vantaggio, oltre all’elevato grado di precisione, di avere i pesi sempre positivi , al prezzo pero’ che l’espressione dei nodi e dei pesi e’ spesso non razionale. 7

Formule di Newton-cotes • Basate sul metodo di interpolazione di Lagrange con nodi equispaziati in [a, b]: • I pesi, che dipendono solo da n e h (per tutte le formule interpolatorie), non dipendono dall’intervallo di integrazione [a, b] e sono esprimibili come 8

Esempi • n=2 chiusa: SIMPSON • n=0 aperta: MIDPOINT 9

Errore per formule di N. -C. • Teorema: Sia con n pari, allora si ha Se invece n e’ dispari, dove i=1 per le formule di tipo chiuso, mentre i=0 per quelle di tipo aperto. • • A parita’ di numero di nodi formule aperte e formule chiuse hanno lo stesso grado di precisione. Per n pari (numero dispari di nodi) il grado di precisione e’ n+1 e non n (come invece si ha per n dispari) E’ piu’ conveniente usare formule con n pari. 10

Convergenza formule di N. -C. • Contrariamente a quanto potrebbe sembrare “a prima vista” non conviene usare formule di Newton-Cotes di grado di precisione via crescente. • Teorema (Kusmin): Per ogni successione di formule di quadratura interpolatorie costruite su un intervallo chiuso con nodi equidistanti si ha • I pesi tendono a crescere in modulo e ad essere di segno alterno, dando luogo a rilevanti errori di arrotondamento (per es. errori di cancellazione) 11

Condizionamento • In generale la quantita’ da’ una misura di quanto si amplifichino gli errori sui dati iniziali e quindi puo’ essere messa anche in relazione con il condizionamento del problema. • Supponiamo che a causa degli errori di arrotondamento si abbia: • L’errore effettivamente commesso e’ dato da • Se i pesi sono positivi: 12

Formule composite • Idea: si suddivide l’intervallo di integrazione [a, b] in N sottointervalli di ampiezza uguale formula di grado basso e su ciascuno di essi applicare una • Le formule piu’ usate: SIMPSON Il grado di precisione delle formule composite e’ lo stesso delle corrispondenti formule di Newton-Cotes “semplici”. 13

Errore Si puo’ facilmente dimostrare: Per funzioni sufficientemente regolari si ha quindi: 14

Implementazione • In pratica e’ importante determinare un valore adeguato del numero di suddivisioni dell’intervallo che bisogna fare. • Stima dell’errore in modo automatico valutando: • Di solito e’ conveniente considerare N 2=2 N 1 • Nell’ipotesi in cui la derivata s-esima vari lentamente e’ possibile dare una stima dell’errore a partire da due formule composite con valori diversi di N Estrapolazione di Richardson 15

Formule adattive • Le formule composite con suddivisione uniforme dell’intervallo di integrazione sono ormai superate, tranne in casi particolari (funzioni periodiche, regola dei trapezi) • Si usano formule di tipo adattivo • Quando la funzione integranda presenta delle irregolarita’ c’e’ la necessita’ di addensare I nodi nelle vicinanze delle irregolarita’ • L’intervallo viene suddiviso in sottointervalli di ampiezza diversa • Viene applicata una formula base (non con molti nodi) addensando I nodi la’ dove e’ necessario. 16

Polinomi ortogonali • Uno spazio vettoriale G sul campo R dei reali, su cui è definito un prodotto scalare, è detto spazio di Hilbert se ogni successione di Cauchy di elementi di G è convergente ( spazio di Banach + prodotto scalare) • Data una funzione peso w(x) non negativa nell’intervallo (finito o infinito) (a, b) e non identicamente nulla ed un insieme di polinomi, in cui è di grado i, esso è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare • Un sistema di polinomi è detto ortogonale rispetto ad una funzione peso w(x) ed al prodotto scalare sopra definito se • L’intervallo (a, b) e la funzione peso w(x) definiscono univocamente i polinomi , a meno di fattori costanti non nulli. 17

• Teorema: Sia q(x) un polinomio di grado n. Allora • Teorema: per ogni n>0 il polinomio ortogonale possiede n zeri reali distinti e tutti contenuti in (a, b). Inoltre gli zeri di si alternano con quelli di ossia tra due zeri consecutivi di esiste un solo zero di • Teorema: Ogni sistema di polinomi ortogonali una relazione per ricorrenza a tre termini del tipo: soddisfa 18

Formule Gaussiane • Nelle formule gaussiane i nodi non sono determinati a priori, ma sono scelti in modo da massimizzare il grado di precisione della formula Ø Teorema: Una formula di quadratura di tipo interpolatorio costruita su n+1 punti ha grado di precisione almeno n ed al massimo 2 n+1. Il grado massimo viene raggiunto se e solo se i nodi sono gli zeri dell’ (n+1)-esimo polinomio ortogonale rispetto alla funzione peso w(x)=1 Si considera il resto nella forma di Newton Per costruzione se Vediamo ora se e solo se e’ ortogonale allo spazio rispetto a E’ sufficiente prendere come nodi gli zeri dell’(n+1)-esimo polinomio ortogonale r-1=n r=n+1. Il massimo grado di precisione ottenibile e’ 2 n+1 19

Ø Tutti i coefficienti di una formula interpolatoria precisione almeno 2 n, sono tutti positivi di grado di Ø Per quanto riguarda l’errore si ha che, se dove e’ l’(n+1)-esimo polinomio ortogonale Ø Le formule gaussiane classiche sono quelle associate ai classici polinomi ortogonali. Ø Essi sono in generale definiti in [-1, 1]. Se 20

Formule di Gauss-Legendre • I polinomi di Legendre sono definiti per ricorrenza • Per queste formule si possono calcolare esplicitamente i nodi ed i pesi, per ogni n, e tabularli (nell’intervallo di riferimento [-1, 1]) • Difficile implementazione per loro utilizzo in modo iterativo • I nodi sono tutti interni all’intervallo 21

Formule di Gauss-Lobatto • Si considerano gli zeri del polinomio dove a e b sono determinate in modo tale che • Nei nodi sono inclusi gli estremi • I nodi sono gli zeri di ed i pesi sono dati da • Le formule di Gauss-Lobatto hanno grado di precisione 2 n-1 22

Formule gaussiane pesate • Si studiano formule per approssimare • Questi integrali sono utili quando si vuole integrare una funzione g(x) che presenta delle singolarità o dei punti di discontinuità nell’intervallo [a, b], ma può essere fattorizzata g(x)=w(x)f(x), in cui w(x) è una funzione di forma semplice contenente la singolarità di g(x), mentre f(x) è la parte regolare di g(x). • Si costruiscono formule interpolatorie generalizzando il procedimento visto finora (che corrisponde a w(x) 1) • La funzione peso deve essere tale da garantire l’esistenza degli integrali coinvolti e permettere la costruzione dei pesi 23

• Formule gaussiane pesate in cui i nodi sono scelti coincidenti con gli zeri dei polinomi ortogonali rispetto al prodotto scalare • Particolarizzando l’intervallo [a, b] e la funzione peso w(x) si hanno diverse formule: q Gauss-Chebychev: [-1, 1] q Gauss-Laguerre: q Gauss-Hermite : Ø Tutti i nodi ed i pesi sono ottenibili da opportune tavole, tranne che per le formule di Gauss-Chebychev: 24