Integrasjon Innledning Anvendelser Integrasjon eller integralregning assosieres ofte

  • Slides: 15
Download presentation
Integrasjon Innledning / Anvendelser Integrasjon (eller integralregning) assosieres ofte med en form for summering

Integrasjon Innledning / Anvendelser Integrasjon (eller integralregning) assosieres ofte med en form for summering og har et stort anvendelsesområde Areal Volum Nedenfor vises tre anvendelsesområder: -Beregning av areal -Beregning av volum, masse, CM -Beregning av kurvelengder Buelengde

Integrasjon Anvendelser - Musikk Derivasjon Integrasjon

Integrasjon Anvendelser - Musikk Derivasjon Integrasjon

Integrasjon Anvendelser - Sampling / Digitalisering Fourier Opprinnelig funksjon Reprodusert funksjon Samplingspunkter Enkeltledd Shannons

Integrasjon Anvendelser - Sampling / Digitalisering Fourier Opprinnelig funksjon Reprodusert funksjon Samplingspunkter Enkeltledd Shannons samplingsteorem

Integrasjon Anvendelser - Mobiltelefon

Integrasjon Anvendelser - Mobiltelefon

Integrasjon Dobbelt-integral Eks: Wavelets Gjennfinning / Skjuling Fjerner lav-frekv. W Kreftsvulster Fjerner høy-frekv. W

Integrasjon Dobbelt-integral Eks: Wavelets Gjennfinning / Skjuling Fjerner lav-frekv. W Kreftsvulster Fjerner høy-frekv. W Bomring Video-komprimering

Integrasjon Enkelt-integral Def y = f(x) a xi* xi b

Integrasjon Enkelt-integral Def y = f(x) a xi* xi b

Integrasjon / derivasjon ’motsatte’ operasjoner [1/2] F’(x) = f(x) y = f(x) a x

Integrasjon / derivasjon ’motsatte’ operasjoner [1/2] F’(x) = f(x) y = f(x) a x x+ x x F(x+ x) F(x) F x

Integrasjon /derivasjon ’motsatte’ operasjoner [2/2] F’(x) = f(x) A

Integrasjon /derivasjon ’motsatte’ operasjoner [2/2] F’(x) = f(x) A

Integrasjon / derivasjon ’motsatte’ operasjoner F’(x) = f(x) Eks Areal

Integrasjon / derivasjon ’motsatte’ operasjoner F’(x) = f(x) Eks Areal

Integrasjonsmetoder – Substitusjon – Teorem La f være en funksjon som har F som

Integrasjonsmetoder – Substitusjon – Teorem La f være en funksjon som har F som antiderivert. Med u som variabel har vi da F’(u) = f(u) og vi får: La nå u være en funksjon av x, dvs u = u(x). Funksjonen F vil da være en sammensatt funksjon hvor vi kan benytte kjerneregelen: Etter definisjonen av det ubestemte integralet har vi da: Vi har nå to integraler som begge er lik F(u) + C. Da må de to integralene være like og vi får:

Integrasjonsmetoder – Substitusjon – Eks Beregn følgende integral: Vi setter u(x) = x 2

Integrasjonsmetoder – Substitusjon – Eks Beregn følgende integral: Vi setter u(x) = x 2 + 3. Da er u’(x) = 2 x og vi får: Merk at ved integraler som kan løses vha substitusjon, så kan vi (med litt trening) svært ofte ‘tippe’ resultatet. I dette eksemplet ser vi at 4 x er, på en faktor nær, svært nær den deriverte av kjernen x 2 + 3. Derfor tipper vi på resultatet og justerer med en faktor (her 2).

Integrasjonsmetoder – Delvis integrasjon – Teorem Når u og v er to funksjoner av

Integrasjonsmetoder – Delvis integrasjon – Teorem Når u og v er to funksjoner av x, så har vi: Da har vi følgende:

Integrasjonsmetoder – Delvis integrasjon – Eks Beregn følgende integral: Vi setter u = 2

Integrasjonsmetoder – Delvis integrasjon – Eks Beregn følgende integral: Vi setter u = 2 x +1 og dv = sin(x)dx Vi får:

Integrasjonsmetoder - Delbrøkoppspalting Beregn følgende integral:

Integrasjonsmetoder - Delbrøkoppspalting Beregn følgende integral:

END

END