INTEGRALI INTRODUZIONE STORICA Cabrini Catalano Guariglia Pilati Verona

INTEGRALI INTRODUZIONE STORICA Cabrini, Catalano, Guariglia, Pilati, Verona

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO • I due grandi capitoli dell’Analisi infinitesimale: calcolo integrale e calcolo differenziale LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE • Origini del calcolo integrale: i Greci SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI > XVII sec. ALCUNI MATEMATICI MODERNI • Non esistevano le funzioni, quindi si studiavano problemi di calcolo di aree e volumi • Procedimento adottato: metodo di esaustione (Eudosso di Cnido) «riempire» un’area con delle figure note tali che la loro somma approssimi l’area cercata.

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE • Assioma di partenza “Si dice che hanno rapporto fra loro quelle grandezze che sono capaci se moltiplicate di superarsi a vicenda” SCOPERTA DEL PI GRECO • Eudosso dimostra che un cerchio può essere “esaurito” da poligoni regolari iscritti con un numero di lati via crescente. 1600 d. C. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI • In termini moderni: metodo di esaustione = calcolo dell’integrale semplice. > XVII sec. ALCUNI MATEMATICI MODERNI • Eudosso fu il primo a sviluppare un calcolo che può definirsi la chiave dell’analisi infinitesimale moderna.

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE • 200 anni dopo: Archimede riprende il metodo di esaustione • Problema: risolvere la quadratura del cerchio • Idea: trovare l’area del cerchio costruzione del quadrato di uguale area SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. > XVII sec. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI ALCUNI MATEMATICI MODERNI QUADRARE UNA FIGURA: significa costruire un quadrato di area uguale a quella della figura piana considerata. Se ciò è realmente possibile, allora si dice che la figura è <<quadrabile>>.

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 225 a. C. : Archimede calcola l’area del cerchio costruendo poligoni inscritti e circoscritti. Aumentando il numero dei lati ci si avvicina sempre di più all’area del cerchio senza mai raggiungerla. SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI > XVII sec. ALCUNI MATEMATICI MODERNI Archimede pensò quindi che fosse possibile quadrare il cerchio. Il rapporto dell’area del cerchio con il suo raggio è un numero irrazionale!!!

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI > XVII sec. ALCUNI MATEMATICI MODERNI • Origini della scoperta: osservazione del rapporto tra circonferenza C e il suo diametro d All’aumentare del diametro del cerchio aumenta proporzionalmente anche la lunghezza della circonferenza

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. > XVII sec. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI ALCUNI MATEMATICI MODERNI L’area del quadrato equivale esattamente al suo lato elevato al quadrato, applicando il teorema di Pitagora otteniamo:

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. > XVII sec. • Tra la morte di Archimede e il 1600 d. C. : il progresso occidentale subisce una lunga fase di rallentamento. • Seicento: rinascita scientifica e matematica. Introduzione dei concetti di «limite» e di «serie» CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI ALCUNI MATEMATICI MODERNI Bonaventura Cavalieri Problema: il metodo di esaustione può funzionare come metodo empirico, ma non ha una dimostrazione rigorosa. Va interpretato in chiave rigorosamente logica.

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. > XVII sec. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI ALCUNI MATEMATICI MODERNI • Bonaventura Cavalieri, un matematico del periodo, conosce Galileo Galilei che lo spinge a dedicarsi allo studio degli integrali pubblica Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, un’opera che si basa sui seguenti principi: Area = numero indefinitivamente grande di segmenti paralleli equidistanti (indivisibili di area) Volume = numero indefinitivamente grande di aree piane parallele (indivisibili di volume) Sviluppo del metodo degli indivisibili

400 a. C. 200 a. C. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE SCOPERTA DEL PI GRECO 1600 d. C. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI > XVII sec. ALCUNI MATEMATICI MODERNI • Inizi XVII secolo: Fermat e Nicolaus Mercator riprendono le teorie di Cavalieri -> altri metodi per calcolare l'area sottesa di semplici funzioni. • Fine XVII sec – inizio XVIII sec: - Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale -> primitive. - Definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo (Pietro Mengoli), migliorata da Cauchy, poi Riemann e infine Darboux. Fermat Newton Bernoulli