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Integrales VI Sesión
¿Qué áreas sabes calcular?
¿Qué pasa si el contorno NO es regular? ?
Integral de Riemann
Calculemos áreas bajo las curvas � Sea y = 2 una función, ¿cuál es el área bajo la curva cuando x recorre el intervalo [0. 5, 3]?
� Observamos que se forma un rectángulo debajo de la gráfica de la función, por lo tanto sólo se deben determinar sus dimensiones. Alto = 2 Ancho = 2. 5 Área = (2)(2. 5) = 5
� Tomando el mismo intervalo, cambiemos de función. � Ahora calculemos el área bajo la curva de la función y = x en el intervalo [0. 5, 3] � ¿Cómo lo harías?
� Posibles soluciones: › Al área del triángulo de lado 3, restarle el área del triángulo de lado 0. 5: › menos 4. 5 – 0. 125 = 4. 375 =
� Al área del cuadrado de lado 3 restarle el área del cuadrado de lado 0. 5 y al resultado dividirlo entre 2: menos 9 – 0. 25 = 8. 75/ 2 = 4. 375 =
� Con ambas funciones y = k, y = kx recurrimos al cálculo de áreas de figuras conocidas. � ¿Cómo lo harías si la gráfica de la función no tiene lados rectos? Es decir, la forma de la gráfica es curveada. Por ejemplo y = x 2 , en el intervalo [0, 3]:
� Para una gráfica “curveada” utilizaremos el método de Riemann (vamos a tapizar el área bajo la curva con rectángulos, entre más pequeños mejor)
� Observamos que la suma de los rectángulos azules nos da como resultado un área MAYOR a la que nos piden calcular. � De igual manera, la suma de los rectángulos rosa nos da como resultado un área MENOR a la solicitada. � Por lo tanto si hacemos los rectángulos (azules o rosas) más finos entonces esta diferencia que existe entre el área REAL bajo la curva y el área de la suma de los rectángulos será cada vez menor.
¿En qué momento encontraríamos el área real? � Cuando los rectángulos sean tan, tan… pequeños que su base sea sólo el punto en donde parten y su altura la función evaluada en ese punto.
� Pero éste sería un proceso INFINITESIMAL, ya que existen una infinidad de puntos dentro del intervalo [0, 3]. � Así que debemos encontrar alguna manera de expresar toda esta situación, es decir: Expresar el área bajo la curva como una suma infinita de rectángulos.
Componentes de la Integral � Se representa por ∫ f(x) dx. ∫ es el signo de integración (una letra “S” estilizada, de suma). � f(x) es el integrando o función a integrar (altura de los rectángulos) � dx es diferencial de x (base de los rectángulos) e indica cuál es la variable de la función que se integra. �
Definiciones � Una integral es una suma de infinitos sumandos –áreas de rectángulos-, infinitamente pequeños. � Una integral es el área dentro de una curva. � La integral es la operación inversa a la derivada, por esto también se le denomina como antiderivada (Teorema Fundamental del Cálculo).
¿A quién derivamos entonces? Función y = 5 x + 4 y = 5 x – 10 Derivada y´= 5 Antiderivada ∫ 5 dx = 5 x + ¿? y = 5 x + � y´= 5 ∫ 5 dx = 5 x + ¿? Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5 x+3, ó 5 x-2 o bien 5 x. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5 x mas una constante: ∫ 5 dx = 5 x + c
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