INTEGRALES U D 7 2 BCS Angel Prieto

INTEGRALES U. D. 7 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 1

INTEGRACIÓN POR PARTES U. D. 7. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 2

4. - INTEGRACIÓN POR PARTES • Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes: • Sea f(x). g(x) dx , en general. • [ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ] • • f(x). g(x)dx = • • La segunda integral , v du , suele ser inmediata. De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral CÍCLICA. f(x) = u g(x) dx = dv @ Angel Prieto Benito u. dv = u. v - v du f ’(x) dx = du g(x) dx = dv = v Matemáticas 2º Bach. C. T. 3

• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES • f(x). g(x)dx = • • x 1 - Calcular x e dx • • cambio de variables: x=u x e dx = dv • • • 2. Calcular L x dx. cambio de variables: • quedándonos @ Angel Prieto Benito u. dv = u. v - v du dx = du ; x e dx = v x x I = x. e - e dx = x. e - e + C Lx = u dx = dv 1/x dx = du ; dx = v I = Lx. x - x. 1/x dx = Lx. x - x + C Matemáticas 2º Bach. C. T. 4

• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES • f(x). g(x)dx = u. dv = u. v - v du • • 3 - Calcular x 2 ex dx • • cambio de variables: x 2 = u ex dx = dv • quedándonos I = x 2 ex - 2 x ex dx • Calculamos 2 x ex dx. • • cambio de variables: • • quedándonos @ Angel Prieto Benito 2 x = u ex dx = dv 2 x dx = du ; ex dx = ex = v 2 dx = du ; ex dx = ex = v I = x 2 ex - [ 2 x. ex - 2 ex dx ] = = x 2 ex - 2 x. ex + 2 ex + k Matemáticas 2º Bach. C. T. 5

• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES • f(x). g(x)dx = u. dv = u. v - v du • • 4 - Calcular x 2 sen x dx • • cambio de variables: x 2 = u sen x dx = dv • quedándonos I = - x 2 cos x - - 2 x cos x dx • Calculamos - 2 x cos x dx. • • cambio de variables: • • quedándonos @ Angel Prieto Benito - 2 x = u cos x dx = dv 2 x dx = du ; sen x dx = - cos x = v - 2 dx = du ; cos x dx = sen x = v I = - x 2 cos x - [ - 2 x sen x - - 2 sen x dx ] = = - x 2 cos x + 2 x. sen x + 2 cos x + k Matemáticas 2º Bach. C. T. 6

• • • INTEGRAL CÍCLICA x Calcular sen x. e dx • • • Veamos • Nueva integración por partes: • • Veamos f(x). g(x)dx = u. dv = u. v - v du v = sen x dx = - cos x + C x du = e dx x x I = e (- cos x ) - - cos x. e dx = - e. cos x + e. cos x dx sen x dx = dv x e =u cos x dx = dv v = cos x dx = sen x + C x x e =u du = e dx x I = - e. cos x + e sen x - e. sen x dx x x 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 7