Integrales indefinidas q El problema del rea bajo

Integrales indefinidas q. El problema del área bajo una curva qÁrea bajo una curva: aproximación qÁrea bajo una curva: definición qÁrea por rectángulos superiores e inferiores (I) qÁrea por rectángulos superiores e inferiores (II) q. Integral definida q. Signo de la integral definida q. Propiedades de la integral definida q. Teorema de la media q. Función integral q. Derivada de la función integral q. Teorema de Barrow

In ic io El problema del área bajo una curva • En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas. • Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b. Error

In ic io Área bajo una curva: aproximación h h + h +

El área bajo una curva de una función f(x) continua y positiva en el intervalo [a, b] viene dada por: R In i ci o Área bajo una curva: definición

io In ic Área por rectángulos superiores e inferiores (I) Sea una división cualquiera Pn del intervalo [a, b] Sea f(x) continua en [a, b], y sea f(x) 0 en [a, b]. Sean además: mi el mínimo de f(x) en el intervalo[xi-1, xi ] Mi el máximo de f(x) en el intervalo[xi-1, xi ] Para cada intervalo [xi-1, xi ] sean: S(RIi) = h mi S(RSi) = h Mi

o ic i In Área por rectángulos superiores e inferiores (II) Rectángulos superiores Trapecios Rectángulos inferiores

Se cumple que Este límite común recibe el nombre de integral definida y se designa por: La integral de Riemann se define de la siguiente manera: o ic i Integral de Darboux Entonces si: a) P 1 P 2 P 3 . . . Pn . . . b) Las longitudes xi – xi–i tienden a 0 cuando n + In Integral definida Sea f(x) continua en [a, b], no necesariamente positiva en dicho intervalo. Sean P 1, P 2, . . . , Pn, . . . una sucesión de divisiones de [a, b].

In i ci o Signo de la integral definida

io In ic Propiedades de la integral definida

In ic io Teorema de la media Interpretación geométrica Entre los rectángulos ab. B'A y ab. BA' existe un rectángulo intermedio que tiene la misma área que el trapecio mixtilíneo ab. BA. La altura de este rectángulo es precisamente f(c). • Por tanto R 1 = R 2. • f(c) recibe el nombre de valor medio de f(x) en el intervalo [a, b].

In ic io Función integral

io In ic Derivada de la función integral Se cumple que F '(x) = f(x) en el intervalo [a, b] aplicando el teorema de la media = f(x) por la continuidad de f si h 0, f(c) f(x)

io In ic Teorema de Barrow • Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C. • Como F(a) = 0 C = – F(a). Por tanto F(x) = G(x) – F(a). • Para x = b, F(b) = G(b) – F(a).