Integrales definidas Teoremas 2 Bachillerato Presentacin elaborada por

Integrales definidas. Teoremas 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Esquema

Área bajo una curva Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

Sumas de Riemann Como la función es contínua en cada intervalo existen un mínimo y un máximo (Tª de Weiersstra) Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] Las sumas inferiores(suma de los rectángulos) s(f; Pn) = m 1. x 1 + m 2. x 2 +. . . + mn. xn Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan así S(f; Pn) = M 1. x 1 + M 2. x 2 +. . . + Mn. xn Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )

Cálculo de áreas • En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas. • Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones Error que se comete al tomar una por otra

Integral definida Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición Pn. Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] s(f; Pn) = m 1. x 1 + m 2. x 2 +. . . + mn. xn Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] S(f; Pn) = M 1. x 1 + M 2. x 2 +. . . + Mn. xn

Integral definida y área bajo una curva I f(x) 0 x [a, b] f(x) R f(x) 0 x [a, b]

Integral definida y área bajo una curva II Si f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [a, b], se calculan cada una por separado y se suman los resultados teniendo en cuenta los signos.

Propiedades de la integral definida

Función área o función integral Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:

Teorema del valor medio: interpretación geométrica Enunciado: Si f es continua existe c [a, b] en el que Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos ab. B'A (rojo) y ab. BA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c). Por tanto R 1 = R 2

Teorema del valor medio para integrales Demostración: área pequeña < A. curva < área grande M m a c b ¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.

Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a, b). Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x) Y área pequeña < A. curva < área grande x x+h X

Teorema fundamental del cálculo Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a, b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la primitiva de f, es decir F’(x) = f(x). Dem. : a c b Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)

Regla de Barrow Demostración: • Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C. • Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a). • Para x = b, F(b) = G(b) – G(a). Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)

El método de «cambio de variable» para integrales definidas ó 8 x dx = ô Ejemplo: 22 õ– 5 (5 + x) Cambio u = 5 + x 2 = g(x) du = 2 xdx g(– 5) = 30; g(8) = 69 69 30

Área del recinto limitada por una función R Y + a f(x) + c – d b e – X

Área del recinto limitado por dos funciones

Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x 3 – 6 x 2 + 9 x e y = x 3 – 6 x 2 + 9 x y=x 4 + ò (x - x 3 +6 x 2 -9 x) dx R 0 2 4 2