INTEGRAL Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo ALJABAR KALKULUS Konsep

INTEGRAL Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo

ALJABAR KALKULUS Konsep matematika yg mempelajari tk perubahan dr suatu fungsi DIFERENSIAL • Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi • Mencari turunan dr suatu fungsi INTEGRAL • Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya • Menentukan luas bidang APLIKASI • Menghitung nilai optimal • Analisis marginal APLIKASI • Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN • Kebalikan dari diferensial/derivatif Anti diferensial/derivatif • Kegunaan : – Mencari fungsi asal jika diketahui fungsi turunannya intergal tak tentu (indefinite integral) – Menentukan luas bidang dari sebuah kurva yang dibatasi sumbu X integral tertentu (definite integral)

INTEGRAL TAK TENTU • Nilai domain tidak ditentukan • Jika Y = F(x) dan Y’ = F’(x) = f(x), maka “integral dari f(x) terhadap X” : • Keterangan – – – f(x) F(x) dx c : tanda integral : integran : fungsi primitif : proses integral : konstanta

INTEGRAL TERTENTU • Nilai domainnya ditentukan : a b a : batas bawah b : batas

PENYELESAIAN INTEGRAL • Rumus Dasar • Cara Substitusi • Cara Integral Parsial

RUMUS DASAR INTEGRAL • • 0 dx = c a dx = ax + c xn dx = 1/(n+1) xn+1 + c (n≠-1) 1/x dx = ln x + c 1/(ax+b) dx = 1/a ln (ax+b) + c ex dx = ex + c eax+b = 1/a eax+b + c ax dx = ax/lna + c

CONTOH SOAL 1. (x 3 – 5 x 2 + x + 7/x) dx 2. 100 e 2 x dx 3. Diketahui f ’(x) = 3 x 2 – 6 x + 10 dan f(2) = 20. a. Tentukan f(x) ! b. Hitung f (6) c. Hitung

Jawab 1. (x 3 – 5 x 2 + x + 7/x) dx 4 3 1 x 2 7 ln x + c 1 x 5. 1 x = + + 4 3 2 2. 100 e 2 x dx = 100. 1 e 2 x + c = 50 e 2 x + c 2 3. a). (3 x 2 – 6 x + 10) dx = x 3 - 3 x 2 + 10 x + c Jadi f(x) = x 3 - 3 x 2 + 10 x + c

f(x) = x 3 - 3 x 2 + 10 x + c f(2) = 20 (2) 3 - 3(2)2 + 10(2) + c = 20 c=4 b). f(6) = (6) 3 - 3(6) 2+ 10(6) + 4 f(6) = 172 c). = (x 3 - 3 x 2 + 10 x + 4) dx = ¼x 4– x 3 + 2 3 5 x + 4 x ] 1 = (¼(3) 4 –(3) 3 + 5(3) 2 +4(3)) – (¼(1)4–(1) 3 +5(1)2 +4(1) = 50, 25 – 8, 25 = 42

CARA SUBSTITUSI Digunakan jika integran merupakan hasil kali/bagi dari fungsi x yang dapat didiferensialkan serta dapat dinyatakan sebagai kelipatan konstanta dari fungsi lainnya, U du/dx.

Contoh Soal • 5. (3 x 2 + 2 x + 4)4. (6 x+2). dx misalkan u = 3 x 2 + 2 x + 4 du/dx = 6 x+2 du = (6 x+2)dx Jadi 5. (3 x 2 + 2 x + 4)4. (6 x+2). dx = 5. u 4. du = 5. 1 u 5 + c = u 5 + c 4+1 = (3 x 2 + 5 2 x + 4) + c

CARA INTEGRAL PARSIAL Digunakan jika integran merupakan hasil kali/bagi dari fungsi x yang dapat didiferensialkan, tetapi tidak dapat dinyatakan sebagai kelipatan konstanta dari fungsi lainnya, U du/dx.

Contoh Soal • x 2 lnx dx misalkan : u = ln x maka du/dx = 1/x du = dx/x dv = x 2 dx maka v = dv v = x 2 dx = 1/3 x 3 u. dv = uv - v. du = lnx. 1/3 x 3 - 1/3 x 3. dx/x = 1/3 x 3 lnx – 1/3 x 2 dx = 1/3 x 3 lnx - 1/3 x 3 + c = 1/3 x 3 lnx - 1/9 x 3 + c

TUGAS 1. (3 x + 10)7 dx 2. 12 x 2(x 3 + 2)3 dx 3. 2 x ex dx

APLIKASI INTEGRAL DALAM ILMU EKONOMI

Aplikasi Integral 1. Menghitung Fungsi Total jika diketahui Fungsi Marginal Fungsi Biaya (TC) = hubungan fungsional antara jumlah biaya dalam proses produksi dengan sejumlah output dalam jangka waktu tertentu Total Cost (TC) terdiri atas Fixed Cost (FC) dan Variabel Cost (VC) FC selalu konstan selama jangka waktu tertentu VC adalah biaya variabel yang berubah menurut jumlah barang yang diproduksi

Lanjutan… TC = f(x) + k , dimana k = FC dan f(x) = VC MC = TC’ TC = MC MC (Marginal Cost) : Biaya ekstra yang harus dikeluarkan untuk memperoleh tambahan output sebanyak satu unit.

Lanjutan… Fungsi Konsumsi C = F(Y) C = jumlah konsumsi dalam satuan Rupiah untuk setiap tingkat pendapatan Y Rupiah Turunan dari C’ = F’(Y) atau C’ = MPC (Marginal Prospensity To Consume) Jika MPC diketahui dan fungsi konsumsi (C) tidak diketahui maka : C = MPC atau C = F’(Y) dy = F(Y) + c c = autonomous consumption 2. Surplus Konsumen dan Surplus Produsen

Lanjutan… • Surplus Konsumen (SK) : Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk setiap unit barang yang dibeli. • Surplus Produsen (SP) : Penjual yang bersedia menjual barangnya dibawah harga equilibrium akan memperoleh kelebihan harga jual untuk setiap unit barang yang terjual.

CONTOH SOAL APLIKASI INTEGRAL 1. 2. Diketahui MC = 9 Q 2 + 30 Q + 25. TC sebesar 4880 ketika Q sebesar 10 unit. a. Berapa FC ? b. Tentukan fungsi TC ! Diketahui MPC = 0, 8 dan autonomous consumption = 1000. Tentukan fungsi konsumsi !

SURPLUS KONSUMEN & SURPLUS PRODUSEN : f (Q)

SURPLUS KONSUMEN & SURPLUS PRODUSEN : f (P)

CONTOH SOAL 1. 2. 3. 4. Fungsi permintaan Q = 90 - 2 P. Hitung surplus konsumen ketika Q = 25 Fungsi penawaran P = Q 2 + 3. Hitung surplus produsen ketika P = 12 Fungsi permintaan P = 25 – Q 2 dan penawaran P = 2 Q + 1. Hitung surplus konsumen dan surplus produsen saat terjadi market equilibrium ! Fungsi permintaan Q = 15 – P dan penawaran Q = 0, 25 P 2 - 9. Hitung surplus konsumen dan surplus produsen saat terjadi keseimbangan pasar !

LATIHAN SOAL Hitung SK dan SP ketika terjadi ME • Fungsi permintaan P = 58 – 0, 5 Q dan penawaran P = 0, 5 Q 2 + Q + 4. • Fungsi permintaan Q = 128 – 2 P dan penawaran Q = 0, 5 P 2 – 2, 5 P - 25. • Fungsi permintaan Q = – 0, 5 P + 530 dan penawaran P = 0, 5 Q 2 + 10 Q + 250.