INTEGRAL RAUNANJE INTEGRALA RAUNANJE PO DEFINICIJI Predpis je

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA RAČUNANJE PO DEFINICIJI Predpis je neroden za računanje: običajno je težko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih. Pomagamo si takole: na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1, xi] in tvorimo Riemannovo vsoto. Za poljubno delitev D velja: S( f, D) ≤ R( f, D, T) ≤ Z( f, D) . . . MATEMATIKA 2 1

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA f(x)=x na [a, b] D poljubna, za T izberemo: a b Podobno dobimo: MATEMATIKA 2 2

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA f(x)=ex na [0, 1] Podobno dobimo: MATEMATIKA 2 3

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA ANALITIČNO RAČUNANJE f omejena ⇒ f zvezna ⇒ MATEMATIKA 2 F zvezna F odvedljiva in F ’= f osnovni izrek analize 4

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Obratno, če je F ’=f dobimo Newton-Leibnizova formula F je primitivna funkcija za f Primitivna funkcija ni enolično določena, dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za konstanto. MATEMATIKA 2 5

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA § ‘uganemo’ primitivno funkcijo F § izračunamo MATEMATIKA 2 6

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA NUMERIČNO RAČUNANJE Integral računamo numerično, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah. Integrand f nadomestimo s približkom g, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala MATEMATIKA 2 7

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA METODA TRAPEZOV a b [a, b] razdelimo na n enakih delov: trapezna formula MATEMATIKA 2 Funkcijo f nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo g, določeno s točkami (xk , yk). napaka metode 8

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA SIMPSONOVA METODA a b [a, b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo. Funkcijo f nadomestimo z g, sestavljeno iz teh parabol. Simpsonova formula MATEMATIKA 2 9

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Trapezna metoda : 2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti: xk 0. 0000 0. 2000 0. 4000 0. 6000 0. 8000 1. 0000 yk 1. 0000 0. 8333 0. 7143 0. 6250 0. 5555 0. 5000 3. Vstavimo v trapezno formulo: dejanska napaka 0. 0025 Simpsonova metoda : n=2 (4 delilne točke) dejanska napaka 0. 0001 MATEMATIKA 2 10

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Oceni ploščino kosa pločevine: 55 cm 51 cm 62 cm 50 cm 12 cm 100 cm MATEMATIKA 2 11