INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE Elementarni tudij

INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE Elementarni študij funkcije : enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij. Lokalne lastnosti funkcije : zveznost, odvedljivost. (lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo že ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti) Znotraj dane natančnosti zvezne funkcije ni mogoče ločiti od nezvezne. MATEMATIKA 2 1

INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE funkcija odvod majhna razlika pri funkcijskih vrednostih velika razlika pri vrednostih odvoda Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe? povprečna vrednost osnovne funkcije: 10. 9166 povprečna vrednost ‘zanihane’ funkcije: 10. 9195 Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti. MATEMATIKA 2 2

INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM p a b p je povprečna vrednost funkcije f na intervalu [a, b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika. p = (ploščina pod grafom funkcije f ) : (b-a) MATEMATIKA 2 3

INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov: Vsota ploščin včrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom. Vsota ploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom. Intuitivno, z delitvijo [a, b] na dovolj drobne podintervale, je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimo kolikor hočemo natančno oceno za ploščino pod grafom. MATEMATIKA 2 4

INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM Formalizem: Privzemimo, da je f: [a, b]→ omejena ( m ≤ f(x) ≤ M za vse x∈[a, b] ). delitev intervala [a, b] mi: natančna spodnja meja f na intervalu [xi-1, xi] Mi: natančna zgornja meja f na intervalu [xi-1, xi] spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin včrtanih pravokotnikov) zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin očrtanih pravokotnikov) Pri vseh delitvah D je S( f, D) ≤ ploščina pod grafom f ≤ Z( f, D). MATEMATIKA 2 5

INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Množica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo, ki jo označimo S( f ) in imenujemo spodnji integral funkcije f. Množica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno spodnjo mejo, ki jo označimo Z( f ) in imenujemo zgornji integral funkcije f. Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f). Skupno vrednost imenujemo integral funkcije f na intervalu [a, b] in označimo z MATEMATIKA 2 6

INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Katere funkcije so integrabilne? Za vsako delitev D velja S( f, D) ≤ S( f) ≤ Z( f, D), zato je dovolj, če pokažemo, da vedno lahko izberemo delitev D, pri kateri je razlika majhna kolikor želimo. Kakorkoli izberemo delitev D, vedno dobimo S( f, D)=0 in Z( f, D)=1 S( f)=0 in Z( f)=1, torej f ni integrabilna MATEMATIKA 2 7

INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Privzemimo, da je f: [a, b]→ naraščajoča, in izberimo natančnost ɛ: Monotone funkcije so integrabilne. Privzemimo, da je f: [a, b]→ zvezna, in izberimo natančnost ɛ: Zvezne funkcije so integrabilne. f: [a, b]→ je integrabilna, če ima največ števno mnogo točk nezveznosti. MATEMATIKA 2 8

INTEGRAL LASTNOSTI INTEGRALA f pozitivna na [a, b] a b c Ob upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje. MATEMATIKA 2 9

INTEGRAL LASTNOSTI INTEGRALA M, m: natančna zgornja in spodnja meja f na [a, b] M m a b Če je f zvezna, zavzame vse vrednosti med m in M. a b Zvezna funkcija na vsakem intervalu zavzame svojo povprečno vrednost. MATEMATIKA 2 10