INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY WYMIANY KONTRAKTY FUTURES

INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY WYMIANY KONTRAKTY FUTURES OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

Instrumenty pochodne /definicja § Instrument pochodny – umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp. § Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania. § Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

Instrumenty pochodne Elementy składowe § Rodzaj transakcji (kupno / sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut, udzielenie/ pobranie kredytu) § Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny) § Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy) § Obowiązki i prawa stron § Sposób rozliczenia i realizacji kontraktu

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward § § Metale Surowce energetyczne Stopy procentowe Kursy wymiany walut

Elementy kontraktu forward § § § Cena jednostkowa Ilość towaru Parametry jakościowe Miejsce dostawy Data rozliczenia Klauzule dodatkowe § § Możliwość zbycia kontraktu Dochodzenie roszczeń w przypadku niedotrzymania umowy

Po co zawierane są kontrakty ? § Zabezpieczenie przed ryzykiem § § wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe) spadku cen surowców (kontrakty towarowe) § Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe) § Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową) § Osiągnięcie zysku § Osłona innych inwestycji

Kto zawiera kontrakty lub handluje kontraktami ? § Producenci metali bądź surowców energetycznych § Odbiorcy metali lub surowców § Importerzy , eksporterzy § Inwestorzy § Spekulanci § Arbitrażysci

Przykład kontraktu forward na stopę procentową § Spółka podpisuje w dniu 17. 04. 2012 z bankiem umowę na mocy której bank zobowiązuje się dnia 01. 01 2013 udzielić spółce kredytu w wysokości 500 tys. zł na okres 5 lat (termin ostatniej spłaty 01. 2018) oprocentowanego stopą 6, 5% spłacanego w równych ratach. Spółka zobowiązuje się do zaciągnięcia w/wymienionego kredytu.

Przykład kontraktu forward na kurs waluty § Spółka podpisuje w dniu 17. 04. 2012 umowę z bankiem, na mocy której bank zobowiązuje się w dniu 01. 2014 sprzedać spółce kwotę 500 tys. Euro po kursie 4, 08 zł. za Euro. § Spółka zobowiązuje się do zakupu wyżej wymienionej kwoty wg ustalonego kursu.

Charakterystyka kontraktów forward § § § § Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej) Warunki negocjowane między stronami kontraktu Brak standaryzacji Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości Strony kontraktu znają się nawzajem Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami Możliwe trudności w zamknięciu pozycji Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu § Symetryczne ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających dwóm stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie § Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji) § Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Kontrakty wymiany (swapy) Walutowy kontrakt wymiany (Swap walutowy) § Założenia: spółkom A i B zostały zaoferowane stopy procentowe dla kredytów denominowanych w dolarach oraz funtach podane w tabeli. Jednocześnie spółka A potrzebuje funty do swej działalności zaś spółka B dolary Spółka A dolary 8% funty 11, 6 % Spółka B 10 % 12 %

Walutowy kontrakt wymiany § T=0 § Spółka B zaciąga kwotę K’’ w funtach kredytu na n lat (co roku spłaty dotyczą tylko odsetek, po n latach spłacana jest cała kwota), zaś A równoważną kwotę K’ dolarów ($) na n lat przy rocznych spłatach odsetek. (K’’ = K’ $ = K) § Spółki zamieniają się uzyskanymi kwotami kredytów (A dostaje funty, B – dolary). § 0<T<n § Co roku spółka A przekazuje spółce B 10, 8% K’’ oraz oddaję bankowi kwotę 8, 00 % K’ $. Spółka B przekazuje spółce A kwotę 8, 00 % K’ $ zaś bankowi 12% K’’ § T= n § Spółka A przekazuje kwotę K’’ spółce B, spółka B przekazuje kwotę K’ $ spółce A. § Spółka A przekazuje bankowi kwotę K’ $ zaś B przekazuje swojemu bankowi kwotę K’’ .

Walutowy kontrakt wymiany § Bilans § Oba banki otrzymują stosowne roczne odsetki w odpowiednich walutach oraz w chwili końcowej – kwoty kredytów § Spółka A operuje funtami przekazując spółce B rocznie 10, 8% K’’ . Odsetki w $ otrzymywane od B przekazuje bankowi. Zatem rocznie odprowadza 10, 8 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w , musiałaby przekazywać 11, 60 %. Uzyskuje roczną korzyść 0, 80 % K. § Spółka B operuje dolarami przekazując rocznie spółce A 8, 00 % od kwoty K’ $. Otrzymując 10, 8 % K’’ musi dopłacić jeszcze 1, 2% tej kwoty, by przekazać swemu bankowi 12 % K’’ . Wypłaca więc rocznie 9, 2 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w $, musiałaby przekazywać 10 % K. Uzyskuje roczną korzyść 0, 80 % K.

Ryzyka kontraktu wymiany § Ryzyko kredytowe – ryzyko związane z działalnością firm A i B możliwością popadnięcia w niewypłacalność § Ryzyko walutowe – mogą nastąpić istotne różnice w kursie wymiany walut, preferujące jedną ze stron kontraktu zarówno w trakcie spłacania odsetek jak i przy ostatecznym przekazaniu kwot kredytu.

Kontrakty futures Kontraktem typu futures jest umowa między dwoma podmiotami dotycząca dostawy określonej ilości towaru lub określonych aktywów w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie. Kontrakt ma szczegółową specyfikację i jest przedmiotem obrotu giełdowego.

Futures / towarowe instrumenty bazowe § § Metale szlachetne i strategiczne Surowce energetyczne: ropa naftowa, paliwa, gaz Rośliny oleiste: ziarna, nasiona, włókna Artykuły spożywcze: cukier kawa, kakao

Futures / finansowe instrumenty bazowe § § § Stopy procentowe Kursy wymiany walut Ceny obligacji Ceny akcji Indeksy giełdowe

Futures/ Standaryzacja kontraktów towarowych § Ustalony standard jakości § Ustalona ilość towaru przypadająca na jeden kontrakt § Określenie daty i miejsca dostawy (jedyna rzecz pozostająca do ustalenia to cena kontraktu ale ona ustalana jest na parkiecie giełdowym) Kontrakty forwards i futures na towary mają wiele podobieństw, różnice występują w możliwościach obrotu kontraktami, warunkach dostaw a przede wszystkim w metodach rozliczania i dystrybucji ryzyka inwestycyjnego

Futures / Charakterystyka kontraktów § § § § Obrót giełdowy (istnieje cena giełdowa kontraktu) Standaryzowane i publicznie znane specyfikacje kontraktów Znane ceny (kursy) kontraktów Uczestnicy rynku są anonimowi Określone godziny obrotu Pozycje łatwe do zamknięcia Brak konieczności dostawy fizycznej towaru Od każdej strony pobierany jest depozyt zabezpieczający przez instytucję rozliczającą kontrakt § Bieżąca kompensacja zobowiązań i należności będąca konsekwencją wahań cen kontraktu § Każda ze stron jest zabezpieczona przed ryzykiem niedotrzymania kontraktu przez drugą stronę

Rozliczenie kontraktu futures na towar (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Rozliczenie kontraktu futures, faza 1, 2 (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Rozliczenie kontraktu futures, faza 3, 4 (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Rozliczenie kontraktu futures § W przypadku kontraktów terminowych notowanych na warszawskiej giełdzie regulowanie zobowiązań następuje wyłącznie w formie rozliczenia pieniężnego, mimo że kupno lub sprzedaż kontraktu oznacza zobowiązanie do dostawy lub odbioru instrumentu bazowego

Dwie strony kontraktu futures § Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji na kontrakcie § Pozycję długą (kupić kontrakt) § Pozycję krótką (sprzedać kontrakt) Pozycję można § Utrzymać do dnia wygaśnięcia (po czym następuje rozliczenie ) § Wycofać się z rynku, zamykając pozycję (sprzedać jeśli kupił, kupić jeśli wcześniej sprzedał)

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20 § Kurs kontraktu na WIG 20 oscyluje wokół poziomu indeksu WIG 20 § Załóżmy, że Inwestor zajmuje dziś pozycję długą na kontrakcie zaś kurs zamknięcia z poprzedniej sesji wyniósł 2500 pt. § Wartość kontraktu to: kurs kontraktu*10 zł = 25 000 zł. § Inwestor wnosi depozyt zabezpieczający w wysokości 5, 00 % wartości kontraktu z poprzedniego zamknięcia, czyli 1250 zł. § Jeżeli kurs kontraktu wzrośnie o 2% czyli wyniesie 2550, to zysk kwotowy inwestora wyniesie tyle, ile wynosi wzrost wartości kontraktu, czyli 2550*10 zł - 25000 zł = 500 zł. § Zysk procentowy wyniesie (500/1250)*100% = 40% § (20 - krotność zmiany procentowej kursu kontraktu) § Do poprzedniego stanu depozytu dopisana jest kwota 500 zł. § Nowa wartość depozytu wynosi 1750 zł, co stanowi 6, 86% nowej wartości kontraktu – 25 500 zł. Depozyt może być zredukowany do kwoty równej 5% nowej wartości kontraktu. Inwestor może wyprowadzić kwotę 475 zł.

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20 § Jeżeli kurs kontraktu spadnie o 2% o poziomu 2450, to kwota straty inwestora wyniesie tyle, ile wynosi utrata wartości kontraktu , czyli § 25 000 zł - 2450*10 zł = 500 zł. § Strata procentowa wyniesie (500 / 1250)*100% = 40% § ( 20 - krotność zmiany procentowej kursu kontraktu ) § Od poprzedniego stanu depozytu odjęta jest kwota 500 zł, § Nowa wartość depozytu wynosi 750 zł, co stanowi 3, 06% nowej wartości kontraktu (24 500 zł). § Depozyt musi być uzupełniony do kwoty stanowiącej 5% nowej wartości kontraktu, czyli do kwoty 1225 zł. Należy dopłacić 475 zł. Uwaga 1. Wartość kontraktu zmienia się w ujęciu procentowym tak jak kurs kontraktu Uwaga 2. Zyski i straty inwestora zajmującego krótką pozycję są odwrotne do zajmującego pozycję długą

Zakładamy dzienne 2% spadki kursu kontraktu po dwóch dniach posiadacz długiej pozycji traci [(1200, 50 - 940, 50) – 1250] / 1250 = -79, 20% po trzech dniach -117, 62 % po 10 dniach - 365, 85 %

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20 symulacja kursu: 0, 3 x + 200 sin x + 2500

Efekt dźwigni finansowej w kontraktach futures § Rozliczenie dzienne ma na celu niedopuszczenie do sytuacji narastania długu do takiego rozmiaru, przy którym istniałoby ryzyko niewypłacalności jednej ze stron § W przypadku kontraktów na WIG 20 depozyt 5% oznacza, że każda zmiana kursu kontraktu oznacza dwudziestokrotnie większą zmianę procentową w portfelu inwestora

Rodzaje ryzyka inwestowania w kontrakty terminowe § Ryzyko rynkowe – zmiany kursów potęgowane są przez efekt dźwigni finansowej (małe wahania kursów powodują duże procentowe zmiany wartości kontraktów) § Ryzyko płynności – niska aktywność innych graczy może utrudniać zamknięcie pozycji, zwłaszcza kontraktów o odległym terminie wygaśnięcia § Ryzyko makroekonomiczne – dotyczy kontraktów na waluty i wiąże się z wpływem polityki monetarnej na kształtowanie się kursów wymiany walut

Futures / Uczestnicy rynku § Producenci i odbiorcy metali, surowców energetycznych, roślin oleistych, artykułów spożywczych § Importerzy, eksporterzy § Inwestorzy, zabezpieczający swoje pozycje na rynku kasowym - zajęcie równej co do wartości lecz przeciwnej w stosunku do pozycji na rynku kasowym (poz. długa na rynku kasowym (akcje) + krótka pozycja na kontrakcie na indeks) § Spekulanci (wykorzystanie lewara finansowego) Zajęcie długiej pozycji w kontrakcie – przy przewidywanym wzroście jego ceny Zajęcie krótkiej pozycji w kontrakcie – przy przewidywanym spadku jego ceny § Arbitrażyści Kupno i sprzedaż kontraktów wykorzystujące różnice cenowe między poszczególnymi rynkami lub giełdami

Futures / ZABEZPIECZENIE KRÓTKIE § Rynek kasowy: Inwestor posiada pakiet akcji z indeksu WIG 20 § Rynek terminowy: Inwestor zajmuje krótką pozycję na kontraktach futures na WIG 20, tak by wartość kontraktów była identyczna z wartością posiadanych akcji Rezultat w przypadku wzrostów cen akcji - zyski na rynku kasowym, straty podobnej wielkości na kontraktach W przypadku spadków cen akcji - straty na rynku kasowym rekompensowane zyskami podobnej wielkości na kontraktach

Futures / ZABEZPIECZENIE KRÓTKIE (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Futures / ZABEZPIECZENIE DŁUGIE § Rynek kasowy: Inwestor sprzedał pakiet akcji z WIG 20 § Rynek terminowy: Inwestor zajmuje długą pozycję na kontraktach futures na WIG 20, tak by wartość kontraktów była identyczna z wartością sprzedanych akcji Rezultat w przypadku wzrostów cen akcji - straty na rynku kasowym rekompensowane zyskami podobnej wielkości na kontraktach W przypadku spadków cen akcji - zyski na rynku kasowym mają podobną wielkość jak straty na kontraktach

Futures / ZABEZPIECZENIE DŁUGIE (M. Ferlak „Instrumenty pochodne. Wprowadzenie”)

Badanie konsekwencji addytywnego modelu zmienności kursu kontraktu § (a) Załóżmy, że kurs kontraktu na zamknięciu każdej sesji wzrasta lub spada o 10 punktów z jednakowym prawdopodobieństwem. Inwestor zajął kiedyś długą pozycję na kontrakcie ale od tamtej chwili kurs spadł o 90 punktów. Do wygaśnięcia kontraktu pozostało jeszcze tylko 20 dni. Obliczymy prawdopodobieństwo uzyskania zysku z inwestycji, zakładając, że inwestor utrzyma pozycję do wygaśnięcia. § § (b) Przeprowadzimy podobne obliczenia dla różnej liczby dni do wygaśnięcia kontraktu: 30, 40, 50, 60, 70, 80 oraz sporządzimy wykres tego prawdopodobieństwa w zależności od liczby dni do wygaśnięcia § (c) Sporządzimy wykresy prawdopodobieństwa uzyskania zysku z inwestycji w zależności od liczby dni do wygaśnięcia, dla różnych prawdopodobieństw wzrostu kursu (0, 4; 0, 45; 0, 55; 0, 65)

Addytywny model zmienności kursu kontraktu § Przy 20 dniach do wygaśnięcia (20 próbach Bernoulliego) inwestor osiągnie zysk w następujących przypadkach liczby wzrostów i spadków : (15, 5); (16, 4); (17, 3); (18, 2); (19, 1); (20, 0). Sumując prawdopodobieństwa uzyskania liczb sukcesów (wzrostów) obliczamy żądane prawdopodobieństwo. (0, 02069) § W przypadku innej liczby dni należy ustalić wszystkie przypadki w których różnica między liczbą sukcesów i porażek jest nie mniejsza niż 10. Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego

OPCJE / DEFINICJA § Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym terminie. § Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi prawo do wykonania określonej czynności w określonym momencie lub przedziale czasu.

CEL ZAWIERANIA OPCJI § Zabezpieczenia przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego § Spekulacji na spadku lub wzroście instrumentu bazowego § Arbitrażu między rynkiem instrumentów pochodnych a rynkiem instrumentów bazowych

INSTRUMENTY BAZOWE DLA OPCJI § Stopy procentowe opcje na kontrakty FRA (forward rates agreement) § Waluty opcje na kursy walutowe opcje na walutowe kontrakty futures § Akcje opcje na poszczególne akcje opcje na kontrakty futures na indeksy akcji § Towary opcje na towarowe kontrakty futures § Indeksy giełowe

EUROPEJSKA OPCJA KUPNA NA AKCJE (CALL) § Prawo (bez obowiązku) do zakupu akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania § Opcja posiada swoją wartość. Premia jest to cena, którą musimy zapłacić za nabycie opcji. § Przykład : akcja PKN kosztuje 35, 50 zł. Europejska opcja kupna z ceną wykonania 38 zł wygasająca 23 marca 2012 roku daje jej nabywcy prawo kupienia jednej akcji PKN za 38 zł w dniu 23 marca 2012 roku. (W praktyce opcje nabywa się w ustalonych pakietach pozwalających kupić większe ilości akcji)

AMERYKAŃSKIE OPCJE NA AKCJE OPCJA KUPNA § Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości OPCJA SPRZEDAŻY § Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości

EUROPEJSKA OPCJA SPRZEDAŻY NA AKCJE (put option) § Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania

STRONA KUPUJĄCA, STRONA WYSTAWIAJĄCA § KAŻDY INWESTOR MOŻE BYĆ § NABYWCĄ OPCJI (KUPUJĄCYM) § WYSTAWCĄ OPCJI (SPRZEDAJACYM) § (dotyczy to obu rodzajów opcji : kupna, sprzedaży) § o nabywcy mówimy że : § o wystawcy mówimy że : OPCJI ZAJĄŁ DŁUGĄ POZYCJĘ NA OPCJI ZAJĄŁ KRÓTKĄ POZYCJĘ NA

Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna Definicja Funkcję zdefiniowaną wzorem nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna. K - cena wykonania ST – cena instrumentu bazowego w terminie wykonania

Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży Funkcję zdefiniowaną wzorem nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.

Zysk posiadacza opcji kupna (long call) C – premia (opłata za opcję)

Zysk wystawcy opcji kupna (short call) C – premia (opłata za opcję)

Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put) P – premia (opłata za opcję)

Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put) P – premia (opłata za opcję)

Pozycja długa w opcji kupna (kupno opcji)

Pozycja krótka w opcji kupna (wystawienie opcji)

Pozycja długa w opcji sprzedaży (kupno opcji)

Pozycja krótka w opcji sprzedaży (wystawienie opcji)

Opcje na indeks giełdowy § Instrument pierwotny – wartość indeksu giełdowego § Opcja kupna na indeks WIG 20 o „cenie” realizacji 2400 i terminie 01. 06. 2012 daje jej posiadaczowi wypłatę jeśli w wymienionym terminie wartość indeksu będzie większa niż 2400 punktów (wypłata jest uzależniona od różnicy WIG 20 -2400) § Opcja sprzedaży na indeks WIG 20 o „cenie” realizacji 2400 i terminie 01. 06. 2012 daje jej posiadaczowi wypłatę jeśli w wymienionym terminie wartość indeksu będzie mniejsza niż 2400 punktów (wypłata jest uzależniona od różnicy 2400 - WIG 20 )

Opcje egzotyczne § Opcje azjatyckie § – rozliczenie zależy od średniej ceny instrumentu bazowego w okresie ważności opcji § typ 1 - cena średnia pełni rolę ceny końcowej, wypłata opcji kupna: max{Sśr-K, 0} § typ 2 - cena średnia pełni rolę ceny realizacji, wypłata opcji kupna: max{ST – Sśr , 0} § Opcje typu lookback § – rozliczenie zależy od minimalnej bądź maksymalnej ceny instrumentu bazowego w okresie ważności opcji § wypłata opcji kupna: max { ST – Smin , 0} § wypłata opcji sprzedaży: max { Smax - ST , 0}

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; 1) o przeciętnej wartości równej 0, 5

Opcje egzotyczne § Opcje barierowe § - Funkcja wypłaty opcji zależy od faktu, czy w ciągu jej okresu ważności cena instrumentu bazowego osiągnęła lub przekroczyła pewną wartość (barierę) lub - Funkcja wypłaty opcji zależy od faktu, czy w ciągu jej okresu ważności cena instrumentu bazowego pozostawała w ustalonym przedziale

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0; 2)

Opcje egzotyczne § Opcje binarne – rodzaj opcji barierowych § Jeśli opcja kupna jest w cenie (ST –K >0), właściciel opcji otrzymuje ustaloną kwotę (niezależną od różnicy ST –K ), w przeciwnym przypadku nie następuje przepływ gotówki. § Podobnie opcja sprzedaży daje ustaloną kwotę wypłaty jeśli tylko K ST > 0 § Typy (warunek wypłaty ustalonej kwoty): § One –Touch-Down (cena referencyjna osiąga lub spada poniżej bariery) § One –Touch-Up (cena ref. osiąga lub rośnie powyżej bariery) § No –Touch-Down (c. r. nie osiąga bariery, nie spada poniżej bariery) § No –Touch-Up (c. r. nie osiąga bariery, nie rośnie powyżej bariery) § Double-One-Touch (cena ref. dotyka lub pokonuję jedną z barier ) Double-No-Touch (cena ref. utrzymuje się między dolną a górną barierą )

Wycena opcji § J. C. Cox, S. A. Ross, M. Rubinstein Wycena opcji europejskiej w modelu dyskretnym § Fischer Black, Myron Sholes, Robert Merton (1973) Wycena opcji europejskiej w modelu ciągłym § Fischer Black, Myron Sholes Nagroda Nobla 1997 - za nową metodę wyceny instrumentów pochodnych