Instituto de Fsica UFRJ Transies de Fase e

Instituto de Física, UFRJ Transições de Fase e Fenômenos Críticos PG – 2º Semestre de 2007 Ementa: 1. Fenomenologia de transições de fase. 2. Modelos magnéticos simples. 3. Universalidade e scaling. 4. Métodos de aproximação. 5. Teoria de escala de tamanhos finitos. 6. Invariância conforme. 7. Sistemas desordenados. 8. Transições de fase quânticas. última atualização: 16/8/2007

1. Fenomenologia de Transições de Fase Fluidos: p, V, T

Dados para CO 2 (Andrews, 1869): • densidade média 0. 5 g/cm 3 • a T = 23 °C o fluido está segregado em duas fases coexistentes, separadas por um menisco: § líquida, de densidade liq(T ) § gasosa, de densidade gas(T ) • a T = Tc = 31. 04 °C, L e G ficam idênticas, com densidade liq= gas= c; menisco desaparece no meio de uma opalescência crítica • para qq T > Tc pode-se passar de um estado a outro continuamente T >> Tc ~T T> c T Tc ~T T< c T < Tc T << Tc Tc e c não universais: • Tc depende das escalas de energia das interações (p. ex. , Tc~5 K para 4 He e ~1500 K para Hg); • c depende da escala de comprimentos relevante (p. ex. , separação intermolecular) figuras segundo Stanley (1971)

T = Tc T > Tc A small sealed vial contains the correct mixture of aniline and cyclohexane to form a binary fluid when heated above its critical point, about 95 degrees Fahrenheit. The fluid is heated by hand or using a beaker of warm water. Then the vial is placed in the laser beam. When the fluid cools down to its critical point it breaks into cells, becoming cloudy, and scatters the laser beam chaotically. This is very dramatic because it happens very quickly. The photographs above show the scattering of the laser beam by the fluid above the critical point (left), at the critical point, when the cells are beginning to form (center), and well below the critical point, when the fluid is a cloudy mixture of the two individual fluids (right). T < Tc

Gás Líquido parâmetro de ordem da transição figura segundo Stanley (1971)

Ferromagnetos: H, M, T http: //stargazers. gsfc. nasa. gov/resources/magnetism. htm parâmetro de ordem da transição Direção de magnetização determinada pela aplicação de um campo H ; p. ex. , se o sistema tiver eixo fácil de magnetização, H quebra a simetria M -M Outros arranjos magnéticos possíveis: antiferromagnetismo, incomensurável (espiral), etc

J. Hemberger et al. , Nature 434, 364 (2005) Arredondamento devido a H 0 Outra assinatura do ponto crítico: em Tc

Calor específico perto do ponto crítico figuras segundo LP Kadanoff et al. (1967)

Superfluidos: o caso do 4 He parâmetro de ordem da transição Modelo de dois fluidos: - fração normal (entrópica): n - fração superfluida: s http: //quench-analysis. web. cern. ch/quench-analysis/phd-fs-html/node 45. html

parâmetro de ordem da transição Perto da transição superfluida (o chamado ponto- ). . . figuras segundo LP Kadanoff et al. (1967)

Transição metal-isolante: p. ex. , Ga. As-Al. Ga. As two-dimensional hole system carrier density resistividade Até hoje não há uma boa definição de parâmetro de ordem para a MIT Simmons et al. , Phys. Rev. Lett. , 84, 2489 (2000) http: //www. phys. unsw. edu. au/QED/research/2 D-MIT. htm

Ek / F Supercondutividade: parâmetro de ordem da transição ( T) (0) k/k. F k = | k| ei onda-s isotrópico T/Tc

Características comuns: • Parâmetro de ordem, : § 0 na fase (mais) ordenada § = 0 na fase desordenada § perto de TC: §Funções-resposta singulares em TC § Resposta a um pico de calor: Calor específico § Resposta associada ao parâmetro de ordem: Suscetibilidade - mais simples de medir em alguns sistemas do que em outros, p. ex. , M = H; • Outras funções (a serem definidas oportunamente) também apresentam comportamentos singulares

Data collapse: Lei dos estados correspondentes =1/3 Gás Líquido

Analogia entre fluidos e magnetos simples

• Alguns magnetos também são descritos por =1/3 • As transições superfluida, supercondutora, e algumas magnéticas também têm mesmo valor de universalidade N. B. : os mecanismos são completamente distintos; logo é verdadeiramente surpreendente que os valores sejam os mesmos. Objetivos do estudo de transições de fase e fenômenos críticos: • identificar as classes de universalidade • identificar os mecanismos responsáveis pela definição das classes de universalidade • fazer previsões sobre diagramas de fase, etc. Para atingir estes objetivos, faremos agora uma revisão de Mecânica Estatística

2ª aula: 7/8/2007 Magnetos: variáveis independentes são T e h T quando T Tc

Para avançar a discussão: simplificações adicionais • isolantes magnéticos: spins localizados nos sítios de uma rede regular; • “spins de Ising”: só nos interessa a componente z de cada spin, Si ; • interações ferromagnéticas entre spins . . . • interação com campo magnético uniforme se dê através de um termo – h Si. Função de Correlação (entre flutuações) são médias termodinâmicas: fornece o grau de influência que o spin no sitio 0 exerce no spin do sítio r. O Teorema de flutuação-dissipação estabelece uma conexão com a susceptibilidade (1ª. Lista de Exercícios): (de agora em diante, omitiremos o subscrito T da susceptibilidade)

divergente em Tc (r) sobrevive a longas distâncias : outro expoente crítico: dimensão anômala Na vizinhança de Tc, espera-se : comprimento de correlação mede alcance das correlações

Fluidos: variáveis independentes são V e T KT quando T Tc

Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts Revisão: FY Wu (1982) modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítio energia de interação: J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos) +J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos) N. B. : o importante é que há um E 0 separando estes estados, e não de quanto é a separação simetria discreta: {S } { S } Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts (tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados, preservando a simetria discreta? Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq uma de q direções: q=2 q=3 q=4

Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões Nd. Al 2 Pr. Al 2, e Dy. Al 2 são ferromagnetos com simetria cúbica: na ausência de campo magnético H, a magnetização aponta em uma das dirções cristalinas [100], [010], ou [001]. A aplicação de um campo magnético na direção [111] estabiliza qualquer uma das direções igualmente. O sistema sofre uma transição de primeira ordem – descontinuidade na magnetização – em Hc (T) B Barbara et al. , JPC 11, L 183(1978)

Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões Gases nobres (He, Kr, . . . ) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os centros dos hexágonos Para cobertura (i. e. , fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem ocupar uma das 3 sub-redes q = 3 Berker et al. , PRB 17, 3650 (1978)

Efeitos da dimensionalidade Modelo de Ising MF falha até mesmo em 3 D: • Tc superestimada • descontinuidade, ao invés de divergência • ausência da cauda de altas temperaturas Flutuações mais importantes quando d : • Tc descresce • Tc 0 em d =1 d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)

Paul Coddington, University of Adelaide, paulc@cs. adelaide. edu. au http: //www. cs. adelaide. edu. au/~paulc/physics/spinmodels. html

Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X; ] LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974) LP Kadanoff et al. , RMP 39, 395 (1967) HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967 FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E). JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.