INSTITUTO DE ADMINISTRACIN Y COMERCIO ESTADO DE ISRAEL

INSTITUTO DE ADMINISTRACIÓN Y COMERCIO “ESTADO DE ISRAEL” NIVEL: SEGUNDO MEDIO 2020 PROF: JOHANA ALVARADO ORTIZ. 1

Estimados Alumnos y Alumnas: Para dar inicio a la unidad 1, del eje temático Número, comenzaremos recordando los conjuntos numéricos vistos en cursos anteriores, en especial el de los números Racionales y lo relacionaremos con el que veremos ahora: el conjunto de los números Irracionales y Reales. El objetivo de Aprendizaje de la unidad es: Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales: Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de las raíces. Combinando raíces con números racionales. Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos El objetivo de la clase 1 es : Reconocer números cuyo desarrollo decimal es infinito y no tiene periodo. 2

RECORDEMOS LOS CONJUNTOS DE: NÚMEROS NATURALES Los números naturales son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que posee un cierto conjunto. Se representa como N. NÚMEROS ENTEROS Los números enteros, representados por Z, son aquellos que surgen de la resta de dos números naturales. Este conjunto es una extensión de los números naturales ya que incluye a sus opuestos, es decir, aparecen los números negativos. 3

NÚMEROS RACIONALES Un número racional es aquel que se puede escribir como cociente de dos números enteros con divisor distinto de cero, es decir, en forma de fracción. Se representan como Q. Necesitamos recordar de este conjunto lo siguiente: ¿Cómo se expresa una fracción como número decimal? Podemos expresar una fracción como número decimal dividiendo su numerador por su denominador: 4

¿Qué tipo de decimales podemos obtener? Al realizar la división, podemos obtener un decimal finito o infinito. ¿Qué tipo de decimales infinitos existen? Los decimales infinitos obtenidos así pueden ser periódicos o semiperiódicos, dependiendo de si las cifras que se repiten comienzan a hacerlo inmediatamente después de la coma o no. 5

¿Cómo se expresa o escribe un decimal como fracción? Podemos expresar los números decimales como fracción, considerando los siguientes casos: Decimal finito: el numerador corresponde al número escrito sin coma, y el denominador a la potencia de 10 que tiene tantos ceros como decimales tiene el número. Decimal infinito periódico: el numerador corresponde al número escrito sin coma menos la parte entera del número, y el denominador al número formado por tantos 9 como decimales distintos (≠) tiene el período. 6

Decimal infinito semiperiódicos: el numerador corresponde al número escrito sin coma menos el número formado por la parte entera del número y el anteperíodo, y el denominador al número formado por tantos 9 como decimales tiene el período y tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo. 7

¿Todos los números decimales se podrán escribir como fracción? Para dar respuesta a la pregunta, analicemos el siguiente número decimal: 1, 4142135623730951. . . ¿Es un decimal finito? NO, porque tiene infinitas cifras decimales ¿Es un decimal infinito periódico o semiperiódico? NO, porque después de la coma no se repite ningún número Entonces, ese decimal infinito ¿se podrá escribir como fracción? NO, no existe la manera de trasnformar ese decimal infinito a una fracción Por lo tanto, el decimal infinito 1, 4142135623730951… ¿Es un número Racional? NO, porque no se puede escribir como fracción 8

Por lo tanto, este tipo de decimales infinitos pertenecen al conjunto de Los Número Irracionales El conjunto de los números irracionales se representa por la letra I y está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tiene infinitas cifras no periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros. ¿PUEDE SER UN NÚMERO RACIONAL E IRRACIONAL A LA VEZ? NO, No existe un número que sea racional e irracional, es decir: Conjunto vacio (sin elementos) Racionales intersectados (comunes) irracionales 9

NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS 10

OBSERVACIÓN: “NO TODAS LAS RAICES SON IRRACIONALES” Las raíces exactas no son irracionales. Pertenecen al conjunto de los números racionales Concluyamos: ¿Qué caracteriza a los números irracionales? ¿Qué los diferencia de los racionales? En los números Racionales, todos los decimales, ya sean finitos, infinitos periódicos o semiperiódicos se puede expresar como fracción. En cambio en los Irracionales, esto no puede ocurrir (expresarlo como fracción) ya que tiene solo cifras infinitas no periódicas. 11

Ejercicios resueltos: I. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. En el caso de ser racional, identifica que tipo de decimal es. a) 0, 737 => Racional, porque es un decimal finito b) 2, 1732929… => Racional, porque es infinito semiperiódico c) 154, 154154…=> Racional, porque es infinito periódico d) 23, 242526…=> Irracional, porque no tiene cifras periódicas e) 0, 121231234…=> Irracional, porque no tiene cifras periódicas f) 14, 1010010001…=> Irracional, porque no tiene cifras periódicas g) 26, 0625 => Racional, porque es un decimal finito h) 12, 4666… => Racional, porque es infinito semiperiódico 12

II. Encuentra un número irracional que cumpla lo siguiente: 13 Ahora desarrolla la guía de ejercicios de este contenido