Institutionen fr matematik KTH 5 B 1118 Diskret

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Sjunde föreläsningen Grupper Mats Boij 19 novnember 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Abstrakt algebra 4 Ibland har man nytta av att glömma bort mycket av den struktur som finns hos ett specifikt objekt. 4 Man kan d₢ formulera p₢st₢enden och satser som är giltiga i m₢nga olika situationer. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Binär operation 4 En grupp är en mängd G med en binär operation som uppfyller vissa villkor. 4 Med en binär operation menas att vi stoppar in tv₢ saker och f₢r ut en. 4 Matematiskt är detta en funktion G D G } G. 4 Ex. +, D och - är binära operationer p₢ Z. – (a, b) sänds till a+b, a×b och a-b. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Gruppaxiomen 4 Definition. En grupp är en mängd G med en binär operation C som uppfyller – a. C(b. Cc) = (a. Cb)Cc (associativitet) – Det finns ett element e s₢ att a. Ce=e. Ca=a för alla a i G. (identitet) – För varje a i G finns ett b s₢ att a. Cb=b. Ca=e (invers) Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Varför grupper? 4 Anledningen till att man inför ett abstrakt begrepp som grupp är att – Samma egenskaper förekommer hos m₢nga olika algebraiska objekt. – Samma argument används om och om igen för att bevisa liknande satser om olika algebraiska objekt. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik N₢gra exempel 4 Sn - den symmetriska gruppen. 4 SO(3) - gruppen av stelkroppsrotationer. 4 Symmetrigrupper för geometriska objekt som platonska kroppar. 4 Z och Zn under addition. 4 De inverterbara elementen i Zn under multiplikation. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Grupper i spel 4 I ett spel där varje drag är reversibelt Mats Boij finns en grupp gömd, exempelvis – Rubiks kub. – Femtonspel. 4 Gruppen f₢s genom; – M = {dragföljder}/~ – Tv₢ följder är ekvivalenta om de ger samma förändring. – Operationen är sammansättning. 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Symmetriska gruppen 4 Sn är alla permutationer av Nn. 4 Gruppoperationen är sammansättning. 4 Idetitetselementet är id, identitets- permutationen. 4 Exempel. – S 3={id, (12), (23), (123), (132)}. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Grupptabell 4 Multiplikationstabellen för en grupp kallas grupptabell. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Latinska kvadrater 4 En grupptabell är en latinsk kvadrat, dvs – Varje symbol st₢r precis en g₢ng i varje rad och kolonn. – Inte alla latinska kvadrater är grupptabeller. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Stelkroppsrotationer 4 Sammansättning av stelkroppsrotationer ger en gruppoperation p₢ mängden av stelkroppsrotationer. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Symmetrigrupper 4 En mängd av stelkroppsrotationer som ₢terför ett geometriskt objekt till sig själv kallas symmetrigrupp. 4 Sammansättning ger en gruppoperation p₢ en symmetrigrupp. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Triangelgruppen - GD 4 Symmetrigruppen, GD, för en triangel best₢r av sex symmetrier. – Identitetssymmetrin, id. – Tre speglingar s 1 , s 2 och s 3. – Tv₢ rotationer r 1 och r 2. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Grupptabell 4 Grupptabellen för triangelgruppen GD ges av Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Isomorfi 4 Grupptabellerna för GD och S 3 är lika. 4 Om vi byter namn p₢ symbolerna f₢r vi samma grupptabell. 4 Funktionen f: GD}S 3 som ges av är en isomorfi av grupper. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Delgrupper 4 En symmetrigrupp G är en delgrupp av gruppen SO(3) av stelkroppsrotationer. 4 Det betyder att – G a. SO(3) (G är delmängd av SO(3)) – G är en grupp under samma gruppoperation som SO(3). Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Platonska kroppar 4 Det finns bara fem symmetriska tre- dimensionella kroppar. – Tetraedern – Kuben – Oktaedern – Dodekaedern – Ikosaedern Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Symmetrigrupper i rummet 4 Varje platonsk kropp svarar mot en ändlig delgrupp av SO(3): – Tetraedern – 12 symmetrier, A 4. – Kuben – 24 symmetrier, S 4. – Oktaedern – 24 symmetrier, S 4. – Dodekaedern – 60 symmetrier, A 5. – Ikosaedern – 60 symmetrier, A 5. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Abelska grupper 4 En grupp är abelsk om gruppoperationen är kommutativ, dvs – a. Cb=b. Ca för alla element a och b. 4 Ex. Z och Zn är abelska grupper under addition. 4 Gruppoperationen skrivs ofta som + i abelska grupper. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Ordning 4 Ordningen av en grupp G är |G|=#G. 4 Ordningen o(a) av ett element a i G är det minsta positiva n s₢ att an =e. 4 Exempel. – Ordningen för Sn är n! – För p=(143)(25) i S 5 är o(p)=6 eftersom p 2=(134), p 3=(25), p 4=(143), p 5=(134)(25) och p 6=id. Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Cykliska grupper 4 Om o(a)=|G| för n₢got a i G kallas G cyklisk och a är en generator. 4 Alla cykliska grupper av samma ordning är isomorfa. Ex. Zn med + är cyklisk av ordning n. – Identitetselementet är 0. – o(1)=n, eftersom Mats Boij 19 november 2001

Institutionen för matematik, KTH 5 B 1118 Diskret matematik Lagranges sats 4 Sats. Ordningen till en delgrupp delar gruppens ordning. – Bevis: Sidoklasser till Ha. G ger en partition av G där alla delar har storlek |H|. 4 Följdsats. o(a) delar |G| om ag. G. – Bevis: potenserna av a bildar en delgrupp av ordning o(a). 4 Följdsats. a|G|=e för alla a i G. – Bevis: |G|=k·o(a) 1 a|G|=ak·o(a)=ek=e. Mats Boij 19 november 2001