INSTITUCION EDUCATIVA LAS FLORES A L G E

INSTITUCION EDUCATIVA LAS FLORES A L G E B R A GRADO OCTAVO LIC. RAÚL EMIRO PINO S. CODAZZI-CESAR http: //pinomat. jimdo. com/

Una alumna de la I. E. “Las Flores”, posee un terreno en el corregimiento de Casacará, lo divide en parcelas como muestra la figura. Su padre desea encontrar su área total. ¿Cómo lo harías? 1 1 x x 1 http: //pinomat. jimdo. com/

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a a a b b a b http: //pinomat. jimdo. com/ b

DEDUCCION DE LA FORMULA http: //pinomat. jimdo. com/

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. CUADARADO DE UNA SUMA: el cuadrado de una suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad, es http: //pinomat. jimdo. com/ decir.

b a a a b b Segunda cantidad Primera cantidad a b http: //pinomat. jimdo. com/

porque (a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a 2+ ab + b 2 ejemplo: = a 2 + 2 ab + b 2 a)(x+ 3)2 = x 2 + 2. x. 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 b)(3 a+ 5)2 = (3 a)2 + 2. 3 a. 5 + 52 = 9 a 2 + 30 a + 25 c)(2 m 2+ 3)2 = (2 m 2)2 + 2. 2 m 2. 3 + 32 = 4 m 4 + 12 m 2 + 9 http: //pinomat. jimdo. com/

d)(4 x+ 3 y)2 = (4 x)2 + 2. 4 x. 3 y + (3 y)2 = 16 x 2 + 24 xy + 9 y 2 e) x 3+ y 2 = (x 3)2 + 2. x 3. y + y 2 2 = x 6 + x 3 y + y 2 4 CUADRADO DE UNA DIFERENCIA: el cuadrado de una diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad, es decir. http: //pinomat. jimdo. com/

a b b 2 b a-b ab – b 2 (a – b)2 Segunda cantidad Primera cantidad a http: //pinomat. jimdo. com/

porque (a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a 2 - ab + b 2 2 - 2 ab + b 2 = a ejemplo: a)(x - 5)2 = x 2 - 2. x. 5 + 52 = x 2 - 10 x + 25 b)(4 a - 2)2 = (4 a)2 - 2. 4 a. 2 + 22 = 16 a 2 - 16 a + 4 c)(m 2 -1)2 = (m 2)2 - 2. m 2. 1 + 12 = m 4 - 2 m 2 + 1 http: //pinomat. jimdo. com/

d)(4 x- 3 y)2 = (4 x)2 - 2. 4 x. 3 y + (3 y)2 = 16 x 2 - 24 xy+ 9 y 2 e) x 3 - y 2 = (x 3)2 - 2. x 3. y + y 2 2 = x 6 - x 3 y + y 2 4 CUBO DE UNA SUMA 2. 2=4 a) (x+2)3 = x 3 + 3. x 2. 2 + 3. x. 22 + 23 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 http: //pinomat. jimdo. com/

b) (2 x + 5)3 = (2 x)3 + 3. (2 x)2. 5 + 3. 2 x. 52 + 53 2 x. 2 x=4 x 23 5 x 5=25 = 8 x 3 + 60 x 2 + 150 x + 125 CUBO DE UNA SUMA El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera más tres veces el cuadrado de la primera por la segunda más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda mas el cubo de la segunda, es decir http: //pinomat. jimdo. com/

Cubo del Binomio (a + b)3 b a http: //pinomat. jimdo. com/

(a+b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 porque (a+b)3 = (a+b)2 = (a+b)(a 2 + 2 ab + b 2) = a 3 + 2 a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2 ab 2 + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 ejemplo: 2. 2=4 a) (x+2)3 = x 3 + 3. x 2. 2 + 3. x. 22 + 23 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 http: //pinomat. jimdo. com/

b) (2 x + 5)3 = (2 x)3 + 3. (2 x)2. 5 + 3. 2 x. 52 + 53 2 x. 2 x=4 x 23 5 x 5=25 = 8 x 3 + 60 x 2 + 150 x + 125 c) (m + 1)3 = m 3 + 3. m 2. 1 + 3. m. 12 + 13 = m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 d) (4 x + 3 y)3 = (4 x)3 + 3. (4 x)2. 3 y + 3. 4 x. (3 y)2 + (3 y)3 = 64 x 33 + 144 x 2 y + 108 xy 2 + 27 y 3 Quieres tocar el cielo, debes estudiar con disciplina, dedicación y empeño http: //pinomat. jimdo. com/

CUBO DE UNA DIFERENCIA (a-b)3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 ab 2 – b 3 a) (x-2)3 = x 3 - 3. x 2. 2 + 3. x. 22 - 23 = x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 b) (4 x - 5)3 = (4 x)3 - 3. (4 x)2. 5 + 3. 4 x. 52 - 53 = 64 x 3 - 240 x 2 + 300 x - 125 c) (3 - y)3 = 33 - 3. 32. y + 3. 3. y 2 - y 3 = 27 – 27 y + 9 y 2 - y 3 http: //pinomat. jimdo. com/

CUBO DE UNA DIFERENCIA: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera menos tres veces el cuadrado de la primera por la segunda más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda, es decir 3 (a-b) = 3 a - 2 3 a b + 2 3 ab - 3 b http: //pinomat. jimdo. com/

Cubo del Binomio (a - b)3 b a-b a a (a – b)3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 ab 2 - b 3 a b b b a-b b(a –b)2 b(a 2 -2 ab + b 2) a 2 b a 2 b– 2 ab 2 + b 3 http: //pinomat. jimdo. com/ ab(a-b) a 2 b – ab 2

a 3 a b a a a-b http: //pinomat. jimdo. com/ a-b b b

3 a 3 b (a – b ) ab a 3 - b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2) (a – b ) a 2 http: //pinomat. jimdo. com/ (a – b ) b 2

(a-b)3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 ab 2 – b 3 porque (a-b)3 = (a-b)2 = (a-b)(a 2 - 2 ab + b 2) = a 3 - 2 a 2 b + ab 2 - a 2 b + 2 ab 2 - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 ab 2 - b 3 ejemplo: a) (x-2)3 = x 3 - 3. x 2. 2 + 3. x. 22 - 23 = x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 http: //pinomat. jimdo. com/

b) (4 x - 5)3 = (4 x)3 - 3. (4 x)2. 5 + 3. 4 x. 52 - 53 = 64 x 3 - 240 x 2 + 300 x - 125 c) (3 - y)3 = 33 - 3. 32. y + 3. 3. y 2 - y 3 = 27 – 27 y + 9 y 2 - y 3 d) (4 x - 3 y)3 = (4 x)3 - 3. (4 x)2. 3 y + 3. 4 x. (3 y)2 - (3 y)3 = 64 x 3 - 144 x 2 y + 108 xy 2 - 27 y 3 http: //pinomat. jimdo. com/

SUMA POR DIFERENCIA (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 porque (a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a 2 - ab + ab - b 2 ejemplo: = a 2 - b 2 a) (x + 5)(x - 5) = x 2 - 52 = x 2 - 25 b) (a 2 + 3)(a 2 - 3) = (a 2)2 - 32 = a 4 - 9 http: //pinomat. jimdo. com/

SUMA POR DIFERENCIA: El producto de una suma (a+b) por la diferencia (a-b), es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término. Es decir a-b b a-b a http: //pinomat. jimdo. com/ a+b

(a+b)(a-b)= a 2 - b 2 porque (a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a 2 - ab + ab - b 2 ejemplo: = a 2 - b 2 a) (x + 5)(x - 5) = x 2 - 52 = x 2 - 25 b) (a 2 + 3)(a 2 - 3) = (a 2)2 - 32 = a 4 - 9 c) (m + 5 n)(m – 5 n) = m 2 – (5 n)2 2 2 http: //pinomat. jimdo. com/ = m – 25 n

d) (6 x + 2 y)(6 x – 2 y) = (6 x)2 – (2 y)2 = 36 x 2 – 4 y 2 POTENCIA DE UN BINOMIO: Un producto notable muy utilizado en la matemática es el llamado Binomio de Newton. En este binomio es muy interesante describir y aplicar las reglas que permiten hallar el exponente, el signo y el coeficiente de cada término http: //pinomat. jimdo. com/

(a+b)0 = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a+b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a+b)4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 http: //pinomat. jimdo. com/

Los coeficientes de los términos que se obtienen en el desarrollo del binomio de Newton se pueden disponer en forma de triángulo. Este arreglo de números se llama triángulo de Pascal. Una vez construido el triángulo de pascal se utiliza para hallar el valor de los coeficientes del binomio de Newton http: //pinomat. jimdo. com/

=1 (a+b)0 (a+b)1 = 1 a + 1 b (a+b)2 = 1 a 2 + 22 ab + 1 b 2 (a+b)3 =1 a 3 + 33 a 2 b+ 33 ab 2 +1 b 3 (a+b)4 =1 a 4 + 4 4 a 3 b+ 66 a 2 b 2 4 4 ab 3 +1 b 4 1 1 5 6 10 15 10 20 http: //pinomat. jimdo. com/ 5 15 1 6 1

PRODUCTO DE BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b) (x + a)(x + b) = x 2 + xb +ax +ab = x 2 + (a + b)x +ab v. El coeficiente x 2 es la unidad v. El coeficiente de x es la suma algebraica (a + b) de los términos independientes. v. El término independiente es el producto (ab) de los términos independientes de los binomios dados. ejemplo: http: //pinomat. jimdo. com/

e) (x 8 x– 5 5) = x 2 x + 8)(x =+ 3 ( )( ) = – 40 x f) (a 2 + 9)(a 2 - 2) = a 4 + 7 a 2 – 18 g) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) = a 2 x+1– 11 ax+1+ 30 http: //pinomat. jimdo. com/