INSOLUBILITA DEL X PROBLEMA DI HILBERT Tania Notarantonio
INSOLUBILITA’ DEL X PROBLEMA DI HILBERT Tania Notarantonio Luglio 2002
Il problema diofanteo Un’equazione un’equazione E 0(x 1, …, xn) = dove E 0 , poly(nomi) a interi positivi. diofantea è della forma: E 1(x 1, …, xn) E 1 sono coefficienti poly: : =monom| |monom+monom: : =NAT|VAR| |monom NAT: : =(1|2|…|9)(0|1|2|…|9)* VAR: : =x|y|z|u|v|w|VAR NAT Un’equazione diofantea esponenziale è una equazione della forma: E 0(x 1, …, xn) = E 1(x 1, …, xn) dove E 0, E 1 sono polinomi esponenziali (polyexp) a coefficienti interi positivi. polyexp: : =m onom| |monom+monom: : =NAT|VAR| |monom| |monom
Esempio Data l’equazione: (x+2)2 = 1 + 7 y 2 il cui grafico è il seguente: Sue soluzioni intere sono: (-1, 0), (-3, 0). -3 -1 0 Ci chiediamo se esistono soluzioni sui naturali: una breve ricerca rivela che (6, 3) è soluzione intera positiva per l’equazione data. Cercare soluzioni intere / naturali sono sottoproblemi del cercare soluzioni reali ma non per questo risulta essere più banale.
Il X problema di Hilbert era: trovare un metodo per determinare se una equazione diofantea data ha soluzioni su ℤ. si E 0, E 1 ALGORITMO DI DECISIONE no
(u+1)2+ (w+1)2 z 2 : questo problema specifica le terne pitagoriche: x 2 + y 2= z 2, dove x, y, z > 1
(u+1)w+3 + (v+1)w+3 : grazie al grande teorema di Fermat dimostrato nel 1995 zw+3 L’enigma di Fermat L’Ultimo teorema di Fermat o “enigma” di Fermat afferma che non esistono numeri interi positivi legati dalla relazione: xn + yn = zn con n > 2
INDICE » casi decidibili emblematici » riduzione del X a ℕ » idea chiave della dimostrazione di insolubilità: › insiemi diofantei; › insiemi diofantei esponenziali; › insiemi r. e. ( listabili ). D E R D ? E ? R » insolubilità del X ( gödelizzazione, argom. diagonale ) » questioni aperte › limitazione alla forma normale di Davis › ampliamento del X a ℚ
Sottoproblemi classici (risolti) del X. equazioni lineari: ax + by = c con a, b, c > 0 equazioni di Pell: x 2 - (b 2 - 1) y 2 = 1 con b > 0 C. N. S. per la risolubilità di è che M. C. D(a, b) | c ; ha sempre infinite soluzioni. ricade come caso particolare nella dell’aritmetica additiva (Presburger, 1929). decidibilità Sia che ricadono nella decidibilità di equazioni di 2° grado.
Riduzione di altri problemi al diofanteo
Congettura di Martin Davis (1953) Def. : (rappresentazione diofantea di un insieme S) Si dice diofanteo un insieme S associato a un polinomio parametrico diofanteo D come segue: (a 1, … , an) S x 1, … , xm D(a 1, … , an, x 1, … , xm) = 0 (n si chiama dimensione di S) Congettura: le nozioni diofanteo di insieme ricorsivamente enumerabile si equivalgono Dalla dimostrazione di questa discese, nel 1970, l’insolubilità del X problema di Hilbert.
CRESCITA ESPONENZIALE Paradigma di ricorrenza: a=bc a = b(c) b(0) = 1 b(n+1)=b. b(n) Varianti: b(n) =n per n = 0, 1 b(n+2) = b(n+1) + b. b(n) b(n+2) = b(n+1) - b. b(n) n = 1(n) [seq. Fibonacci] La diofantinità di a = bc discende da quella di una delle segg. relazioni: v = 2 u (1970); a = b(c) (1993)
Ecco il modo in cui Davis (1973) rappresenta la relazione m = nk con m, n, k > 0: pell(c, x, y) Def x 2 - (c 2 - 1). y 2 = 1 pell(a, x, y) pell(a, u, v) pell(b, s, t) b>a>1 y k>0 b > 4 y 4 y | b - 1 v>0 y 2 | v u|b-a s>x u|s-x t k 4 y | t- k ( x - y. (a - n) - m)2 = f 2. (2 a. n - n 2 - 1)2 2 a. n - n 2 - 1 > m > 0 pell(w, a, (w - 1). (g + 1)) w>n>0 w>k
Corollari della diofantinità di m = nk r. e secondo Turing Gli insiemi diofantei esponenziali coincidono . . . diofantei Per altra via: • gli insiemi diofantei sono chiusi rispetto alla quantificazione limitata ( y)y x • le funzioni diofantee sono tutte e sole le ricorsive.
Gödelizzazione di polinomi - I poly(N, P) : - natural(N), !, M is N mod 3, (M==0 -> M 1=3; M 1=M), I is (N-M 1) //3, (N==0 -> P=1; M==1 -> name(I, S), [X] = "x", name(P, [X|S]) ; cantor(L, R, I), poly(L, PL), poly(R, PR), ( M==2 -> P=PL+PR; P=PL*PR )). poly(0, 1). poly(N, Xi) : - atom(Xi), name(Xi, [X|S]), [X]="x", name(I, S), N is 3*I+1. poly(N, P+Q) : - poly(L, P), poly(R, Q), cantor(L, R, C), N is 3*C+2. poly(N, P*Q) : - poly(L, P), poly(R, Q), cantor(L, R, C), N is 3*C+3.
Gödelizzazione di polinomi - II % l'N-simo numero triangolare e`. . . triang(N, T) : - natural(N), !, T is (N*(N+1)) // 2. %…la somma T= 0+1+2+. . . +N triang(0, 0). triang(Np 1, TT) : - triang(N, T), Np 1 is N+1, TT is T+Np 1. cantor(L, R, C) : - natural(L), !, Lp. R is L+R, triang(Lp. R, T), C is T+R. cantor(L, R, C) : - triang(N, T), (T==C -> L=N, R=0; T>C -> R is C-T+N, L is N-1 -R), !. Indicheremo con L(n), R(n) le projez. associate alla funzione di abbinamento, i. e. , cantor(L(n), R(n) , n)
Argomento diagonale contro la risolubilità del X Ora sappiamo gödelizzare i poly involgenti la sola costante 1 e, come variabili, le x 0 , x 1 , x 2 , . . . : n | Pn (x 0 , x) Di qui una enumerazione effettiva D 0 , D 1 , D 2 , … di tutti i sottinsiemi diofantei di ℕ : Dn = { x 0 | x PL(n) (x 0 , x)= PR(n) (x 0 , x)} Possiamo trovare polynomi PL(n*) (x 0 , x) , PR(n*) (x 0 , x) anche per l’insieme, che si dimostra diofanteo, { k | R(k) DL(k) } (=Dn* ) mentre è, evidentemente, non diofanteo il = { h | h Dh } -->-->-->
Argomento diagonale contro la risolubilità del X -->-->--> Se per assurdo potessimo risolvere il X, allora avremmo modo di verificare se R(k) DL(k) , ossia x PL(n*) (x 0 , x) = PR(n*) (x 0 , x) o no; sarebbero dunque ricorsive la funzione Dh (x) (di h ed x) e la 1 - D (x) x funzione caratteristica di , che dunque sarebbe diofanteo, contraddizione.
TEOREMA: indecidibilità forte del X problema Esistono un polinomio diofanteo V(x 0, x 1, … , xm) e una funzione calcolabile tot. a tali che nessun algoritmo A dia risposta corretta circa la risolubilità su ℕ dell’equazione V(a(⌈A ⌉) , x 1, … , xm) = 0 : A(a(⌈A⌉ )) ‘SI’ x 1, … , xm ℕ V(a(⌈A⌉) , x 1, … , xm) = 0 Già la famiglia V(b, x 1, … , xm) = 0, con b ℕ di equazioni diofantee è dunque indecidibile. Compromesso fra il grado d di V e il numero massimo m di incognite: l’uno può essere reso più piccolo a costo di accrescere l’altro. Ecco alcuni record: (d, m) = (4, 58), (8, 38), …. . , (1. 6. 1045, 9)
Limitazione alla FORMA NORMALE di Davis La chiusura dei diofantei rispetto ad ( y)y x, derivabile dalla diofantinità di m = nk , era stata individuata come possibile chiave per rispondere negativamente al X, grazie alla scoperta di una rappresentazione degli r. e. , nota come forma normale di Davis: z ( y)y z x 1, … , xh P(y, z, x 1, … , xh) = 0 Grazie alla diofantinità di m = nk , oggi sappiamo che h 2. Può essere fissato h=1 ?
X in ambienti numerici diversi da ℕ Risolvere una equazione: D(X 1, …. . , Xm) = 0 nelle X 1, …. . , Xm su ℚ è equivalente a risolvere l’equazione: D((x 1 -y 1)/(z+1), …. . , (xm-ym)/(z+1)) = 0 nelle incognite x 1, y 1, …. . , , xm, ym, z su ℤ+. Quest’ultima equazione è equivalente alla seguente equazione omogenea: (z+1)d. D((x 1 -y 1)/(z+1), …. . , (xm-ym)/(z+1)) = 0 dove d è il grado del polinomio D.
Due problemi interriducibili: stabilire se una equazione diofantea ha soluzione in ℚ; stabilire se una equazione diofantea omogenea ha soluzioni non-banali in ℤ. Le equazioni sono una sottoclasse delle equazioni diofantee ed è pertanto possibile che questa sottoclasse ridotta sia decidibile. Inteso in senso largo il X problema di Hilbert rimane ancora aperto. In senso stretto, così come è stato letteralmente formulato, risulta chiuso grazie ai contributi di Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson e Yuri Matiyasevič.
- Slides: 21