INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIN Modelo de
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INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Ahora, demostraremos que el estimador ordinario de mínimos cuadrados (OLS) del coeficiente de la pendiente en un modelo de regresión no tiene sesgo. ( unbiased) 1
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Vimos en una presentación anterior que el coeficiente de la pendiente se puede descomponer en el valor real y una suma ponderada de los valores del término de error. weighted sum of the values of the disturbance term. 2
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Por lo tanto, el valor esperado de b 2 es igual al valor esperado de b 2 y el valor esperado de la suma ponderada de los valores del término de error. 3
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u b 2 es fijo, por lo que no es afectado por las expectativas. La primera regla del valor esperado (capítulo de revisión) indica que la expectativa de una suma de varias cantidades es igual a la suma de sus expectativas. 4
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Ahora para cada i, E(aiui) = ai. E(ui). Este es un paso realmente importante y sólo lo podemos llevar a cabo con el Modelo A. 5
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Bajo el Modelo A, estamos asumiendo que los valores de X en las observaciones no son aleatorios. Por lo que cada ai no es eleatoria dado que sólo es una combinación de los valores de X. 6
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u De este modo puede ser tratado como constante, permitiendo que la saquemos de la expectativa usando la segunda regla del valor esperado (capítulo de la revisión). 7
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Bajo el supuesto, A. 3, E(ui) = 0 para toda i, yel estimador es insesgado. La prueba de la imparcialidad del estimador del intercepto se dejará como un ejercicio. 8
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Es importante notar que los estimadores OLS de los parámetros no son los únicos insesgados. Daremos ejemplos de otros. 9
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Y Yn Yn – Y 1 Xn – X 1 Xn X Alguien que nunca ha oído hablar de análisis de regresión, viendo un diagrama de dispersión de una muestra de observaciones, podría estimar la pendiente uniendo la primera y la última observaciones, y dividiendo el aumento en la altura por la distancia horizontal entre ellas. 10
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Y Yn Yn – Y 1 Xn – X 1 Xn X Por lo tanto, el estimador es (Yn–Y 1) dividido entre (Xn–X 1). Investigaremos si está sesgado o no. 11
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Y Yn Y 1 Xn X Para hacer esto, comenzaremos substituyendo los compoenetes Y en la expresión. 12
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Los términos b 1 se anulan y el resto de la expresión se simplifica como se muestra. Así hemos descompuesto este estimador en dos componentes, el valor real y un término de error. Esta descomposición es paralela a la del estimador OLS, pero el término del error es diferente. 13
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Ahora tomamos expectativas para investigar imparcialidad. 14
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple : Y = b 1 + b 2 X + u El denominador del término de error puede sacarse porque los valores de X no son aleatorios. 15
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Dado el supuesto A. 3, las expectativas de un y u 1 son cero. Por lo tanto, a pesar de ser naïve, este estimador no está sesgado. . 16
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Es intuitivamente fácil saber que no preferiremos el estimador naïve sobre el OLS. A diferencia del OLS, que toma cuenta de cada observación, emplea solamente la primera y la última, por lo que está perdiendo la mayor parte de la información en la muestra. 17
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u El estimador naïve será sensible al valor del término de error u en esas dos observaciones, mientras que el estimador OLS combina todo los valores del término de error y aprovecha la posibilidad de que, hasta cierto punto, se anulen. 18
INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Modelo de regresión simple: Y = b 1 + b 2 X + u Con mayor rigor, puede ser demostrado que la variación de población del estimador naïve es mayor que la del estimador OLS, y que el estimador naïve es por lo tanto menos eficiente. 19
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