INFR NATIONELLA PROVET MATEMATIK 1 Versionsdatum 2015 05

INFÖR NATIONELLA PROVET MATEMATIK 1 Versionsdatum: 2015 -05 -04 1

Funderingar under pågående prov • • • Koordinater (x, y) (a, b) Skriva tal i annan bas än 10, exempelvis basen 7 Ordet: ”villkor” Ordet: ”förhållande” Hur visar man förhållande i diagram Vad betyder förhållande i diagram 2

E-prov uppgift 1 Johan Falk 3

E-prov uppgift 2 Johan Falk 4

E-prov uppgift 3 Johan Falk 5

E-prov uppgift 4 Johan Falk 6

E-prov uppgift 5 Johan Falk 7

E-prov uppgift 6 Johan Falk 8

E-prov uppgift 7 Johan Falk 9

E-prov uppgift 8 Johan Falk 10

E-prov uppgift 9 Johan Falk 11

MATMAT 01 – UPPGIFT 1 Förenkla så långt som möjligt 15

MATMAT 01 – UPPGIFT 2 16

MATMAT 01 – UPPGIFT 3 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 17

MATMAT 01 – UPPGIFT 4 x = -3 y=4 ( -3, 4 ) 18

MATMAT 01 – UPPGIFT 5 19

MATMAT 01 – UPPGIFT 6 20

MATMAT 01 – UPPGIFT 7 73000 21

MATMAT 01 – UPPGIFT 7 Halverat värde (50 000 kr) ≈2, 3 år 22

MATMAT 01 – UPPGIFT 8 Blå linjer = 2 b Röda linjer = 4 a 24

MATMAT 01 – UPPGIFT 9 10 0, 3 liter = 300 ml 15 ml × 2 = 30 ml (Dos varje dag) 25

MATMAT 01 – UPPGIFT 10 Multiplicera båda sidor med Varför? 26

MATMAT 01 – UPPGIFT 10 ! S B O 27

MATMAT 01 – UPPGIFT 11 0, 8 Vad hände här? 28

MATMAT 01 – UPPGIFT 12 Petter väger p kg och Simon väger s kg. Skriv en formel som visar att Simon väger 12 % mer än Petter. s 1, 12 p Petter = p kg Simon = väger 12% mer än p kg Simon väger med andra ord 1 × p kg + 0, 12 × p kg Detta kan skrivas: Simon väger 1, 12 × p kg Simons vikt är s kg Detta ger formeln s = 1, 12 p 29

MATMAT 01 – UPPGIFT 13 x-2 x+2 Om den långa sidan är 4 cm längre än den korta sidan. Då är den korta sidan 4 cm kortare än den långa. x-2 Den långa sidan är (x + 2) cm Den korta sidan är då (x + 2) - 4 cm 30

MATMAT 01 – UPPGIFT 14 0, 00020 (0, 0002) ? 31

MATMAT 01 – UPPGIFT 15 32

MATMAT 01 – UPPGIFT 15 Personer 6 3 Mörk choklad 100 g 50 g Hur många gånger skall man ta 3 för att få 15? 5 × 3 = 15 Då måste vi även multiplicera 50 g med 5 vilket är lika med 250 g 33

MATMAT 01 – UPPGIFT 16 Antal invånare med Internet: Antal invånare fast uppkoppling: Med en enda uträkning: 34

MATMAT 01 – UPPGIFT 17 35

MATMAT 01 – UPPGIFT 17 stolpar (n) 2 3 4 5 brädor (y) 3 6 9 12 Med ord: Antalet brädor är tre gånger antalet stolpar minus tre. Med matematiska symboler: a) Till ett staket med 10 stolpar behövs 3 × 10 - 3 = 27 brädor b) Sambandet kan skrivas y = 3 n – 3, y är antalet brädor och n är antalet stolpar. 36

MATMAT 01 – UPPGIFT 18 Chicago ligger 7 h efter Stockholm. När planet startar i Chicago är klockan 16. 25 + 7 h i Stockholm = 23. 25 Flygtiden är den tid som går mellan 23. 25 och 08. 20 (båda Sthlm) 23. 25 00. 00 = 35 minuter 00. 00 08. 00 = 8 timmar (h) 08. 00 08. 20 = 20 minuter Hela flygtiden är: 8 h + 35 min. + 20 min. = 8 h 55 min 37

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 38

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 2 x x Hela kvadratens area: B 2 x x Area triangel A: C A x x Area triangel B: Area triangel C: 39

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 2 x x Hela kvadratens area: B 2 x x C A x x Area triangel A: Area triangel B: Area triangel C: Den gröna triangelns area = Hela kvadratens area – triangel A – triangel B – triangel C Gröna triangelns area är alltså: 40

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 2 x x Hela kvadratens area: B 2 x x C A x Gröna triangelns area: x Hur stor del av hela kvadraten är färgad grön? Svar: 3/8 av kvadratens area är grönfärgad 41

MATMAT 01 – UPPGIFT 20 42

MATMAT 01 – UPPGIFT 20 43

MATMAT 01 – UPPGIFT 20 Årsräntan i kronor: Årsräntan i procent (%) : Kommentar: Man får alltså betala 4500 kronor för att låna 3000 kronor!!? ! 44

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 45

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 1 liter = 100 cl 1 dm 3 = 1000 cm 3 1 cl 10 cm 3 2 cl 20 cm 3 Svar: Ja, mjölken ryms i förpackningen. 46

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT? 47

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT? 48

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 20 + 100 × 0, 24 = 44 20 + 500 × 0, 24 = 140 100 × 0, 36 = 36 500 × 0, 36 = 180 49

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 Svar: 1250 kopior 50

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 Kostnad = 20 kronor + 24 öre per kopia Kostnad = y kronor Antal kopior = x stycken y = 20 + 0, 24 x Jämför! 51

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 Digitaltryckeriet = Tryckservice AB 52

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 53

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 Mannens längd ändras med c: a 0, 25 cm om lårbenet ändras 1 mm. Då bör en man med lårbenet 425 mm ha längden 165, 2 – (10 × 0, 25)= 162, 7 Svar: Ungefär 163 cm 54

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 Ett annat sätt att lösa denna: Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man 420 Differens? 425 435 165, 2 450 168, 9 465 172, 6 480 176, 3 Differens? (Lös denna på whiteboard. ) 55

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 Ett annat sätt att lösa denna: Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man 420 425 430 435 165, 2 (Lös denna på whiteboard. ) 56

MATMAT 01 – UPPGIFT 24 57

MATMAT 01 – UPPGIFT 24 DISKUSSION! 58

MATMAT 01 – UPPGIFT 24 DISKUSSION! 59

MATMAT 01 – UPPGIFT 25 1 4 6 9 b) 1 + 4 + 6 + 9 = 20 Om x = 5 blir både medelvärde och median desamma 60

MATMAT 01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: • Månadsavgift 65 kr • Öppningsavgift 69 öre per samtal [0, 69 kr] • Samtalen kostar 69 öre per minut [0, 69 kr] Hur mycket fick Bob betala en månad då han hade ringt 96 samtal på Sammanlagt 4 h 25 minuter? 4 h 25 minuter = 4 × 60 + 25 minuter = 265 minuter Kostnaden = 65 + 96 × 0, 69 + 265 × 0, 69 = 314, 09 kronor Svar: 314 kronor Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70 61

MATMAT 01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: • Månadsavgift 65 kr • Öppningsavgift 69 öre per samtal [0, 69 kr] • Samtalen kostar 69 öre per minut [0, 69 kr] En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267, 86 kr. Beräkna den totala samtalstiden? Kostnaden kan beräknas med denna ekvation: Kostanden = 65 kronor + antal samtal × 0, 69 kronor + antal minuter × 0, 69 kronor. Vi vet att kostnaden är 267, 86 kr och vi vet att antal samtal är 84. Vi villveta hur många minuter – Det kallar vi x. Vi får då denna ekvation: Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70 62

MATMAT 01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: • Månadsavgift 65 kr • Öppningsavgift 69 öre per samtal [0, 69 kr] • Samtalen kostar 69 öre per minut [0, 69 kr] En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267, 86 kr. Beräkna den totala samtalstiden? Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70 63

RÄKNEORDNING 1. parenteser () 2. potenser 34 = 3 × 3 × 3 3. multiplikation & division × 4. addition & subtraktion + / - 64

RÄKNEORDNING 3 × 2 + 5 – 2/2 = 10 3 × (2 + 5) – 2/2 = 20 3 × 2 + (5 – 2)/2 = 7, 5 3 × 2 + (5 – 2/2) = 10 65

PRIMTAL Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig själva kallas primtal. Exempel: 2, 3, 5, 7, 11, och 13 66

PRIMTALSFAKTORISERING 30 = 5 × 6 = 5 × 3 × 2 60 = 10 × 6 = 5 × 2 × 3 × 2 100 = 10 × 10 = 5 × 2 × 5 × 2 1000 = 5 × 2 × 5 × 2 67

PRIMTALSFAKTORISERING 240 68

TAL I DECIMALFORM 69

TAL I DECIMALFORM C D 70

SUBTRAKTION AV NEGATIVA TAL Vad är differensen av +3 och -6? 3 – (-6) = 9 + ”Två minustecken intill varandra ersätts med ett plustecken. ” 71

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL • (-4) + (-6) = -10 • (-4) - (-6) = 2 + 72

PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) 4 4 + + + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 8 + 8 - 2 = (mult. ) 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub. ) ARBETA NEDÅT! 73

MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL • (-4)×(-3) = • 4×(-3) = • (-24)/3 = • (-24)/(-3)= 12 -8 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus 74

TAL I BRÅKFORM 76

FÖRLÄNGNING = = 77

FÖRLÄNGNING 78

FÖRKORTNING = = 79

FÖRKORTNING 80

ADDITION AV BRÅK 81

RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI 82

MULTIPLIKATION AV BRÅK Samma värde 83

ATT INVERTERA ETT BRÅK 84

DIVISION AV BRÅK HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2” 85

POTENSER 5 stycken exponent bas 86

POTENSER PÅ RÄKNAREN 87

TIOPOTENSER 10 × 10 10 100 Tio Ett hundra 1 000 Ett tusen 10 000 Tio tusen 1000 En miljon 1000 000 En miljard 10 × 10 88

TIOPOTENSER 89

Potenslagarna 90

GRUNDPOTENSFORM 100 000 = 10 · 10 = 105 200 000 = 2 · 10 · 10 = 2 · 105 200 000 = 2 · 105 Potens med basen 10 91

AVRUNDNING 1196 a) 4 1196 b) 9 1197 a) 5 1197 b) 6 1198 a) 4, 8 1198 b) 8, 9 1199 a) 3, 2 1199 b) 9, 1 1200 a) 1, 37 1200 b) 5, 09 Hur avrundas 8, 97 till en decimal? Hur avrundas 5, 097 till två decimaler? 9, 0 5, 10 92

VAD ÄR PROCENT? 60% 40% 93

HUR MÅNGA PROCENT ÄR… Blå? Röda ? Gula ? 94

PROCENT I DECIMALFORM procentform bråkform decimalform 95

VI SÖKER PROCENTSATSEN I klass 9 A går det 25 elever. Av dessa var 19 närvarande. Hur stor var närvaron i procent? Hur stor var frånvaron i procent? OBS! 96

VI VET PROCENTSATSEN Hur mycket är 8% av 3500? Två olika sätt att lösa denna uppgift: 1% av 3500 är 35 8% av 3500 är då 8 × 35 = 280 0, 08 × 3500 = 280 Vilket sätt tycker Du är bäst? 97

PROCENT Hur stor andel av figuren är färgad? 98

PROCENT 0, 3% 0, 3, 50% 0, 0, 35% 0, 30% 0, 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 5 0 0 0 PROCENT 99

PROMILLE 0, 3% 0, 3, 50% 0, 0, 35% 0, 30% 0, 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 5 0 0 0 PROMILLE 100

PPM 0, 3% 0, 3, 50% 0, 0, 35% 0, 30% 0, 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 5 0 0 0 PPM 101

Förändringsfaktor Nya värdet Gamla värdet = Förändringsfaktor Ökning med 5 % Några exempel 210 kronor 200 kronor = 1, 05 Räknaren: Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1, 05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren: 102

Flera procentuella förändringar Uppgift 2220, sidan 101 William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c: a 200 000 kronor 103

Procentenheter Priset på en vara höjdes från 4 kronor till 5 kronor. a) Hur många kronor höjdes priset? Svar: 1 krona b) Hur många % höjdes priset? Svar: 25 % 104

Index Tabellen visar KPI för livsmedel År 1980 1990 2010 KPI 100 229 273 År 1990 kostade 500 g kaffe 21, 70 kr. Vilket var priset år 2010 om priset utvecklades enligt KPI? (Förändringsfaktor) Svar: Priset var 25, 90 kr år 2010 om priset utvecklades enligt KPI. 105

EKVATION Ekvation betyder LIKHET 106

FÖRENKLING AV UTTRYCK a) b) c) d) 107

ADDITION AV UTTRYCK 108

SUBTRAKTION AV UTTRYCK 109

STÄLLA UPP FORMLER Ställ upp en formel för y då a) y är summan av a och x b) y är differensen av a och x c) y är produkten av a och x d) y är kvoten av a och x 110

Att lösa ekvationer Multiplicera båda leden med 2 x Dividera båda leden med 20 Förkorta med 5 111

Potensekvationer 112

Ekvationen xn = a 113

OBS! 114

Lös ut y 115

Multiplicera in 116

Multiplicera in 117

Faktorisera 118

EXEMPELUPPGIFT 119

EXEMPELUPPGIFT Triangel (3, 2 × 1, 1)/2 = 1, 76 Rektangel 3, 2 × 0, 8 = 2, 56 Totalt 1, 76 + 2, 56 = 4, 32 Svar: Tältets framsida har arean 4, 32 m² 120

EXEMPELUPPGIFT Tältets fram- och baksida har arean 2 × 4, 32 m² 2 × 4, 32 = 8, 64 m² Tältets långsidor har arean 2 × 3, 2 × 0, 8 m² 2 × 3, 2 × 0, 8 = 5, 12 m² Tältets tak har arean 2 × 3, 2 × 1, 9 m² 2 × 3, 2 × 1, 9 = 12, 16 m² Summan av alla areor: (8, 64 + 5, 12 + 12, 16) m² m² 121

AREAENHETER 1 dm² 1 cm² = 100 mm² 1 dm² = 100 cm² 1 m² = 100 dm² 122

CIRKELN cirkelrand Omkrets: Area: eller 123

π (pi) 124

VOLYMENHETER 1 dm³ 1 cm³ = 1000 mm³ 1 dm³ = 1000 cm³ 1 m³ = 1000 dm³ 125

126

VINKLAR OCH VINKELSUMMOR Kontroll: 87° + 43, 5° + 49, 5° = 180° 127

PYTHAGORAS SATS 128

SKALA 21 mm Mät med linjal… 15 mm SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 ”I verkligheten är alla sträckor 200 gånger längre än på bilden. a) Längd: 200 × 21 mm = 4200 mm = 420 cm = 42 dm = 4, 2 m Bredd: 200 × 15 mm = 3000 mm = 300 cm = 30 dm = 3, 0 m 129

SKALA 21 mm 15 mm SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 ”I verkligheten är alla sträckor 200 gånger längre än på bilden. Längd: 4, 2 m Bredd: 3, 0 m b) Area: 4, 2 m × 3, 0 m = 12, 6 m² 130

SYMMETRI Symmetrilinje 131

SPEGLING 132

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR Vad är sannolikheten att få summan 7 vid kast med 2 st. tärningar? T 1 T 2 6 olika utfall 36 möjliga utfall 133

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR Vad är sannolikheten att INTE få summan 7 vid kast med 2 st tärningar? T 1 T 2 6 olika utfall som ger 7 Detta kallas komplementhändelse. 134

TRÄDDIAGRAM Dra en kula ur urna 1 och lägg den i urna 2. Dra sedan en kula ur urna 2. Hur stor är sannolikheten att den sista kulan är en röd kula? U 1 U 2 RÖD R BLÅ B Sannolikheten att sista kulan är röd är: Observera: R B 135

Typvärde (kallas även modalvärde) i ett statistiskt datamaterial det värde som förekommer flest gånger. 136

Medelvärde Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden. På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6, 14285714286… 137

MEDIAN Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger i mitten. Av talen 1, 7, 9, 10 och 17 är 9 medianen (medan 8, 8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten. 138

MEDIAN Följande värden är givna: 6 7 7 18 4 2 0 2 12 Bestäm medianen 4 2 0 2 6 7 7 12 18 Svar: Medianen till dessa tal är 6 139

MEDIAN Följande värden är givna: 7 7 4 2 0 18 12 2 Bestäm medianen 4 2 0 2 4, 5 ? 7 7 12 18 Svar: Medianen till dessa tal är 4, 5 140

KOORDINATSYSTEM y X=2 Y=3 • (5, 6) 3 X=5 Y=6 • (2, 3) 2 x X = -5 Y = -4 • (-5, -4) 141

Värdetabell • • • 0 3 1 5 2 7 3 9 -2 -1 -3 -3

VÄRDE OCH DEFINITION y X=2 Y=3 • (5, 6) 3 X=5 Y=6 • (2, 3) 2 x När x är 2, så är y 3 När x är 5, så är y 6 143

RÄTA LINJENS EKVATION(2) k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln 144

RÄTA LINJENS EKVATION(2) k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln 145

RÄTA LINJENS EKVATION(1) Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2 x+3 (y) -1 1 0 3 1 5 146

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2 147

Funktionsmaskin x JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett 2 x + 1 x f(x) = 2 x + 1 F(x) = y IN = 1 UT = 3 IN = 2 UT = 5 IN = 3 UT = 7 IN = 4 UT = 9 IN = 5 UT = 11 Vad gör funktionsmaskinen? Vilken funktion har den? Hur kan man skriva funktionen? f(x) = 2 x + 1 kan också skrivas y = 2 x + 1 Med andra ord y = f(x) 148

NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X y f(x) X=2 Y=3 • (5, 6) 3 X=5 Y=6 • (2, 3) 2 x 149

VÄRDE OCH DEFINITION y Värdeaxel 3 X=2 Y=3 • (5, 6) X=5 Y=6 • (2, 3) Definitionsaxel 2 x När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6 150

Proportionalitet Proportionell Direkt proportionell Orig. O = (0, 0) 151

Grafritande räknare 152