INFR NATIONELLA PROV MATMAT 01 b INFR NATIONELLA

INFÖR NATIONELLA PROV MATMAT 01 b

INFÖR NATIONELLA PROVET: MATMAT 01 b 2

MATMAT 01 – UPPGIFT 1 Förenkla så långt som möjligt 3

MATMAT 01 – UPPGIFT 2 4

MATMAT 01 – UPPGIFT 3 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 5

MATMAT 01 – UPPGIFT 4 x = -3 y=4 ( -3, 4 ) 6

MATMAT 01 – UPPGIFT 5 7

MATMAT 01 – UPPGIFT 6 8

MATMAT 01 – UPPGIFT 7 73000 9

MATMAT 01 – UPPGIFT 7 Halverat värde (50 000 kr) ≈2, 3 år 10

MATMAT 01 – UPPGIFT 8 Blå linjer = 2 b Röda linjer = 4 a 12

MATMAT 01 – UPPGIFT 9 10 0, 3 liter = 300 ml 15 ml × 2 = 30 ml (Dos varje dag) 13

MATMAT 01 – UPPGIFT 10 Multiplicera båda sidor med Varför? 14

MATMAT 01 – UPPGIFT 10 ! S B O 15

MATMAT 01 – UPPGIFT 11 0, 8 Vad hände här? 16

MATMAT 01 – UPPGIFT 12 Petter väger p kg och Simon väger s kg. Skriv en formel som visar att Simon väger 12 % mer än Petter = p kg s 1, 12 p Simon = väger 12% mer än p kg Simon väger med andra ord 1 × p kg + 0, 12 × p kg Detta kan skrivas: Simon väger 1, 12 × p kg Simons vikt är s kg Detta ger formeln s = 1, 12 p 17

MATMAT 01 – UPPGIFT 13 x-2 x+2 Om den långa sidan är 4 cm längre än den korta sidan. Då är den korta sidan 4 cm korta än den långa. x-2 Den långa sidan är (x + 2) cm Den korta sidan är då (x + 2) - 4 cm 18

MATMAT 01 – UPPGIFT 14 0, 00020 (0, 0002) ? 19

MATMAT 01 – UPPGIFT 15 20

MATMAT 01 – UPPGIFT 15 Personer 6 3 Mörk choklad 100 g 50 g Hur många gånger skall man ta 3 för att få 15? 5 × 3 = 15 Då måste vi även multiplicera 50 g med 5 vilket är lika med 250 g 21

MATMAT 01 – UPPGIFT 16 Antal invånare med Internet: Antal invånare fast uppkoppling: Med en enda uträkning: 22

MATMAT 01 – UPPGIFT 17 23

MATMAT 01 – UPPGIFT 17 stolpar (n) 2 3 4 5 brädor (y) 3 6 9 12 Med ord: Antalet brädor är tre gånger antalet stolpar minus tre. matematiska Med symboler: a) Till ett staket med 10 stolpar behövs 3 × 10 - 3 = 27 brädor b) Sambandet kan skrivas y = 3 n – 3, y är antalet brädor och n är antalet sto 24

MATMAT 01 – UPPGIFT 18 Chicago ligger 7 h efter Stockholm. När planet startar i Chicago är klockan 16. 25 + 7 h i Stockholm = 23. 25 Flygtiden är den tid som går mellan 23. 25 och 08. 20 (båda Sthlm) 23. 25 00. 00 = 35 minuter 00. 00 08. 00 = 8 timmar (h) 08. 00 08. 20 = 20 minuter Hela flygtiden är: 8 h + 35 min. + 20 min. = 8 h 55 min 25

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 26

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 2 x x Hela kvadratens area: B 2 x x C A x Area triangel A: x Area triangel B: Area triangel C: 27

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 2 x x Hela kvadratens area: B 2 x x C A x x Area triangel A: Area triangel B: Area triangel C: Den gröna triangelns area = Hela kvadratens area – triangel A – triangel B – triangel C Gröna triangelns area är alltså: 28

MATMAT 01 – UPPGIFT 19 2 x x Hela kvadratens area: B 2 x x C A x Gröna triangelns area: x Hur stor del av hela kvadraten är färgad grön? Svar: 3/8 av kvadratens area är grönfärgad 29

MARKÖR HÄR!

MATMAT 01 – UPPGIFT 20 31

MATMAT 01 – UPPGIFT 20 32

MATMAT 01 – UPPGIFT 20 Årsräntan i kronor: Årsräntan i procent (%) : Kommentar: Man får alltså betala 4500 kronor för att låna 3000 kronor!!? ! 33

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 34

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 1 liter = 100 cl 1 dm 3 = 1000 cm 3 1 cl 10 cm 3 2 cl 20 cm 3 Svar: Ja, mjölken ryms i förpackningen. 35

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT? 36

MATMAT 01 – UPPGIFT 21 VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT? 37

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 20 + 100 × 0, 24 = 4420 + 500 × 0, 24 = 140 100 × 0, 36 = 36 500 × 0, 36 = 180 39

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 Svar: 1250 kopior 40

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 Kostnad = 20 kronor + 24 öre per kopia Kostnad = y kronor Antal kopior = x stycken y = 20 + 0, 24 x Jämför! 41

MATMAT 01 – UPPGIFT 22 Digitaltryckeriet = Tryckservice AB 42

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 43

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 Mannens längd ändras med c: a 0, 25 cm om lårbenet ändras 1 mm. Då bör en man med lårbenet 425 mm ha längden 165, 2 – (10 × 0, 25)= 162 Svar: Ungefär 163 cm 44

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 Ett annat sätt att lösa denna: Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man 420 Differens? 425 435 165, 2 450 168, 9 465 172, 6 480 176, 3 Differens? (Lös denna på whiteboard. ) 45

MATMAT 01 – UPPGIFT 23 Ett annat sätt att lösa denna: Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man 420 425 430 435 165, 2 (Lös denna på whiteboard. ) 46

MATMAT 01 – UPPGIFT 24 47

MATMAT 01 – UPPGIFT 24 DISKUSSION! 48

MATMAT 01 – UPPGIFT 24 DISKUSSION! 49

MATMAT 01 – UPPGIFT 25 1 4 6 9 b) 1 + 4 + 6 + 9 = 20 Om x = 5 blir både medelvärde och median desamma 50

MATMAT 01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: • Månadsavgift 65 kr • Öppningsavgift 69 öre per samtal [0, 69 kr] • Samtalen kostar 69 öre per minut [0, 69 kr] Hur mycket fick Bob betala en månad då han hade ringt 96 samtal på Sammanlagt 4 h 25 minuter? 4 h 25 minuter = 4 × 60 + 25 minuter = 265 minuter Kostnaden = 65 + 96 × 0, 69 + 265 × 0, 69 = 314, 09 kronor Svar: 314 kronor Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70 51

MATMAT 01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: • Månadsavgift 65 kr • Öppningsavgift 69 öre per samtal [0, 69 kr] • Samtalen kostar 69 öre per minut [0, 69 kr] En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267, 86 kr. Beräkna den totala samtalstiden? Kostnaden kan beräknas med denna ekvation: Kostanden = 65 kronor + antal samtal × 0, 69 kronor + antal minuter × 0, 69 k Vi vet att kostnaden är 267, 86 kr och vi vet att antal samtal är 84. Vi villveta hur många minuter – Det kallar vi x. Vi får då denna ekvation: Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70 52

MATMAT 01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: • Månadsavgift 65 kr • Öppningsavgift 69 öre per samtal [0, 69 kr] • Samtalen kostar 69 öre per minut [0, 69 kr] En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267, 86 kr. Beräkna den totala samtalstiden? Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70 53

RÄKNEORDNING 1. parenteser () 2. potenser 34 = 3 × 3 × 3 3. multiplikation & division × 4. addition & subtraktion + / - 54

RÄKNEORDNING 3 × 2 + 5 – 2/2 = 10 3 × (2 + 5) – 2/2 = 20 3 × 2 + (5 – 2)/2 = 7, 5 3 × 2 + (5 – 2/2) = 10 55

PRIMTAL Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig själva kallas primt Exempel: 2, 3, 5, 7, 11, och 13 56

PRIMTALSFAKTORISERING 30 = 5 × 6 = 5 × 3 × 2 60 = 10 × 6 = 5 × 2 × 3 × 2 100 = 10 × 10 = 5 × 2 × 5 × 2 1000 = 5 × 2 × 5 × 2 57

PRIMTALSFAKTORISERING 240 58

TAL I DECIMALFORM 59

TAL I DECIMALFORM C D 60

SUBTRAKTION AV NEGATIVA TAL Vad är differensen av +3 och -6? 3 – (-6) = 9 + ”Två minustecken intill varandra ersätts med ett plustecken. ” 61

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL • (-4) + (-6) = -10 • (-4) - (-6) = 2 + 62

PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) 4 4 + + + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 8 + 8 - 2 = (mult. ) 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub. ) ARBETA NEDÅT! 63

MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL • (-4)×(-3) = • 4×(-3) = • (-24)/3 = • (-24)/(-3)= 12 -8 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus 64

TAL I BRÅKFORM 66

FÖRLÄNGNING = = 67

FÖRLÄNGNING 68

FÖRKORTNING = = 69

FÖRKORTNING 70

ADDITION AV BRÅK 71

RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI 72

MULTIPLIKATION AV BRÅK Samma värde 73

ATT INVERTERA ETT BRÅK 74

DIVISION AV BRÅK HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2” 75

POTENSER 5 stycken exponent bas 76

POTENSER PÅ RÄKNAREN 77

TIOPOTENSER 10 × 10 10 100 Tio Ett hundra 1 000 Ett tusen 10 000 Tio tusen 1000 En miljon 1000 000 En miljard 10 × 10 78

TIOPOTENSER 79

Potenslagarna 80

GRUNDPOTENSFORM 100 000 = 10 · 10 = 105 200 000 = 2 · 10 · 10 = 2 · 105 200 000 = 2 · 105 Potens med basen 10 81

AVRUNDNING 1196 a) 4 1196 b) 9 1197 a) 5 1197 b) 6 1198 a) 4, 8 1198 b) 8, 9 1199 a) 3, 2 1199 b) 9, 1 1200 a) 1, 37 1200 b) 5, 09 Hur avrundas 8, 97 till en decimal? Hur avrundas 5, 097 till två decimaler? 9, 0 5, 10 82

VAD ÄR PROCENT? 40% 60% 83

HUR MÅNGA PROCENT ÄR… Blå? Röd a? Gula ? 84

PROCENT I DECIMALFORM procentfor m bråkfor m decimalfor m 85

VI SÖKER PROCENTSATSEN I klass 9 A går det 25 elever. Av dessa var 19 närvarande. Hur stor var närvaron i procent? Hur stor var frånvaron i procent? OBS! 86

VI VET PROCENTSATSEN Hur mycket är 8% av 3500? Två olika sätt att lösa denna uppgift: 1% av 3500 är 35 8% av 3500 är då 8 × 35 = 280 0, 08 × 3500 = 280 Vilket sätt tycker Du är bäst? 87

PROCENT Hur stor andel av figuren är färgad? 88

PROCENT 0, 3% 0, 3, 50% 0, 0, 35% 0, 30% 0, 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 5 0 0 0 PROCENT 89

PROMILLE 0, 3% 0, 3, 50% 0, 0, 35% 0, 30% 0, 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 5 0 0 0 PROMILLE 90

PPM 0, 3% 0, 3, 50% 0, 0, 35% 0, 30% 0, 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 5 0 0 0 PPM 91

Förändringsfaktor Nya värdet Gamla värdet = Förändringsfaktor Några exempel 210 kronor 200 kronor Ökning med 5 % = 1, 05 Räknaren: Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1, 05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren: 92

Flera procentuella förändringar Uppgift 2220, sidan 101 William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i vär Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c: a 200 000 kronor 93

Procentenheter Priset på en vara höjdes från 4 kronor till 5 kronor. a) Hur många kronor höjdes priset? Svar: 1 krona b) Hur många % höjdes priset? Svar: 25 % 94

Index Tabellen visar KPI för livsmedel År 1980 1990 2010 KPI 100 229 273 År 1990 kostade 500 g kaffe 21, 70 kr. Vilket var priset år 2010 om priset utvecklades enligt KPI? (Förändringsfaktor) Svar: Priset var 25, 90 kr år 2010 om priset utvecklades enligt KPI. 95

EKVATION Ekvation betyder LIKHET 96

FÖRENKLING AV UTTRYCK a) b) c) d) 97

ADDITION AV UTTRYCK 98

SUBTRAKTION AV UTTRYCK 99

STÄLLA UPP FORMLER Ställ upp en formel för y då a) y är summan av a och x b) y är differensen av a och x c) y är produkten av a och x d) y är kvoten av a och x 100

Att lösa ekvationer Multiplicera båda leden med 2 x Dividera båda leden med 20 Förkorta med 5 101

Potensekvationer 102

Ekvationen xn = a 103

OBS! 104

Lös ut y 105

Multiplicera in 106

Multiplicera in 107

Faktorisera 108

EXEMPELUPPGIFT 109

EXEMPELUPPGIFT Triangel (3, 2 × 1, 1)/2 = 1, 76 Rektangel 3, 2 × 0, 8 = 2, 56 Totalt 1, 76 + 2, 56 = 4, 32 Svar: Tältets framsida har arean 4, 32 m² 110

EXEMPELUPPGIFT Tältets fram- och baksida har arean 2 × 4, 32 m² 2 × 4, 32 = 8, 64 m² Tältets långsidor har arean 2 × 3, 2 × 0, 8 m² 2 × 3, 2 × 0, 8 = 5, 12 m² Tältets tak har arean 2 × 3, 2 × 1, 9 m² 2 × 3, 2 × 1, 9 = 12, 16 m² Summan av alla areor: (8, 64 + 5, 12 + 12, 16) m² m² 111

AREAENHETER 1 dm² 1 cm² = 100 mm² 1 dm² = 100 cm² 1 m² = 100 dm² 112

CIRKELN cirkelrand Omkrets: Area: eller 113

π (pi) 114

VOLYMENHETER 1 dm³ 1 cm³ = 1000 mm³ 1 dm³ = 1000 cm³ 1 m³ = 1000 dm³ 115

116

VINKLAR OCH VINKELSUMMOR Kontroll: 87° + 43, 5° + 49, 5° = 180° 117

PYTHAGORAS SATS 118

SKALA 21 mm Mät med linjal… 15 mm SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 ”I verkligheten är alla sträcko 200 gånger längre än på bilde a) Längd: 200 × 21 mm = 4200 mm = 420 cm = 42 dm = 4, 2 m Bredd: 200 × 15 mm = 3000 mm = 300 cm = 30 dm = 3, 0 m 119

SKALA 21 mm 15 mm SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 ”I verkligheten är alla sträcko 200 gånger längre än på bilde Längd: 4, 2 m Bredd: 3, 0 m b) Area: 4, 2 m × 3, 0 m = 12, 6 m² 120

SYMMETRI Symmetrilinje 121

SPEGLING 122

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR Vad är sannolikheten att få summan 7 vid kast med 2 st. tärningar? T 1 T 2 6 olika utfall 36 möjliga utfall 123

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR Vad är sannolikheten att INTE få summan 7 vid kast med 2 st tärningar? T 1 T 2 6 olika utfall som ger 7 Detta kallas komplementhändelse. 124

TRÄDDIAGRAM Dra en kula ur urna 1 och lägg den i urna 2. Dra sedan en kula ur urna 2. Hur stor är sannolikheten att den sista kulan är en röd kula? U 1 U 2 RÖD R BLÅ B Sannolikheten att sista kulan är röd är: Observera: R B 125

Typvärde (kallas även modalvärde) i ett statistiskt datamaterial det värde som förekommer flest gånger. 126

Medelvärde Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden. På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6, 14285714286… 127

MEDIAN Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger i mitten. Av talen 1, 7, 9, 10 och 17 är 9 medianen (medan 8, 8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten. 128

MEDIAN �Följande värden är givna: 6 7 7 18 4 2 0 2 12 Bestäm medianen 4 2 0 2 6 7 7 12 18 Svar: Medianen till dessa tal är 6 129

MEDIAN �Följande värden är givna: 7 7 4 2 0 18 12 2 Bestäm medianen 4 2 0 2 4, 5 ? 7 7 12 18 Svar: Medianen till dessa tal är 4, 5 130

KOORDINATSYSTEM y X=2 Y=3 X=5 Y=6 • (5, 6) 3 • (2, 3) 2 x X = -5 Y = -4 • (-5, -4) 131

Värdetabell • • • 0 3 1 5 2 7 3 9 -2 -1 -3 -3

VÄRDE OCH DEFINITION y X=2 Y=3 X=5 Y=6 • (5, 6) 3 • (2, 3) 2 x När x är 2, så är y 3 När x är 5, så är y 6 133

RÄTA LINJENS EKVATION(2) k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln 134

RÄTA LINJENS EKVATION(2) k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln 135

RÄTA LINJENS EKVATION(1) Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2 x+3 (y) -1 1 0 3 1 5 136

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2 137

Funktionsmaskin x JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett 2 x + 1 x f(x) = 2 x + 1 F(x) = y IN = 1 UT = 3 IN = 2 UT = 5 IN = 3 UT = 7 IN = 4 UT = 9 IN = 5 UT = 11 F(x) = y Vad gör funktionsmaskinen? Vilken funktion har den? Hur kan man skriva funktionen? f(x) = 2 x + 1 kan också skrivas y = 2 x + 1 Med andra ord y = f(x) 138

NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X y f(x) X=2 Y=3 X=5 Y=6 • (5, 6) 3 • (2, 3) 2 x 139

VÄRDE OCH DEFINITION y Värdeaxel 3 X=2 Y=3 X=5 Y=6 • (5, 6) • (2, 3) Definitionsax 2 el x När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6 140

Proportionalitet Proportionell Direkt proportionell Orig. O = (0, 0) 141

Grafritande räknare 142

Funderingar under pågående prov • • • Koordinater (x, y) (a, b) Skriva tal i annan bas än 10, exempelvis basen 7 Ordet: ”villkor” Ordet: ”förhållande” Hur visar man förhållande i diagram Vad betyder förhållande i diagram 143