Infiniti pi potenti del numerabile Giuseppe Panteghini 4A

Infiniti più potenti del numerabile Giuseppe Panteghini 4^A lic. I. I. S. Olivelli Putelli – Darfo B. T. - A. s. 2014/2015

Varie potenze di infinito: Aleph Varie potenze di infinito 1 nei numeri • Inimmaginabile/Trascendente Reali Assoluto ﬡ = 1 ● ﬡ -… ● ﬡ -2 (curve geometriche) Interi Attuale ● ﬡ -0 (infinito quantizzato: N) ﬡ = 0 Pari ﬡ = 0 non interi ● ﬡ -1 (infinito continuo: R ) ﬡ = 1 Aleph o Alef Prima lettera dell’alfabeto ebraico, simbolo introdotto da Gregor Cantor per Razionali Irrazionali indicare la potenza dell’ ﬡ = 0 ﬡ = 1 infinito. Dispari Potenziale • Più elementi degli elementi presenti ﬡ = 0 Primi (2) Non primi finito ﬡ = 0 Primi ﬡ = 0 Non primi ﬡ = 0 Algebrici ﬡ = 0 Trascendenti ﬡ = 1

Non numerabilità di R – Diagonale di Cantor 1. Supponiamo per assurdo che l'intervallo [0, 1] sia numerabile. 2. Questo significa che gli elementi di [0, 1] possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo a una successione di numeri reali {r 1, r 2, r 3, . . . } che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. 3. Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà quest'aspetto: N. B. Cantor, sfrutta la proprietà degli insiemi infiniti secondo cui una frazione di infinito è anch’essa infinita. r 1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0. . . r 2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3. . . r 3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6. . . r 4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6. . . r 5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6. . . r 6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8. . . r 7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5. . .

Non numerabilità di R – Diagonale di Cantor 4. Ora concentriamo la nostra attenzione sulle cifre lungo la diagonale della matrice, cioè sulla successione il cui k-esimo elemento è la kesima cifra decimale di rk, come mostra la figura: r 1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0. . . r 2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3. . . r 3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6. . . r 4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6. . . r 5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6. . . r 6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8. . . r 7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5. . . 5. Questa successione di cifre sulla diagonale, definisce un numero reale 0, 5140235. .

Non numerabilità di R – Diagonale di Cantor 6. Ora consideriamo un nuovo numero reale x che abbia invece tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale, un modo per definire un tale numero è il seguente: r 1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0. . . r 2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3. . . r 3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6. . . r 4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6. . . r 5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6. . . r 6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8. . . r 7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5. . . b = 0, 5140235. . . 7. x è il numero reale compreso tra 0 e 1 tale che: ♦ se la k-esima cifra decimale di rk è 5 allora la k-esima cifra di x è 4 ♦ se la k-esima cifra di rk non è 5 allora la k-esima cifra decimale di x è 5 x = 0 , 4 5 5 5 4. . .

Non numerabilità di R – Diagonale di Cantor 8. All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista {r 1, r 2, r 3, . . . } enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere rn = x per almeno un n. 9. Tale unica rappresentazione dovrà quindi essere quella presente nella riga n-esima della tabella. 10. A questo punto emerge una contraddizione: sia a la n-esima cifra decimale di rn = x. Essa può essere 4 o 5. 11. Per come è definito x, la cifra a deve essere 4 se e solo se è uguale a 5 e 5 se e solo se è diversa da 5.

Non numerabilità di R – Diagonale di Cantor 10. A questo punto emerge una contraddizione: sia a la nesima cifra decimale di rn = x. Essa può essere 4 o 5. 11. Per come è definito x, la cifra a deve essere 4 se e solo se è uguale a 5 e 5 se e solo se è diversa da 5. Questo è impossibile e ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè [0, 1] non è numerabile. r 1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0. . . r 2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3. . . r 3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6. . . r 4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6. . . r 5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6. . . r 6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8. . . r 7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5. . . rn = 0, 4 5 5 5 4. . . 5 rn= … 5 x= … 4 (costruzione del numero x) MA rn = x impossibile

Non numerabilità di R – Diagonale di Cantor Questo dimostra che gli elementi di [0, 1] NON possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo a una successione di numeri reali {r 1, r 2, r 3, . . . } che non esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Quindi i numeri reali possiedono una potenza di infinito maggiore dei numerabili R : ﬡ -1 Z: ﬡ -0

Varie potenze di infinito Reali ﬡ = 1 Interi non interi ﬡ = 0 ﬡ = 1 Pari Dispari ﬡ = 0 Primi (2) Non primi finito ﬡ = 0 Primi ﬡ = 0 Non primi ﬡ = 0 Razionali Irrazionali ﬡ = 0 ﬡ = 1 Algebrici ﬡ = 0 Trascendenti ﬡ = 1

Varie potenze di infinito Reali ﬡ = 1 Interi ﬡ = 0 non interi ﬡ = 1 Per la dimostrazione di Cantor i numeri reali sono più potenti degli interi; Tuttavia la stessa dimostrazione può essere usata con i numeri non interi considerando l’insieme (0; 1).

Varie potenze di infinito non interi I numeri non interi possono ﬡ = 1 essere suddivisi in razionali, cioè numeri non interi ottenuti da una frazione il cui numeratore e denominatore Razionali Irrazionali ﬡ = 0 ﬡ = 1 sono interi, e irrazionali, che invece non possono essere Algebrici ottenuti da una divisione tra ﬡ = 0 Trascendenti ﬡ = 1 interi. Come dice la definizione i numeri razionali sono ottenuti da un’operazione tra naturali, pertanto, oltre ad avere א -0, si succederanno sulla retta dei numeri rimanendo separati da un piccolissimo spazio infinito.

La retta dei numeri 0 1 La retta dei numeri rappresenta tutti i numeri reali, pertanto si può definire infinitamente densa: tra due numeri sono presenti altri infiniti numeri. Ciò è possibile se si considera la presenza di infiniti numeri dopo la virgola. Si può considerare come l’insieme infinito non numerabile di tutti i numeri reali e quindi eliminando un sottoinsieme quantizzato, come i numeri razionali, rimane sempre un infinito.

Varie potenze di infinito I numeri irrazionali possono essere suddivisi in algebrici, con א -0 e trascendenti, con א -1. Irrazionali ﬡ = 1 Algebrici ﬡ = 0 Trascendenti ﬡ = 1

Irrazionali algebrici

Varie potenze di infinito Reali ﬡ = 1 Quantizzati Interi non interi ﬡ = 0 ﬡ = 1 Operazione tra quantizzati Pari Dispari ﬡ = 0 Razionali Irrazionali ﬡ = 0 ﬡ = 1 Equazione con termini quantizzati Primi (2) Non primi finito ﬡ = 0 Primi ﬡ = 0 Non primi Algebrici ﬡ = 0 Trascendenti ﬡ = 1 Possiamo quindi dire che la potenza א -1 dei reali deriva dai trascendenti infiniti presenti tra i quanti degli altri sottoinsiemi di R.

Infiniti più potenti del numerabile Giuseppe Panteghini 4^A lic. I. I. S. Olivelli Putelli – Darfo B. T. - A. s. 2014/2015