Infinitesimales Hier wchst Ihr Wissen ber das unendlich
Infinitesimales Hier wächst Ihr Wissen über das unendlich Kleine 1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Infinitesimal Thinking Your knowledge about infinitely small objects increases. 2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf Ein erfundenes Beispiel: 16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. Münden Ein Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben. Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann. Münden gewesen. 3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
A faked example: The Modelling Circuit At 4 pm o‘clock there had been an accident in H. -Münden, the driver escaped. A witness had seen a van with multiple commertial marking how the picture shows. The owner affirm that at 4 o‘clock he had not been in H. -Münden. 4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Reale Situation Der Fahrtenschreiber zeigt: Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. • Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des Lügenbarons Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw…. 5 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. real situation The trip recorder shows: We are interested in the length of his drive. *Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“. 6 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder*, 80 km entfernt. Reale Situation Der Fahrtenschreiber zeigt: Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. mathematisches Modell Fläche unter der Modellkurve gesucht. • Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des Lügenbarons Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw…. 7 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. real situation The trip recorder shows: We are interested in the length of his drive. mathematical model We search the area under the modeling curve. *Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“. 8 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Reale Situation Der Fahrtenschreiber zeigt: Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. mathematisches Modell Fläche unter der Modellkurve gesucht. mathematische Lösungsidee 9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. real situation The trip recorder shows: We are interested in the length of his drive. mathematical model We search the area under the modeling curve. mathematical idea of solving this 10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Reale Situation Der Fahrtenschreiber zeigt: Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht. mathematisches Modell Fläche unter der Modellkurve gesucht. mathematische Lösungsidee mathematische Antwort 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Modeling Circuit At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser. real situation The trip recorder shows: We are interested in the length of his drive. mathematical model We search the area under the modeling curve. mathematical idea of solving this mathematical solution 12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Funktionen werden zum Werkzeug Man erhält Antworten beim Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral integer (lat. )= ganz pane integrale (it. ) = Vollkornbot Funktionen beschreiben Zusammenhänge Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential 13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Functions Become a Tool You have solution with looking on on the whole issue with the Integral integer (lat. )= whole pane integrale (it. ) = whohe –grain breadn functions are describing connections Youe have punctual solutions with the differential 14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral Man erhält Antworten beim Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral integer (lat. )= ganz pane integrale (it. ) = Vollkornbot 15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral You have solution with looking on on the whole issue with the Integral integer (lat. )= whole pane integrale (it. ) = whohe –grain bread 16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Riemannsche Integral Bernhard Riemann Abi 1846 Originaltext aus „Gesammelte Werke“ Johanneum Lüneburg 17 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Riemannian Integral Bernhard Riemann Abitur 1846 original text out of „Gesammelte Werke“ Johanneum Lüneburg On the conception of the definite integral and the range of its validity. …… So at first: What is the meaning of ? 18 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Riemannsches Integral Bernhard Riemann Abi 1846 Johanneum Lüneburg , bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben, Originaltext aus „Gesammelte Werke“ 19 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Riemannian Integral Bernhard Riemann Abitur 1846 Johanneum Lüneburg If the function has not this property, so the symbol , to have the same limit with every dissection, has no meaning. original text out of „Gesammelte Werke“ 20 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral als verallgemeinertes Produkt variabel konstant Geschwindigkeit Weg Zeit Integral für 3 D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen. . 21 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral as a Generalized Product variable constant velocity path time Integral for 3 D-areas, volumes, balance points, balances, … 22 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral als verallgemeinertes Produkt variabel konstant Geschwindigkeit Weg Zeit konstant Kraft Arbeit Weg Integral für 3 D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen. . 23 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral as a Generalized Product variable constant velocity path time constant forth work energy Integral for 3 D-areas, volumes, balance points, balances, … 24 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral als verallgemeinertes Produkt variabel konstant Geschwindigkeit Weg Zeit konstant Kraft Arbeit Energie Weg konstant Widerstand Spannung variabel Stromstärke Integral für 3 D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen. . 25 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral as a Generalized Product variable constant velocity path time constant forth work energy constant resistor voltage Ohn‘s law variable electric current Integral for 3 D-areas, volumes, balance points, balances, … 26 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Wetter Temperaturverlauf Integral für Mittelwert und Bilanzen. . 27 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral for the Generalized Mean weather temperature profile Integral for means and financial balances. . 28 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Ist die Modellierung der Metereologen nicht viel zu grob? ? ? Flächenbilanz=0 Integral für Mittelwert und Bilanzen. . 29 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral for the Generalized Mean Is the modeling of the meterologists too rough? balance of area =0 integral for means and balances. . 30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert Flächenbilanz=0 Integral für Mittelwert und Bilanzen. . 31 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral for the Generalized Mean balance of area =0 integral for means and balances. . 32 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert der Funktionswerte Integral für 3 D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen. . 33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral for the Generalized Mean mean of the functions values integral 3 D-areas aund volumes, for means and balances. . 34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Sind die Werte von f im ganzen Intervall](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-35.jpg "Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Sind die Werte von f im ganzen Intervall")
Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ, dann ist auch das Integral negativ. 35 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Properties of the Integrals interval [A, B] If the values of f are negative](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-36.jpg "Properties of the Integrals interval [A, B] If the values of f are negative")
Properties of the Integrals interval [A, B] If the values of f are negative in the whole interval than the integral is negativ. 36 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-37.jpg "Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und")
Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen. Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ, dann ist auch das Integral negativ. 37 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Properties of the Integrals interval [A, B] The integral is a balance of areas](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-38.jpg "Properties of the Integrals interval [A, B] The integral is a balance of areas")
Properties of the Integrals interval [A, B] The integral is a balance of areas with negative and positive values. If the values of f are negative in the whole interval than the integral is negativ. 38 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-39.jpg "Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und")
Eigenschaften des Integrals Intervall [A, B] Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen. Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Integrals Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ, dann ist auch das Integral negativ. 39 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Properties of the Integrals interval [A, B] The integral is a balance of areas](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-40.jpg "Properties of the Integrals interval [A, B] The integral is a balance of areas")
Properties of the Integrals interval [A, B] The integral is a balance of areas with negative and positive values. By changing the borders the sign of the integral changes. If the values of f are negative in the whole interval than the integral is negativ. 40 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Übungen zum Integral mögliche Werte Intervall [A, B] 41 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-41.jpg "Übungen zum Integral mögliche Werte Intervall [A, B] 41 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana")
Übungen zum Integral mögliche Werte Intervall [A, B] 41 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Exercise with the Integral possible values interval [A, B] 42 Prof. Dr. Dörte Haftendorn,](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-42.jpg "Exercise with the Integral possible values interval [A, B] 42 Prof. Dr. Dörte Haftendorn,")
Exercise with the Integral possible values interval [A, B] 42 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Übungen zum Integral mögliche Werte Intervall [A, B] 43 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-43.jpg "Übungen zum Integral mögliche Werte Intervall [A, B] 43 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana")
Übungen zum Integral mögliche Werte Intervall [A, B] 43 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
![Exercise with the Integral possible values interval [A, B] 44 Prof. Dr. Dörte Haftendorn,](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/cc2c9de283ba611cadb93d9dc92d16dd/image-44.jpg "Exercise with the Integral possible values interval [A, B] 44 Prof. Dr. Dörte Haftendorn,")
Exercise with the Integral possible values interval [A, B] 44 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Die Integralfunktion „Teppich-Abroll-Funktion“ a x 45 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral Funktion „carpet scrolling funktion“ a x 46 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Die Integralfunktion „Teppich-Abroll-Funktion“ Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an. 47 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral Funktion „carpet scrolling funktion“ The ordinate of P shows the scrolled area. 48 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Die Integralfunktion Der Zuwachs der Integralfunktion hängt nur vom Zuwachs der Fläche ab. Also sind die verschiedenen Integralfunktionen an jeder Stelle x gleich steil. (x ist hier die Stelle von B) 49 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral Funktion The growth of the integral-function depends only on the growth of the area. Therefore all the different integral functions have in every position x the same slope. (here x is the position of B) 50 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Die Integralfunktion Alle Integralfunktionen haben dieselbe Form. An den Extremstellen von F hat f eine Nullstelle. An der Sattelstelle von F hat f eine Berühr-Nullstelle. Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle. 51 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral Funktion All integral functions have the same form. In the extrem abscissas of F the function f has a zero. In the saddle-abscissa of F the function f has the x-axis as a tangent. In the position of inflection of F there is an extreme position of f. 52 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Nochmal die Teppichabrollfunktion 53 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Once Again the Carpet scrolling funktion 54 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“ 55 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
The Integral Function F von f =„ Carpet scrolling funktion“ 56 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung d. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch „Stammfunktionen“ von f, sie unterscheiden sich nur um eine additive Konstante c. Man schreibt: 57 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
Principal Theorem of the Calculus That is: All integral functions F of f with arbitrary start have their own f as their derivative. For that we call them „antiderivative“ von f. All possible F differ only in an additive constant c. One write: 58 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http: //www. leuphana. de/matheomnibus
- Slides: 58
