INECUACIONES U D 4 Angel Prieto Benito 2

INECUACIONES U. D. 4 @ Angel Prieto Benito * 2º BCS Matemáticas 2º Bach. Sociales 1

INECUACIONES RACIONALES U. D. 4. 3 @ Angel Prieto Benito * 2º BCS Matemáticas 2º Bach. Sociales 2

Inecuaciones racionales • Una inecuación RACIONAL es la que tiene la forma: • P(x) • ------ ≤ 0 , ( también pueden llevar el signo ≥, > o <) • Q(x) • Siendo Q(x) <> 0 siempre. • Para resolverlas se FACTORIZAN los polinomios P(x) y Q(x), a semejanza de las inecuaciones cuadráticas y polinómicas. • Y finalmente se aplica la Regla de los signos. • Hay que tener presente que los ceros o raíces de Q(x) no pueden formar parte de la solución de la inecuación. La solución será un intervalo abierto o cerrado. • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales 3

• • • Muy importante: NO HAY QUE “ELIMINAR” LOS DENOMINADORES. Sea la inecuación: 2 ------- + 3 ≥ 4 x+1 MAL: BIEN: 2 + 3. (x+1) ----------- ≥ 4 x+1 2 + 3. x + 3 --------- – 4 ≥ 0 x+1 • • • 2 + 3. (x+1) ≥ 4. (x + 1) • Solución: x = ( - oo, 1 ] 2 + 3. x + 3 ≥ 4. x + 4 2 + 3 – 4 ≥ 4. x – 3. x 1≥x x≤ 1 @ Angel Prieto Benito 3. x + 5 – 4. x – 4 ----------- ≥ 0 x+1 1–x ---- ≥ 0 x+1 (– oo , – 1) No se cumple (– 1 , 1) Se cumple ( 1 , oo) No se cumple. Solución: x = ( – 1 , 1) Matemáticas 2º Bach. Sociales 4

Ejemplos resueltos • • • Resuelve la inecuación: 1–x ------- ≤ 0 x El cero del numerador es x 1 = 1 , y el denominador es x 2 = 0 Como ya está factorizado, se halla el signo de cada factor: - oo (1–x) x División 0 1 1 +oo + - + + + - El 0 no puede ser solución, luego: Solución: x = (- oo , 0) U [ 1, +oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales 5

• • Resuelve la inecuación: 2 x 2 – 4 ------ > 0 x– 1 Se hallan las dos raíces del numerador: x 1 = 2 , x 2 = – 2 Se factoriza el polinomio: (x – 2). ( x + 2 ) ----------- > 0 x– 1 y se halla el signo de cada factor: - oo (x– 2) -2 1 2 +oo (x+2) --- -+ -+ + + (x– 1) -- -- + + División -- + Solución: x = ( – 2 , 1 ) U ( 2 , + oo ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales 6

• • • Resuelve la inecuación: 3 x 2 + 3. x + 2 -------- < 0 x 2 + 2. x Se hallan las cuatro raíces, dos a dos: x 1 = – 1 , x 2 = – 2 x 3 = 0 , x 4 = – 2 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ). ( x + 2 ) ----------- < 0 (x + 1) / x < 0 x. (x + 2) Una vez simplificada se halla el signo de cada factor: - oo (x+1) x División -1 + 0 + - +oo + + + Para x = – 2 se anula el denominador, por lo cual No puede ser solución. Solución: x = (– 1 , 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales 7

Una solución gráfica • 1 • • • 1–x ----- ≤ 0 x • • • Equivale a: 1 – 1 + ----- ≤ 0 x Una hipérbola, como la mayoría de las racionales. • • Solución: x = (- oo , 0) U [ 1, +oo) @ Angel Prieto Benito – 1 Matemáticas 2º Bach. Sociales 0 1 8