Induktive Statistik Einleitung Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische

Induktive Statistik • • • Einleitung Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische Prüfverfahren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Einleitung Beispiel für induktive Statistik Neues Medikament • Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist? • Wie beweist man, dass es besser ist als die schon vorhandenen Medikamente? • Wie ist ein solcher Test manipulierbar? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Stichproben Grundgesamtheit: Alle möglichen Ergebnisse des Versuchs Stichprobe: Die n Ergebnisse eines tatsächlich durchgeführten Versuchs z. B. Ziehen aus einer Urne Grundgesamtheit: alle Kugeln Stichprobe die Kugel, die ich ziehe Unendlich viele Versuche: Stichprobe = Grundgesamtheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Begriff ‚Stichprobe‘ Kommt aus der Metall gewinnenden Industrie und dem Warenhandel Kleiner Teil der Schmelzmasse wurde dem Schmelzofen entnommen um die Qualität der Schmelzmasse zu prüfen Rückschluss von der Probe auf die gesamte Schmelzmasse (die Grundgesamtheit) Auch im Warenhandel (Käse, Getreide, etc. ) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel (1) Bestimmung der Größe der Studenten Vermessungswesen eines bestimmten Jahres N=20 Personen Einfachste Möglichkeit: Alle 20 abmessen Erwartungswert und Varianz der Grundgesamtheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil i xi 1 188 11 170 2 183 12 187 3 183 13 177 4 185 14 178 5 178 15 180 6 198 16 182 7 163 17 189 8 164 18 173 9 174 19 176 10 185 20 177

Beispiel (2) Aber: Es ist uns zu aufwändig, also wählen wir n=5 Studenten und messen deren Größe Stichprobe Wir wollen nun von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen Anzahl der möglichen Stichproben: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel (3) Ausgangspunkt: Die 5 Studenten wurden zufällig ausgewählt Mittelwert ist eine Zufallsgröße Mittelwert hat also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (Stichprobenverteilung) Zentraler Grenzwertsatz Stichprobenverteilung ist die Normalverteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels Ab etwa n=30 normalverteilt • Erwartungswert: • Standardabweichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Stichprobenverteilung der Standardabweichung Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheit Es folgt: Normalverteilung für die Stichprobenverteilung der Standardabweichung S für n • Erwartungswert: • Standardabweichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Stichprobenverteilung der Differenz zweier Standardabweichungen Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheiten, große Stichproben (n > 100) Es folgt: Normalverteilung für die Stichprobenverteilung der Differenz der Standardabweichungen DS=S 1 -S 2 • Erwartungswert: • Standardabweichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereiche Mittelwert ms und Standardabweichung ss sind Punktschätzwerte für m und s Keine Information über Zuverlässigkeit oder Genauigkeit (keine Angaben über Abweichung vom wahren Wert) Abhilfe: Vertrauensbereiche (Vertrauens-, Konfidenzintervall) Mit Stichprobendaten berechnetes Intervall Überdeckt den wahren Wert mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit S Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwert bei bekanntem s (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x 1, … xn Standardabweichung aus Erfahrung Vertrauensbereich mit P(mu<m<mo) = S Mit mu untere und mo obere Vertrauensgrenze Normierte Normalverteilung: P(-us<l<+us) = S Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwert bei bekanntem s (2) us: -Quantil l: Stichprobenfunktion Also: Einfache Umformungen: Grenzen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Mittelwert der Stichprobe

Beispiel Streckenmessung x=130, 100 m s=4, 0 cm n=4 S=0, 95 Tabelle im Skriptum: us=1, 96 P(130, 061 m<m<130, 139 m)=0, 95 oder: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwert bei unbekanntem s (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x 1, … xn Standardabweichung nur Schätzwert Vertrauensbereich für die normierte Normalverteilung: P(-t. S<t<+t. S) = S mit der Stichprobenfunktion Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwert bei unbekanntem s (2) Also: Einfache Umformungen: Grenzen: Vertrauensbereich: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Streckenmessung x=130, 100 m s=4, 0 cm n=4 S=0, 95 Tabelle im Skriptum: t. S=3, 18 (k=4 -1=3) P(130, 036 m<m<130, 164 m)=0, 95 oder: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für die Standardabweichung (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x 1, … xn Standardabweichung Vertrauensbereich mit P(su<s<so) = S‘‘ Mit su untere und so obere Vertrauensgrenze Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für die Standardabweichung (2) Ausgangspunkt: Dichtefunktion der Standardabweichung ist die c 2 -Verteilung, kann geschrieben werden als S 2: Zufallsgröße „Varianz der Stichprobe“ k: Anzahl der Freiheitsgrade Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für die Standardabweichung (3) Wenn nicht wahre Fehler e sondern Verbesserungen v: k=n, wenn der wahre Wert bekannt, sonst k=n-1 Es folgt und Also: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Streckenmessung s=4, 0 cm n=4 S=0, 95 Tabelle im Skriptum: qu=0, 57, qo=3, 73 (k=4 -1=3) qu. S=0, 57 4, 0 cm=2, 3 cm qo. S=3, 73 4, 0 cm=14, 9 cm oder: P(2, 3 cm<s<14, 9 cm)=0, 95 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (1) Formeln für Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung auch auf Ausgleichungsaufgaben anwendbar Mittel gleich ausgeglichenen Unbekannten oder Messwerten Standardabweichung des Mittels gleich Standardabweichung der Unbekannten oder Messwerten Freiheitsgrade k gleich Anzahl der überschüssigen Messungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (2) Beliebiges Ergebnis (Unbekannte oder Messwert) G mit Standardabweichung m. G mit t. S aus der Tabelle für 2 -seitige Sicherheit qu, qo als abgeleitete Sicherheitsgrenzen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (3) Vertrauensbereich im Allgemeinen aussagekräftiger als Standardabweichung selbst nur Schätzwert für wahren Wert Standardabweichung nicht mit Wahrscheinlichkeit verbunden Bei geringer Redundanz oft nur unzureichende Beschreibung Vertrauensbereich immer mit Wahrscheinlichkeitsaussage verbunden deutlicher und zutreffender Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Statistische Prüfverfahren (1) Statistischer Test stellt fest, ob die Daten einer Stichprobe mit einer Hypothese übereinstimmen Zu testende Behauptung: Nullhypothese z. B. Gleiche Mittelwerte – H 0: m 1=m 2 Stichprobenfunktion wird gewählt – liefert Sicherheitsgrenzen Berechnung einer Prüfgröße Vergleich Prüfgröße – Sicherheitsgrenze Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Statistische Prüfverfahren (2) Prüfgröße innerhalb der Sicherheitsgrenzen (Annahmebereich): Hypothese wird angenommen Prüfgröße außerhalb der Sicherheitsgrenzen (Ablehnungsbereich): Hypothese wird abgelehnt Sicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) üblicherweise 95% (selten 99% - hochsignifikant) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vorsicht! • Annahme einer Hypothese bedeutet, dass die Stichprobe nicht gegen die Hypothese spricht • Annahme bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% richtig ist • Ablehnung bedeutet, dass die Prüfgröße in einem Bereich liegt, in dem sie bei richtiger Hypothese nur zu 5% liegen würde • Ablehnung bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% falsch ist Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Fehler bei Tests • Fehler erster Art: Ablehnung einer richtigen Hypothese (Wahrscheinlichkeit dafür 5% bzw. 1%) • Fehler zweiter Art: Annahme einer falschen Hypothese (Angabe einer Wahrscheinlichkeit nicht möglich) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Praktische Durchführung 1. Formulierung der Fragestellung 2. Aufstellen der Hypothese 3. Wählen der Stichprobenfunktion und Berechnen der Prüfgröße 4. Entnahme der Sicherheitsgrenzen aus der entsprechenden Tabelle 5. Entscheidung über Annahme oder Ablehnung und Beantwortung der Fragestellung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test von m bei bekanntem s Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m 0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Refraktionskoeffizient x=0, 15 s=0, 03 n=10 Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m 0=0, 13 also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle u. S=1, 96 2, 11>1, 96 Hypothese abgelehnt, es muss 0, 15 verwendet werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test von m bei unbekanntem s Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m 0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Polarplanimeter x=9, 97 mm 2 s=0, 015 n=4 k=3 m 0=10 mm 2 Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m 0=10 also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle bei k=3 t. S=3, 18 4, 00>3, 18 Hypothese abgelehnt, es muss 9, 97 verwendet werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test von m 1 und m 2 bei bekanntem s 1 und s 2 Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also Stichprobenfunktion mit Prüfgröße Sicherheitsgrenze und Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Senkungserscheinungen x‘ = 32, 120 m s 1=8 mm n 1=6 x‘‘= 32, 113 m s 2=5 mm n 2=4 Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle u. S=1, 96 1, 71<1, 96 Hypothese angenommen, keine signifikanten Senkungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test von m 1 und m 2 bei unbekanntem s 1 und s 2 (1) Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also Stichprobenfunktion mit dem gewogenen Mittel der Varianzen als Varianz Grundgesamtheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test von m 1 und m 2 bei unbekanntem s 1 und s 2 (2) Prüfgröße Sicherheitsgrenze mit k=n 1+n 2 -2 Freiheitsgraden Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Bauwerksbewegungen x‘ =50, 630 m n 1=26 u 1=18 s 02=0, 26 mgon Qxx=3, 00 x‘‘=50, 636 m n 2=34 u 1=21 s 02=0, 22 mgon Qxx=2, 53 Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle t. S=2, 08 1, 08<2, 08 Hypothese angenommen, keine signifikanten Bewegungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test einer Standardabweichung (1) Hat die Grundgesamtheit eine bestimmte (vorgegebene) Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheit hat Standardabweichung s 0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test einer Standardabweichung (2) Sicherheitsgrenze aus Tabelle, dabei Entscheidung, ob – Test gegen Alternativhypothese s>s 0 (einseitige Fragestellung): c. S 2 oder – Test gegen Alternativhypothese s s 0 (zweiseitige Fragestellung): qu und qo abgeleitete Prüfgröße: Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Nivellement (einseitig) s=3, 8 mm k=8 s 0=2, 5 mm Hypothese: Grundgesamtheit hat s 0=2, 5 mm, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle c. S 2=15, 5 18, 5>15, 5 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist geringer Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Stationsausgleich (zweiseitig) s=0, 1 mgon k=44 s 0=0, 14 mgon Hypothese: Grundgesamtheit hat s 0=0, 14 mgon, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle qu=0, 85, qo=1, 22 1, 4>1, 22 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist zu hoch Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test zweier Standardabweichungen Haben die beiden Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheit haben gleiche Standardabw. , also Stichprobenfunktion Prüfgröße (s 12>s 22) Sicherheitsgrenze mit k 1/k 2 aus Tabelle Vergleich (Alternativ: s 1>s 2) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Messgenauigkeit s 1=0, 39 mgon s 2=0, 27 mgon k 1=20 k 2=15 Hypothese: Messungen gleich genau, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle FS=2, 33 2, 09<2, 33 Hypothese angenommen, beide Geräte gleich genau Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test mehrerer Standardabweichungen (Cochran-Test) Haben alle Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheiten haben die gleiche Standardabw. , also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Messgenauigkeit 8 Messungen mit je 10 übersch. Beob. 0, 42, 0, 41, 0, 36, 0, 39, 0, 42, 0, 52, 0, 40, 0, 38 Hypothese: Messungen gleich genau, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze Gmax. S=0, 283>0, 196 Hypothese angenommen, keine Änderung der Genauigkeit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Cochran-Test Besonders gut geeignet, wenn eine Standardabweichung wesentlich größer als die anderen Auch verwendbar, wenn Anzahl der Freiheitsgrade nur nahezu gleich Größere Unterschiede bei den Freiheitsgraden: Bartlett-Test Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test eines Korrelationskoeffizienten Ist der Korrelationskoeffizient gleich Null? Hypothese: Korrelationskoeffizient gleich Null, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel trig. Höhenmessungen 15 Messungen nach 2 Punkten Verbesserungen Hypothese: Keine Korrelation, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze t. S=2, 17 2, 57>2, 17 Hypothese abgelehnt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test eines extremen Merkmals (Ausreißertest) Ist ein Wert ein Ausreißer? Hypothese: Wert gehört zur Grundgesamtheit, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Winkelmessung 6 Winkelmessungen, ein extremer Wert Hypothese: Extremer Wert gehört zu selben Grundgesamtheit, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze DS=2, 00 2, 04>2, 00 Hypothese abgelehnt, Wert ist ein Ausreißer und somit zu streichen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Test auf Normalverteilung Ist die Stichprobe normalverteilt? Hypothese: Stichprobe gehört zu einer normalverteilten Grundgesamtheit, also Anzahl Klassen Stichprobenfunktion Prüfgröße theoret. abs. Häufigkeit Sicherheitsgrenzeempirische aus Tabelle absolute Häufigkeit Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel Winkelmessung 270 Verbesserungen für ein Netz Hypothese: Verbesserungen sind normalverteilt, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze c. S 2=14, 1 10, 5<14, 1 Hypothese angenommen, Verteilung der Werte widerspricht nicht der Annahme der Normalverteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Zusammenfassung • Statistische Tests prüfen Hypothesen mittels Stichproben • Bei statistischen Tests können 2 Arten von Fehlern passieren: – Ablehnung einer richtigen Hypothese (1. Art) – Annahme einer falschen Hypothese (2. Art) • Für typische Testsituationen gibt es Standardverfahren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

ENDE • A 1 ist hier zu Ende • Was fehlt noch? (Stoff von A 2) – Umgang mit groben Fehlern – Festlegung des geodätischen Datums – Qualitätsangaben über Unbekannte hinaus – Komplexere Anwendungen (Deformationsanalyse, Geostatistik etc. ) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil