Induksi Matematika MATEMATIKA DISKRIT UNIVERSITAS AMIKOM Yogyakarta Induksi

Induksi Matematika MATEMATIKA DISKRIT UNIVERSITAS AMIKOM Yogyakarta

Induksi Matematika § Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. § Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan § Perhatikan kasus berikut: “Beberapa orang Amerika mengusulkan agar pemerintah menghentikan pengeluaran koin 1 sen (1¢), karena selain nilainya terlalu kecil, harga-harga barang yang sama atau lebih dari 4 ¢ dapat dibayar dengan koin 2 ¢ atau 5 ¢ (tanpa memerlukan koin 1 ¢)” 2

Induksi Matematika § Secara formal dapat dikatakan: “Untuk setiap bilangan bulat n≥ 4, n sen dapat diperoleh dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢” 3

Induksi Matematika § Perhatikan tabel berikut: Baris Ke N Cara Mendapatkan koin 2¢ 1 4¢ 2 5¢ 3 6¢ 4 7¢ 5 8¢ 6 9¢ koin 5¢ 4

Induksi Matematika § Baris ke-k dalam tabel tersebut adalah untuk mendapatkan (k+3) ¢ dengan menggunakan koin 2 ¢ dan 5 ¢. § Untuk melanjutkan pembuatan tabel berikutnya haruslah dibuat aturan bagaimana mengisi baris ke-(k+1), dengan menggunakan pola baris ke-k. § Ada 2 kemungkinan: 1. Ada koin 5 ¢ yang digunakan untuk menyusun atau 2. Semua koinnya adalah 2 ¢ 5

Induksi Matematika § Jika ada 5 ¢ yang digunakan untuk menyusun k-koin, maka untuk menyusun (k+1) koin: - - gantilah koin 5 ¢ dengan 3 buah koin 2 ¢, sehingga jumlah seluruhnya (k+1) koin. atau gantilah 2 buah koin 2 ¢ yang nilainya 4 ¢, dengan 5 ¢, sehingga seluruhnya (k+1) koin 6

Induksi Matematika § Dari contoh tersebut: 1. Tunjukkan bahwa P(4) benar dengan kata lain: 4 ¢ dapat disusun dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢ 2. Tunjukkan kebenaran P(k+1) bisa didapatkan dengan diketahuinya kebenaran P(k) dengan kata lain: misalkan k ¢ dapat disusun dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢, maka ditunjukkan bagaimana (k+1) ¢ didapatkan dari koin 2 ¢ dan 5 ¢ 7

Induksi Matematika § Disimpulkan: Misalkan P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan dalam bilangan bulat n dan a adalah bilangan bulat tetap, maka: 1. P(a) benar 2. Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk k ≥ a Sehingga: P(n) benar untuk semua n ≥ a 1. 2. Langkah 1 disebut Basis Langkah 2 disebut Langkah Induksi 8

Induksi Matematika Contoh Kasus: Buktikan bahwa: 9

Induksi Matematika Jawab: 1. Basis, P(1) benar n=1, maka * ruas kiri =1 * ruas kanan = 2. Langkah Induksi, P(k) benar P(k+1) benar P(k) benar, berarti 10

Induksi Matematika Akan dibuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu bahwa: Menurut hipotesa: sehingga: 11

Induksi Matematika Terbukti benar P(k+1) Disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n ≥ 1 12

Latihan Buktikan melalui induksi matematika, bahwa: 1). 2). 3). 4). 13