Induksi Matematik Pertemuan 7 1 Induksi Matematik Metode

  • Slides: 25
Download presentation
Induksi Matematik Pertemuan 7 1 Induksi Matematik

Induksi Matematik Pertemuan 7 1 Induksi Matematik

 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n):

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”. Buktikan p(n) benar! 2 Induksi Matematik

3 Induksi Matematik

3 Induksi Matematik

 Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik

Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. 4 Induksi Matematik

Prinsip Induksi Sederhana. Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin

Prinsip Induksi Sederhana. Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(1) benar, dan 2. jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat positif n 1, 5 Induksi Matematik

 Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi

Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. 6 Induksi Matematik

 Induksi matematik berlaku seperti efek domino. 7 Induksi Matematik

Induksi matematik berlaku seperti efek domino. 7 Induksi Matematik

8 Induksi Matematik

8 Induksi Matematik

9 Induksi Matematik

9 Induksi Matematik

Prinsip Induksi yang Dirampatkan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin

Prinsip Induksi yang Dirampatkan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n 0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n 0) benar, dan 2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n n 0, 10 Induksi Matematik

11 Induksi Matematik

11 Induksi Matematik

12 Induksi Matematik

12 Induksi Matematik

Latihan Contoh 3. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen,

Latihan Contoh 3. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen, banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2 n. 13 Induksi Matematik

Prinsip Induksi Kuat Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan

Prinsip Induksi Kuat Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n 0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n 0) benar, dan 2. jika p(n 0 ), p(n 0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n n 0, . 14 Induksi Matematik

15 Induksi Matematik

15 Induksi Matematik

16 Induksi Matematik

16 Induksi Matematik

 Contoh 5. [LIU 85] Teka-teki susun potongan gambar (jigsaw puzzle) terdiri dari sejumlah

Contoh 5. [LIU 85] Teka-teki susun potongan gambar (jigsaw puzzle) terdiri dari sejumlah potongan (bagian) gambar (lihat Gambar). Dua atau lebih potongan dapat disatukan untuk membentuk potongan yang lebih besar. Lebih tepatnya, kita gunakan istilah blok bagi satu potongan gambar. Blok-blok dengan batas yang cocok dapat disatukan membentuk blok yang lain yang lebih besar. Akhirnya, jika semua potongan telah disatukan menjadi satu buah blok, teka-teki susun gambar itu dikatakan telah dipecahkan. Menggabungkan dua buah blok dengan batas yang cocok dihitung sebagai satu langkah. Gunakan prinsip induksi kuat untuk membuktikan bahwa untuk suatu teka-teki susun gambar dengan n potongan, selalu diperlukan n – 1 langkah untuk memecahkan teki-teki itu. 17 Induksi Matematik

18 Induksi Matematik

18 Induksi Matematik

19 Induksi Matematik

19 Induksi Matematik

20 Induksi Matematik

20 Induksi Matematik

21 Induksi Matematik

21 Induksi Matematik

22 Induksi Matematik

22 Induksi Matematik

Soal latihan 1. 23 Jika A 1, A 2, …, An masing-masing adalah himpunan,

Soal latihan 1. 23 Jika A 1, A 2, …, An masing-masing adalah himpunan, buktikan dengan induksi matematik hukum De Morgan rampatan berikut: Induksi Matematik

2. 24 Buktikan dengan induksi matematik bahwa n 5 – n habis dibagi 5

2. 24 Buktikan dengan induksi matematik bahwa n 5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif. Induksi Matematik

3. 25 Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya

3. 25 Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali saja. Buktikan dengan induksi matematik bahwa jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2. Induksi Matematik