incontro 1 17 01 2018 introduzione la meccanica

incontro #1 - 17. 01. 2018 introduzione la meccanica a cura del dott. Giovanni Casini Laboratorio di Didattica della Fisica e della Matematica Esperimenti didattici nella fisica classica e moderna 1/100

La diffrazione Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Cos’è la diffrazione Quando un fascio di luce, proveniente da una sorgente monocromatica puntiforme, attraversa un foro praticato su una superficie opaca, il cui diametro è molto maggiore della lunghezza d’onda della luce, è possibile osservare su uno schermo che la sua ombra si staglia piuttosto nitidamente. Questo indica che la propagazione della luce è rettilinea. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Cos’è la diffrazione Man mano che riduciamo le dimensioni del foro l’ombra “fisica” non corrisponderà più all’ombra “geometrica” del foro, ma si osserverà un’ombra fisica più grande di quella geometrica e la formazione di anelli chiari e scuri su un’area maggiore, tanto maggiore quanto più piccolo è il foro. La propagazione della luce quindi non è più rettilinea e presenta un fenomeno nuovo. Questo fenomeno si verifica ogni volta che un fascio luce incontra oggetti dalle dimensioni confrontabili con la sua lunghezza d’onda e prende il nome di DIFFRAZIONE. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Note storiche La prima descrizione accurata del fenomeno è riportata in un libro pubblicato nel 1665 dal frate gesuita Francesco Maria Grimaldi (16181663), fisico e astronomo bolognese, che introdusse il termine diffrazione. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Note storiche Christiaan Huygens* (16291695), il primo a proporre una teoria ondulatoria della luce, sembra fosse ignaro delle scoperte di Grimaldi, che altrimenti avrebbe citato a sostegno della sua teoria. * pronuncia Huigens, dove la g in olandese si pronuncia una via di mezzo fra ch e gh. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Note storiche Si occupa dell’interferenza anche Newton nel suo celebre trattato sull’ottica, trattando degli anelli che si formano intorno al punto di contatto fra una superficie piana e una sferica. Newton tratta il problema senza ricorrere alle onde, ipotizzando l’esistenza di lunghezze di facile riflessione e facile rifrazione. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Note storiche Fu solo nel 1818 che Augustin Fresnel* (1788 -1827) si accorse della possibilità di spiegare la diffrazione per mezzo di una teoria ondulatoria. Egli mostrò che il fenomeno poteva essere spiegato postulando l’interferenza fra le onde secondarie già ipotizzate da Huygens. * pronuncia Frenel Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Note storiche Nel 1882 l’analisi di Fresnel fu collegata alle equazioni di Maxwell da Gustav Kirchhoff (1824 -1887). Il principio di Huygens–Fresnel diviene quindi una formulazione approssimata della trattazione rigorosa basata sulle equazioni di Maxwell. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Note storiche I problemi di diffrazione sono fra i più difficili che si incontrino in ottica, pertanto, le soluzioni rigorose (non approssimate) sono relative a pochi e semplici casi. La prima soluzione matematicamente esatta per la diffrazione di un onda piana da un semipiano, fu data nel 1896 da Arnold Sommerfeld (1868 -1951). Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

La diffrazione Da allora sono state trovate le soluzioni esatte di un piccolo numero di problemi, principalmente in due dimensioni. Per le delle difficoltà matematiche nelle soluzioni esatte, i metodi approssimati sono di grande interesse pratico. Fra questi, il metodo di Huygens - Fresnel è di gran lunga il più adeguato per trattare la maggior parte dei problemi che incontriamo in ottica. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens - Fresnel Il principio di Huygens afferma che ogni punto di un fronte d’onda può essere considerato come il centro di emissione di un’onda sferica secondaria più piccola, e il fronte d’onda ad ogni istante successivo può essere considerato come l’inviluppo di queste onde secondarie. Università di Roma Tor Vergata ― La composizione di piccole onde parziali come è illustrata da Huygens nel suo Traité de la lumière. Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens- Fresnel La propagazione del fronte d’onda secondo il principio di Huygens - Fresnel Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Esempio di applicazione: la Rifrazione Il principio di Huygens – Fresnel permette di spiegare la rifrazione con la diversa velocità dell’onda nei due mezzi. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Rifrazione della luce v 1 = c/n 1 Interpretazione ondulatoria λ 1 = λ 0/n 1 λ 2 = λ 0/n 2 Un’onda piana passa dal mezzo 1 al mezzo 2, la frequenza dell’onda rimane inalterata mentre varia la velocità e quindi λ. L’indice di rifrazione del mezzo in generale dipende dalla frequenza (ovvero da λ) => n(λ), quindi la rifrazione avviene ad un angolo diverso per ciascun colore. Università di Roma Tor Vergata ― v 2 = c/n 2 Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Onde piane e onde sferiche Onda piana: si propaga in una direzione e i fronti d’onda sono piani (illimitati) ortogonali a questa direzio-ne, l’ampiezza è costante sui fronti d’onda durante la propagazione. In pratica si realizza se l’estensione del fronte d’onda piano è molto maggiore di λ e nella zona di spazio di interesse l’ampiezza si può considerare costante. Onda sferica: si propaga da una sorgente puntiforme (o sferica) in tutte le direzioni. I fronti d’onda sono sferici, l’ampiezza è uguale per ogni punto sul fronte d’onda e decresce come 1/r all’aumentare del raggio r del fronte d’onda (in modo che l’intensità totale è costante). Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens- Fresnel Nell’applicare il principio di Huygens alla rifrazione (o alla riflessione) non abbiamo tenuto conto esplicitamente della fase delle onde secondarie emesse. Fu Fresnel ad introdurre il contributo delle fasi nella somma delle onde secondarie riuscendo in tal modo a spiegare i fenomeni diffrattivi. Utilizzando la teoria di Fresnel uno scettico Poisson fece notare che alla distanza opportuna dietro un ostacolo circolare si sarebbe dovuto formare un punto luminoso (il punto di Poisson), punto che fu osservato sperimentalmente dallo stesso Frenel. Ciò confermò “definitivamente” la natura ondulatoria della luce. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens- Fresnel A seguito del lavoro di Kirchhoff il principio di Huygens-Frenel si può derivare dalle equazioni di Maxwell, e rispetto alla formulazione originale contiene alcune differenze significative, che risssumiamo semplificandole: 1)Il principio di H-F contiene la restrizione inutile che la superficie considerata sia un fronte d’onda: dalla formulazione di K si ricava che il principio è applicabile ad una qualsiasi superficie posta fra la (le) sorgente(i) e il punto in cui si vuole calcolare l’intensità. 2)La derivazione di Kirchhoff stabilisce che l’intensità dell’onda secondaria emessa vari con il coseno dell’angolo fra la direzione della normale alla superficie e quella in cui stiamo considerando la propagazione dell’onda secondaria. 3)La radiazione emessa nell’onda secondaria ha un anticipo di fase di ¼ di periodo Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens- Fresnel Dato un fronte d’onda al tempo t 0, per calcolare il valore dell’ampiezza di un’onda in un punto P al tempo t >t 0 dobbiamo sommare le ampiezze delle singole onde sferiche elementari prodotte da un fronte d’onda. La somma delle varie componenti ondose va fatta tenendo conto della differenza di fase con cui le onde giungono nel punto in cui si vuole calcolarne la risultante, differenza che dipende dal diverso cammino ottico che queste onde percorrono dal fronte d’onda che le ha generate fino al punto P. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens- Fresnel Detta somma può quindi dare come risultato un valore massimo, se i contributi portati dalle onde secondarie sono tutti in fase, o nullo, se le fasi sono tali che i contributi si elidono vicendevolmente. Questo fenomeno prende il nome di interferenza. In ottica le oscillazioni ondose sono molto veloci (la frequenza della luce è dell’ordine di 1015 Hz) quindi possiamo osservare solo il valore medio dell’intensità, proporzionale al quadrato dell’ampiezza del campo elettromagnetico. Vedremo quindi zone illuminate dove il campo oscilla fra massimo e minimo e zone scure dove il valore del campo è sempre nullo. Queste zone chiare e scure sono dette frange d’interferenza, e la loro presenza è una prova della natura ondulatoria della luce. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il principio di Huygens- Fresnel Si formano linee dei nodi (in nero), lungo le quali l’intensità e nulla, e linee dei ventri (in colore rosso) lungo le quali l’intensità è massima. Se interponiamo uno schermo possiamo osservare la formazione di frange chiare e scure. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione e interferenza Non c’è nessuna differenza fisica fra interferenza e diffrazione. Tuttavia in genere parleremo di • interferenza se stiamo sommando i contributi dovuti ad un numero discreto (finito) di onde; • diffrazione se stiamo sommando un numero infinito di contributi infinitesimi (quindi stiamo eseguendo un integrale) Esempio di diffrazione: si produce sempre, è visibile ogni volta che si illumina con luce monocromatica un oggetto che ha contorni netti, con definizione dell’ordine della lunghezza d’onda della luce (ago, piccolo foro a bordo netto, bordo di lametta, fenditura). Esempio di interferenza: due o più fenditure illuminate dalla stessa sorgente monocromatica, il reticolo di «diffrazione» , anelli di Newton, l’interferometro di Michelson Morley, gli specchi di Fresnel. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione di un ago Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione di Fraunhofer e di Fresnel Sviluppando i calcoli della teoria di Kirchhoff si ottiene uno sviluppo in serie nei termini a/d, dove (a) è la dimensione del foro e (d) è la più piccola delle distanze sorgente foro (d 1) o foro schermo (d 2). Si distinguono due casi, che assumono il nome di: 1. Diffrazione di FRAUNHOFER, se il termine quadratico dello sviluppo in serie è trascurabile, cioè a 2/d 2<<1. In altre parole si considera il limite per d che tende all’infinito o che l’onda sia approssimabile con un’onda piana. a d 2 d 1 Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione di Fraunhofer e diffrazione di Fresnel 2. Diffrazione di FRESNEL: il termine quadratico a 2/d 2 non è trascurabile (a 2/d 2≈1, la dimensione del foro è dell’ordine della distanza d, l’onda non è piana). In questa sede tratteremo solo la diffrazione di FRAUNHOFER, essendo quest’ultima notevolmente più semplice da trattare e da realizzare sperimentalmente. a d 1 Università di Roma Tor Vergata d 2 ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione da un bordo a) Distribuzione della intensità nei fenomeni di diffrazione prodotti da uno spigolo rettilineo. b) Fotografia dei fenomeni di diffrazione prodotti da uno spigolo rettilineo. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione da una fenditura Distribuzione dell’intensità delle frange di diffrazione prodotte da una fenditura stretta e lunga. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Calcolo elementare della posizione dei minimi di diffrazione Facendo riferimento alla figura a lato, calcoliamo la differenza di cammino ottico tra i due raggi passanti rispettivamente per O (centro della fenditura) e – A si ha: Quando questa differenza è pari a un numero intero di mezze lunghezze d’onda si ha interferenza distruttiva. Poiché lo stesso ragionamento si può fare per ogni coppia di raggi emessi dalla metà inferiore (–A, O) e superiore (O, A) della fenditura che partono da punti distanti b/2 sul fronte d’onda, la condizione sopra scritta vale per tutta la fenditura e determina la posizione angolare degli zeri dell’intensità. Università di Roma Tor Vergata ― A b O θ D θ -A Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Calcolo con il metodo dei Fasori • È piuttosto improbabile che si riesca ad arrivare al calcolo dei fenomeni di diffrazione ed interferenza. Tuttavia nel caso lo si volesse affrontare consiglio vivamente il metodo dei fasori, per il quale rimando – alla presentazione “Onde e pacchetti d’onda con il metodo dei fasori” dove sono descritti i fasori e i vantaggi del loro utilizzo – Al sito sottoindicato, dove è trattata con i fasori quasi tutta la teoria necessaria per i fenomeni che illustriamo in questo ppt. www. fisica. uniud. it/irdis/Ottica/Diffrazione_guida/Diffrazione. Guida. htm Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Coerenza delle sorgenti • L’esperienza precedente alla Yung è realizzabile con un ondoscopio, con due altoparlanti, ma non con due sorgenti ottiche: perchè? • Perchè due sorgenti ottiche non sono mai coerenti per tempi maggiori di 10 -8 s (al massimo 10 -5 s con dei laser): si ricordi che in ottica, date le frequenze in gioco, possiamo osservare solo i valori quadratici medi del fenomeno ondulatorio (l’energia media che fluisce per unità di superficie e di tempo, ovvero l’intensità) • Quindi per realizzare l’interferenza utilizziamo una singola sorgente il cui fronte d’onda è suddiviso in due o più fasci – per mezzo di due (o più) fenditure o di due (o più) specchi – per mezzo di uno specchio semiriflettente Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

L’interferenza gli specchi di Fresnel S S 1 S 2 Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Gli anelli di Newton Consideriamo le riflessioni nello spazio d fra due lastre di vetro, ad ogni riflessione c’è un’inversione di fase di λ/2. Le onde che proseguono verso destra sono quelle di indice pari, la differenza di cammino ottico è Per avere interferenza costruttiva la differenza di cammino deve essere un numero intero di lunghezze d’onda, da cui si ottiene Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Gli anelli di Newton Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Diffrazione da due fenditure Distribuzione della intensità (lungo un piano posto normalmente alla luce incidente) risultante da due fenditure strette lunghe e parallele. (d/b = 3, 5) Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Calcolo della posizione dei minimi e massimi di interferenza Ognuna delle due fenditure produrrà la sua figura di diffrazione; inoltre le due figure di diffrazione interferiranno fra loro. La differenza di cammino fra due zone corrispondenti delle fenditure è Quando questa differenza è pari a un numero dispari di mezze lunghezze d’onda si ha interferenza distruttiva, quando è uguale ad un numero pari l’interferenza è costruttiva. Quindi O b A θ d θ Con n intero. Più in generale si può dimostrare che l’intensità è modulata dall’interferenza per un fattore Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

d/b=2 Diffrazione da due fenditure in funzione del parametro distanza/larghezza distanza = d larghezza = b d/b=3 d/b=4 d/b=5 d/b=6 Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Intensità della figura di interferenza per 2, 4, 8, e moltissime sorgenti. La distanza relativa a delle sorgenti è mantenuta costante. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Immagini della figura di diffrazione per un numero crescente di fenditure di eguale larghezza e distanza (rappresentate alla sinistra della foto) Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il reticolo di diffrazione Se ora aggiungiamo la figura di diffrazione prodotta da ciascuna fenditura otteniamo il grafico dellintensità della figura che si ottiene nella realtà da un oggetto con molte fenditure equidistanti, che chiameremo reticolo di diffrazione. Qui a è la distanza fra le fenditure e b la larghezza di ciascuna fenditura. Distribuzione della intensità prodotta da un reticolo di diffrazione su un piano posto normalmente alla luce incidente e parallelo al reticolo. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il reticolo di diffrazione Poiché la larghezza di singola fenditura è molto piccola la figura di diffrazione è molto larga e potremo vedere solo la riga centrale non deviata e le righe a destra e a sinistra di questa, quelle per cui a·sinθ/λ=± 1 (primo ordine) o al massimo il secondo ordine, a meno che non sia praticamente coincidente con uno zero della figura di diffrazione (come nella figura riportata sotto). Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il reticolo di diffrazione Se scegliamo l’ordine a cui osservare (n nella formula) il reticolo trasmetterà lunghezze d’onda diverse ad angoli diversi, e ci permetterà quindi di costruire uno spettrometro. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Dispersione della luce Gli spettrometri a prisma furono presto soppiantati da quelli a reticolo di diffrazione perché: • la dispersione prodotta dal reticolo dipende dal numero di linee per unità di lunghezza, mentre in un prisma è funzione di n(λ) che deve essere determinata. La determinazione della lunghezza d’onda con il reticolo è quindi più precisa. • i reticoli hanno una migliore capacità di separare le componenti cromatiche (risoluzione) • Il prisma può analizzare solo lunghezze d’onda per cui è trasparente (es. vetro opaco UV) mentre costruendo i reticoli in riflessione non c’è questo limite Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Spettrometro a reticolo (in trasmissione) reticolo lente 2 fenditura lente 1 sorgente Università di Roma Tor Vergata ― schermo Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Spettrometro a reticolo (in trasmissione) in relazione alla figura precedente: üLa lente 1 convoglia la luce della sorgente sulla fenditura üLa lente 2 forma un fascio parallelo della luce uscente dalla fenditura üIl reticolo disperde la luce del primo e secondo ordine a seconda della lunghezza d’onda, mentre lascia un fascio indeviato al centro üLa lente 3 focalizza i fasci emergenti dal reticolo sullo schermo üNegli spettrometri reali si usano specchi al posto delle lenti perché sono acromatici (tutte le λ sono a fuoco) Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Spettrometro a reticolo (in riflessione) re t ic ol o Università di Roma Tor Vergata ― lente 2 fenditura lente 1 sorgente A differenza del reticolo in trasmissione, il reticolo in riflessione può essere realizzato in modo da essere molto più riflettente da un lato della “riga non deviata”, cioè riflessa dal reticolo come fosse uno specchio (vedi in figura). Quindi le righe dall’altro lato sono molto poco intense e lo spettro non è più simmetrico. lente 3 Riga non deviata schermo Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Composizione della luce Grazie agli spettrometri possiamo indagare sulla composizione della luce in funzione della lunghezza d’onda Lampada fluorescente Università di Roma Tor Vergata ― Luce solare Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Il colore della luce Sotto abbiamo riportato le temperature dei filamenti, ricavate a partire dalla resistenza, e le condizioni di esposizione della foto. T = 1060 K f = 5, 2 T =16 s T = 1530 K f = 5, 2 T = 1/8 s Università di Roma Tor Vergata ― T = 2159 K f = 5, 2 T = 1/500 s T = 2690 K f = 7, 2 T = 1/2000 s Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Lo spettro del corpo nero • Utilizziamo il parametro temperatura perché molti corpi, incluso il sole, emettono luce come un corpo nero ad una certa temperaura • Per esempio il sole ha una temperatura di 6000 Kelvin mentre le lampade ad incandescenza 3800 Kelvin Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Lo spettro del corpo nero La legge dello spostamento di Wien J∙s/m 2 m Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Lo spettro discreto • Nell’ 800 si scopri che lo spettro di quasi tutti gli elementi nelle lampade ad arco non era continuo ma discreto, così detto a “righe” • Esempio: lo spettro della lampada a vapori di mercurio Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica

Lo spettro discreto La ricerca del motivo degli spettri discreti e la ricerca della spiegazione dello spettro del corpo nero contribuirono alla nascita della fisica moderna. Università di Roma Tor Vergata ― Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica