IL PROBLEMA ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN
IL PROBLEMA
ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO
Matematicamente si può: u decidere u creare che tale calcolo non interessa un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire
Optiamo per la seconda ipotesi ok !
u Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. u Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. u Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unità immaginaria
si ha quindi per definizione 2 i = -1
l’unità immaginaria è un po’ “strana”
l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro
in un riferimento cartesiano ortogonale poniamo u sull’asse delle ascisse i numeri reali u sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i
Rappresentazione Geometrica P=(a, b) b a a
chiamiamo numero complesso un numero del tipo a+ib
con a e b numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso
è nato u un nuovo insieme di numeri complessi
Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo Complessi a+ib Reali a Immaginari bi
Diamo qualche definizione a+ib=c+id se e solo se a=c e b=d a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib complessi coniugati
Somma algebrica di numeri complessi (a+ib)+(c+id) (a+c)+(b+d)i
esempi (3+2 i)+(-5+7 i)=-2+9 i (-2 -4 i)+(-3+5 i)=-5+i (4+7 i)-(-2+5 i)=(4+7 i)+(2 -5 i)=6+2 i (1+2 i)+(1 -2 i)=2 ? ? ? ? (1+2 i)-(1 -2 i)=(1+2 i)+(-1+2 i)=4 i? ? ?
Prodotto di numeri complessi (a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi 2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i in particolare: (a+ib) (a-ib) = a 2 - b 2 i 2 = a 2 + b 2 Si però i fattori sono numeri complessi!!! Bella cosa……. . ! Nell’insieme dei numeri complessi la somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!
esempi (3+2 i) (4 -i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5 i (3+2 i) (3 -2 i) = 9 + 4 =13 somma di due quadrati
Reciproco di un numero complesso Si definisce reciproco del numero complesso c + id il numero complesso c - id_ c 2 + d 2 infatti il loro prodotto è uguale a 1
Quoziente di numeri complessi (a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id) = (a+ib) (c-id) c 2+d 2
esempio
RIASSUMIAMO quello che abbiamo imparato
Avevamo un problema l’abbiamo risolto =3 i introducendo i numeri immaginari abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali
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