Il problema dei paradossi nella storia della logica

Il problema dei paradossi nella storia della logica formale

Consideriamo la seguente situazione: Chi rade il barbiere ? Questo barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli

Usiamo gli insiemi … L’insieme che ha come elementi solo gli uomini che SI RADONO DA SOLI L’insieme che ha come elementi solo gli uomini che NON SI RADONO DA SOLI

Ricordiamo che: Questo barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli Insieme SE il barbiere si rade da solo … … ALLORA il barbiere appartiene ad e non può radersi; ma SE invece il barbiere non si rade da solo … QUINDI … … ALLORA il barbiere appartiene a e può radersi; A B … il barbiere si rade da solo se e solo se non si rade da solo … !!!

Paradosso del barbiere = antinomia di Russell (Bertrand Russell 1902) – antinomia = compresenza di due affermazioni contraddittorie (tesi e antitesi) che sono entrambe giustificate, ossia prodotte da un ragionamento corretto • p ↔ ┐p (p “se e solo se” non p) Tavola di verità del bicondizionale (o doppia implicazione): una doppia implicazione è vera solo quando antecedente e conseguente hanno il medesimo valore di verità. P V V F F Q V F P↔Q V F F V

Le antinomie non erano una novità: • il paradosso del mentitore, o di “Epimenide cretese” (scuola megarica, IV-III secolo a. C. ) – se affermo “io mento”, il mio enunciato è vero se e solo se è falso • il dilemma del coccodrillo (scuola stoica, IV-II secolo a. C. ) – un coccodrillo rapisce un bambino e la madre lo supplica di non divorarlo; il coccodrillo dice alla donna che gli restituirà il figlio solo se lei riuscirà a indovinare la sua reale intenzione di restituirlo o meno; la donna dice “tu non vuoi restituirmelo”, e il coccodrillo non sa più cosa fare perché – a questo punto - non può né tenere il bambino, né restituirlo senza entrare in contraddizione con se stesso … • le antinomie della cosmologia razionale (Kant, Critica della ragion pura, 1781) – i discorsi sul mondo sviluppati dalla riflessione metafisica danno luogo a coppie di affermazioni reciprocamente contraddittorie sulla verità delle quali non vi è modo di decidere: » il mondo ha un limite nel tempo e nello spazio / il mondo è infinito nel tempo e nello spazio » tutto nel mondo è fatto di elementi semplici / nulla è semplice, tutto è composto » ecc. .

NB: differenza tra “paradosso” e “antinomia” • le antinomie sono una sottoclasse dei paradossi, i quali sono affermazioni che vanno contro (“parà”) il senso comune (“doxa”); • ci sono quindi paradossi che non sono antinomie: – i cosiddetti paradossi del “sorite” (da “soros”, che vuol dire “mucchio”), anche detti paradossi dell’induzione » paradosso dei granelli di sabbia: un granello di sabbia non è un mucchio di sabbia; due granelli nemmeno; neanche tre … quanti granelli ci vogliono per dire che abbiamo un mucchio di sabbia? La differenza tra mucchio e non mucchio sta in un solo granello in più (o in meno)? !? » il Calvo: un uomo che ha perso un capello non è calvo; quando ha perso due capelli, ancora non è calvo; nemmeno quando ne ha persi tre … la differenza tra calvo e non calvo sta in un solo capello in meno (o in più)? !? – i sofismi, ossia ragionamenti falsi nella forma, ma di primo acchitto convincenti: » il Cornuto: tu possiedi tutto quello che non hai perduto; ma non hai perduto le corna; dunque sei cornuto.

• … ma l’antinomia di Russell fu una “bomba” perché emerse all’interno del logicismo: – tentativo di provare che a. tutta la matematica pura utilizza concetti definibili in termini di un numero piccolissimo di concetti logici fondamentali; b. tutte le proposizioni matematiche fondamentali sono deducibili da un numero piccolissimo di concetti logici di base. – – Peano, assiomatizzazione dell’aritmetica dei numeri naturali (1899) Hilbert, assiomatizzazione della geometria (1899) Frege, formalizzazione della logica (Ideografia, 1879) e riduzione dell’aritmetica alla logica (1893 -1903) Russell e Whitehead, riduzione della matematica alla logica e tentativo di soluzione delle antinomie (Principia Mathematica, 1910 -1913)

… ma perché il logicismo? • XIX secolo: scoperta delle geometrie non euclidee – Riemann e Lobačevskij (varianti del V postulato di Euclide) – postulati non veri rispetto allo spazio dell’esperienza ordinaria – come si può dimostrare la loro coerenza, ossia escludere che sia possibile dedurre da essi dei teoremi che si contraddicono tra di loro? • un insieme di assiomi è coerente se tutte le conclusioni da esso deducibili sono vere • poiché lo spazio descritto dai postulati euclidei coincide con l’esperienza ordinaria, nessuno si era mai chiesto prima se quei postulati fossero coerenti – come, in generale, si può dimostrare la mutua coerenza di qualunque insieme di assiomi, dato che non è possibile dedurre tutti i teoremi (sono infiniti) per verificarne la verità? • universalità e necessità vs probabilità -> il sogno di Leibniz…

• Costruzione di “modelli” (interpretazioni del mondo descritto dagli assiomi) – con un numero finito di elementi -> consentono di verificare la coerenza degli assiomi (veri rispetto al modello); – con un numero infinito di elementi (la maggior parte dei sistemi di assiomi a fondamento dei vari rami della matematica, ad esempio l’aritmetica elementare) -> consentono di osservare solo un numero limitato di elementi • Logicismo: se traduciamo tutti i concetti e le regole fondamentali che compaiono negli assiomi matematici in concetti e regole logiche, sarà possibile controllarne facilmente la coerenza. • L’antinomia di Russell emerse tentando di formulare in termini logici elementari la teoria delle classi infinite (insiemi) di Cantor (il concetto di “classe” appariva intuitivamente “chiaro” e “distinto”); l’antinomia ha la seguente forma: – vi sono classi che non contengono se stesse come elementi (esempio: la classe dei matematici); – vi sono classi che contengono se stesse come elementi (esempio: la classe dei concetti astratti); – la classe di tutte le classi che non contengono se stesse è o non è elemento di se stessa? (Il paradosso del barbiere …)

• L’antinomia di Russell era emersa nel cuore della logica, ossia proprio all’interno dello strumento che doveva risolvere il problema della coerenza degli assiomi.

La soluzione proposta da Russell: – – le antinomie nascono dall’autoriferimento (cfr. litografie di Escher) bisogna bandire gli “strani anelli” dalla logica, dalla teoria delle classi e dalla matematica • Consideriamo una versione “linguistica” del paradosso del barbiere (paradosso di Grelling): – chiamiamo autodescrittivo ogni aggettivo che descrive se stesso (“breve”, “esasillabico”, …) – chiamiamo eterodescrittivo ogni aggettivo che non descrive se stesso (“viola”, “commestibile”, … la maggior parte degli aggettivi) – l’aggettivo “eterodescrittivo” è eterodescrittivo?

– per evitare l’autoriferimento bisogna distinguere il livello dell’uso di un termine da quello della sua “menzione”: 1. Chicago è ventosa Ø Il termine è usato: livello del linguaggio-oggetto 2. “Chicago” è trisillaba Ø Il termine è menzionato, cioè nominato: livello metalinguistico • il metalinguaggio è un linguaggio “di secondo livello” che descrive un altro linguaggio preso come oggetto della descrizione • quando i due linguaggi coincidono (uso l’italiano per descrivere l’italiano), si distingue l’uso dalla menzione (segnalata dalle virgolette) • non ha senso chiedersi se “Chicago” è ventosa … • … come non ha senso chiedersi se “viola” è viola … • … e se “eterodescrittivo” è eterodescrittivo?

La teoria dei “tipi d’insiemi” • Secondo Russell e Whitehead, bisogna innanzitutto distinguere un livello base in cui si trovano solo “oggetti”, non insiemi; • segue quindi un primo livello superiore in cui si trovano insiemi “del tipo 1”: quelli che possono avere come elementi solo “oggetti” del livello più basso, non insiemi; • ad un ulteriore metalivello, possono essere formati insiemi “del tipo 2”, ossia insiemi che possono contenere come elementi o insiemi “del tipo 1” o “oggetti” del livello base; • ecc …. purché ogni insieme di qualsivoglia tipo successivo contenga come elementi SOLTANTO insiemi di un tipo inferiore al proprio oppure oggetti del livello base, e MAI se stesso o insiemi di tipo superiore al proprio. – La formazione di antinomie (“strani anelli”, o “gerarchie aggrovigliate”) viene bloccata con un procedimento normativo – una regola di produzione di “insiemi ben formati”.

• “eterodescrittivo” menziona se stesso (ad un meta-livello) come parola di un linguaggio oggetto, ma questo linguaggio-oggetto appare essere a sua volta un metalinguaggio: lo “strano anello” si crea perché non è chiaro a quale livello esso appartenga; • considerato come “oggetto” del livello base – cioè al di fuori dell’insieme definito dall’impiego metalinguistico del termine eterodescrittivo -, “eterodescrittivo” può essere – senza contraddizione autodescrittivo, così come il barbiere è un uomo che può radersi da solo.

Esempio di Tipo 3: l’insieme “Collaborazione euro-mediterranea”, i cui elementi sono l’insieme di tipo 2 “Unione Europea” e 16 insiemi “nazione” di tipo 1 che corrispondono a paesi extra-europei che affacciano sul Mediterraneo. Esempio di Tipo 2: l’insieme “Unione europea”, i cui elementi sono gli insiemi “nazione” che si possono formare, come sotto, secondo le varie cittadinanze europee. L’insieme “Unione europea” ha 27 elementi di tipo 1 (tante sono le nazioni europee). Esempio di Tipo 1: l’insieme “nazione Italia”, i cui elementi sono le persone che hanno la cittadinanza italiana; questo insieme ha 60 milioni di elementi di tipo 0 (tanti sono i cittadini italiani). Esempio di livello base – Tipo 0: le persone; ogni persona nel mondo è un oggetto di tipo 0; i puntini stanno per “e così via …”.

Un problema aperto • Trovate convincente la soluzione proposta da Russell e Whitehead? – paragonate questa nozione formale di insieme con quella intuitiva … • Pensate che abbia risolto i problemi del logicismo? • Il “sogno di Leibniz” è realizzabile? – e se sì, in che misura? … la storia, in realtà, continua (in una qualche prossima puntata!) Testi di riferimento • Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher e Bach: un’eterna ghirlanda brillante, 1979 (ed. it. Adelphi 1984) • E. Nagel e J. R. Newman, La prova di Gödel, 1958 (ed. it. Boringhieri 1974)