Il piano fattoriale a due fattori Esempio di

Il piano fattoriale a due fattori • Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie Temperatura (°F) Tipo di Materiale 1 2 3 15 130 Durata Batterie 70 155 34 125 40 20 70 74 180 80 75 82 58 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie? 2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata, indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al D temperatura)

Il piano fattoriale a due fattori • Piano completamente causalizzato 1 Fattore B 2 … Fattore A 1 2 … a Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk b

Il piano fattoriale a due fattori • Piano completamente causalizzato 1 Fattore B 2 Fattore A 1 2 … a Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti definiti come scarti dalla media generale: … b

Il piano fattoriale a due fattori • L’interesse è rivolto a valutare ipotesi sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e di interazione H 0 = Nessun Effetto H 1 = Presenza Effetto

Il piano fattoriale a due fattori

Il piano fattoriale a due fattori • La somma dei quadrati totale corretta può Riarrangiando essere scritta come: Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione tra i fattori A e B e all’errore:

Il piano fattoriale a due fattori • Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna somma dei quadrati è: I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.

Il piano fattoriale a due fattori • Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS) dato da (D. C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp. 74 -79): Termini pari a 0 solo in caso di validità dell’ipotesi nulla H 0, cioè in caso di assenza di effetti di riga, colonna e incrociati Dimostrazione esemplificativa

Il piano fattoriale a due fattori

Il piano fattoriale a due fattori • Per verificare la significatività di entrambi i fattori e della loro interazione è sufficiente dividere il corrispondente quadrato medio per il quadrato medio dell’errore. • Valori elevati di tale rapporto stanno ad indicare che i dati non confermano l’ipotesi nulla H 0 e che quindi vige l’ipotesi H 1

Il piano fattoriale a due fattori • Se i termini di errore eijk sono distribuiti normalmente ed indipendentemente con varianza costante s 2: Origine della variabilità Somma dei quadrati Gradi di libertà Media dei Quadrati F 0 A trattamenti SSA a-1 MSA= SSA/(a-1) MSA/MSE B trattamenti SSB b-1 MSB= SSB/(b-1) MSB/MSE Interazione SSAB (a-1)(b-1) MSAB= SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE Errore SSE ab(n-1) MSE= SSE/(ab(n-1)) Totale SST abn-1

Il piano fattoriale a due fattori • Le somme dei quadrati possono essere anche calcolate manualmente, comunque si suggerisce l’uso di un calcolatore SSSubtotali

Progettazione batteria

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