Il modello di duopolio di Bertrand prodotti differenziati

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) n Due imprese: impresa 1 e impresa 2. n Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto senza saper ciò che ha fatto l’altra. I prezzi sono indicati rispettivamente con p 1 e p 2, . n La quantità che i consumatori domandano all’impr. 1: q 1(p 1, p 2) = a – p 1 + bp 2. n La quantità che i consumatori domandano all’impr. 2: q 2(p 1, p 2) = a – p 2 + bp 1. n Il costo per l’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Ø Insieme strategie: S 1=[0, +∞), S 2=[0, +∞) Ø Funzioni di payoff: u 1(p 1, p 2)=(a – p 1 + bp 2 )(p 1 – c) u 2(p 1, p 2)=(a – p 2 + bp 1 )(p 2 – c) Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 2

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) n Ricerca dell’equilibrio di Nash: Ø Trovare la coppia di prezzi (p 1*, p 2*) tale che p 1* è la risposta ottima dell’impresa 1 al prezzo dell’impresa 2 p 2* e p 2* è la risposta ottima dell’impresa 2 al prezzo dell’impresa 1 p 1* Ø Quindi , p 1* risolve Max u 1(p 1, p 2*) = (a – p 1 + bp 2* )(p 1 – c) s. a 0 p 1 +∞ e p 2* risolve Max u 2(p 1*, p 2) = (a – p 2 + bp 1* )(p 2 – c) s. a 0 p 2 +∞ Teoria dei giochi - D'orio - I parte 3

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 1 Max u 1(p 1, p 2*) = (a – p 1 + bp 2* )(p 1 – c) s. a 0 p 1 +∞ FOC: a + c – 2 p 1 + bp 2* = 0 p 1 = (a + c + bp 2*)/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 4

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 2 Max u 2(p 1*, p 2)=(a – p 2 + bp 1* )(p 2 – c) s. to 0 p 2 +∞ FOC: a + c – 2 p 2 + bp 1* = 0 p 2 = (a + c + bp 1*)/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 5

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø La coppia di prezzi (p 1*, p 2*) è un equilibrio di Nash se: p 1* = (a + c + bp 2*)/2 p 2* = (a + c + bp 1*)/2 Ø Risolvendo le due equazioni troviamo che p 1* = p 2* = (a + c)/(2 –b) Teoria dei giochi - D'orio - I parte 6

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) n Due imprese: impresa 1 e impresa 2. n Ogni impresa sceglie il proprio prezzo senza conoscere le scelte altrui. I prezzi sono denotati rispettivamente con p 1 e p 2. n La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 1: q 1(p 1, p 2) = a – p 1 se p 1 < p 2 ; = (a – p 1)/2 se p 1 = p 2 ; =0, negli altri casi. n La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 2: q 2(p 1, p 2) = a – p 2 se p 2 < p 1 ; = (a – p 2)/2 se p 1 = p 2 ; =0, negli altri casi. n Il costo dell’impresa i per produrre qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 7

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) La rappresentsazione in forma normale: Ø Ø Ø Insieme dei giocatori: Insieme delle strategie: Funzioni di payoff: { impresa 1, impresa 2} S 1=[0, +∞), S 2=[0, +∞) Teoria dei giochi - D'orio - I parte 8

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: pm =( a + c )/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 9

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p 2 pm pm c c c pm Risposta ottima dell’impresa 1 al p 2 dell’impresa 2 p 1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte c pm p 1 Risposta ottima dell’impresa 2 al p 1 dell’impresa 1 10

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p 2 pm Equilibrio di Nash ( c, c ) c c pm Teoria dei giochi - D'orio - I parte p 1 11

Concorrere alle spese per i beni pubblici n Due individuo: persona 1 e persona 2. Persona 1 ha n n n una ricchezza di w 1 e persona 2 ha una ricchezza w 2, Ogni persona sceglie con quanto contribuire senza sapere ciò che fa l’altra. I contributi sono denotati rispettivamente da c 1 e c 2. L’ammontare di bene pubblico ottenuto sarà uguale alla somma dei contributi. Il payoff di Persona 1: u 1(c 1, c 2) = v 1(c 1 + c 2) + w 1 – c 1 Il payoff di Persona 2: u 2(c 1, c 2) = v 2(c 1 + c 2) + w 2 – c 2 v 1(c 1 + c 2) e v 2(c 1 + c 2) sono entrambi funzioni concave Teoria dei giochi - D'orio - I parte 12

Concorrere alle spese per i beni pubblici La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Persona 1, Persona 2} Ø Insieme delle strategie: S 1=[0, w 1], S 2=[0, w 2] Ø Funzione di payoff: u 1(c 1, c 2) = v 1(c 1 + c 2) + w 1 – c 1 u 2(c 1, c 2) = v 2(c 1 + c 2) + w 2 – c 2 Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 13

Concorrere alle spese per i beni pubblici n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø Trovare la coppia di contributi (c 1*, c 2*) tale che c 1* sia la risposta ottima di sig. 1 al contributo c 2* di sig. 2 e c 2* sia la risposta ottima di sig. 2 al contributo c 1* di sig. 1 Ø Quindi, c 1* risolve Max u 1(c 1, c 2*) = v 1(c 1 + c 2*) + w 1 – c 1 s. a 0 c 1 w 1 e c 2* risolve Max u 2(c 1*, c 2) = v 2(c 1* + c 2) + w 2 – c 2 s. a 0 c 2 w 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 14

Concorrere alle spese per i beni pubblici n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø Risolvere il problema di max della persona 1 Max u 1(c 1, c 2*) = v 1(c 1 + c 2*) + w 1 – c 1 s. a 0 c 1 w 1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 15

Concorrere alle spese per i beni pubblici n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø Risolvere il problema di max della persona 2 Max u 2(c 1*, c 2) = v 2(c 1* + c 2) + w 2 – c 2 s. a 0 c 2 w 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 16

Concorrere alle spese per i beni pubblici n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø La coppia di contributi (c 1*, c 2*) è un equilibrio di Nash se Teoria dei giochi - D'orio - I parte 17

Concorrere alle spese per i beni pubblici n Funzione di risposta ottima Ø Funzione risposta ottima persona 1 rispetto al contributo c 2: R 1(c 2) = r 1 – c 2 se c 2 < r 1; =0, se c 2 r 1 Ø Funzione risposta ottima persona 2 rispetto al contributo c 1: R 2(c 1) = r 2 – c 1 se c 1 < r 2 ; =0, se c 1 r 2 c 2 (r 1, 0) è un NE r 1 Assumendo che r 1 > r 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte r 2 r 1 c 1 18

Riassunto n Il modello di duopolio di Bertrand n I contributi ai beni pubblici n Prossimo argomento n L’equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'orio - I parte 19

Il problema dei beni comuni n n contadini in un paesino. Ogni estate, tutti i contadini pascolano n n n le capre nel campo comune del paesino. Sia gi il numero di capre possedute dal contadino i. Il costo d’acquisto e mantenimento di una capra è c, ed è indipendente dal numero di capre possedute. Il valore complessivo di tutti i greggi è v(G) per singolo gregge, dove G = g 1 + g 2 +. . . + gn C’è un numero massimo di capre (greggi) che si possono pascolare nel campo. Considerato ciò si ha che, v(G)>0 se G < Gmax, e v(G)=0 se G Gmax. Le assunzioni su v(G): v’(G) < 0 e v”(G) < 0. Ogni primavera viene deciso da tutti i contadini contemporaneamente quante capre comprare. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 20

Il problema dei beni comuni La rappresentazione in forma normale: Ø Insieme giocatori: { Contadino 1, . . . Contadino n} Insieme strategie: Si=[0, Gmax), per i=1, 2, . . . , n Ø Funzione di Payoff : ui(g 1, . . . , gn)=gi v(g 1 +. . . + gn) – c gi per i = 1, 2, . . . , n. Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 21

Il problema dei beni comuni n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø Trovare (g 1*, g 2*, . . . , gn*) tale che gi* sia la risposta ottima del contadino i alla scelta degli altri. Ø Ciò implica che g 1* risolve il problema seguente: Max u 1(g 1, g 2*, . . . , gn*)= g 1 v(g 1 + g 2*. . . + gn*) – c g 1 s. a 0 g 1 < Gmax Ø e g 2* risolve Max u 2(g 1*, g 2 , g 3*, . . . , gn*)= g 2 v(g 1*+g 2+g 3*+. . . + gn*)–cg 2 s. a 0 g 2 < Gmax ………. . e gn* risolve Max un(g 1*, . . . , gn-1*, gn)= gnv(g 1*+. . . + gn-1*+ gn)–cgn s. a 0 gn < Gmax Teoria dei giochi - D'orio - I parte 22

Il problema dei beni comuni n FOCs: Teoria dei giochi - D'orio - I parte 23

Il problema dei beni comuni n Ricerca dell’equilibrio di Nash Ø (g 1*, g 2*, . . . , gn*) è un equilibrio di Nash se Teoria dei giochi - D'orio - I parte 24

Il problema dei beni comuni n Sommando tutte le FOC dei singoli n contadini e quindi dividendo per n otteniamo Teoria dei giochi - D'orio - I parte 25

Il problema dei beni comuni n Il problema sociale Teoria dei giochi - D'orio - I parte 26

Il problema dei beni comuni Teoria dei giochi - D'orio - I parte 27

. . sulle strategie debolmente dominate Gioc. 2 Indipendenza dalla scelta altrui Gioc. 1 si” almeno tanto buono quanto si’, ma non sempre uguale. L R U 1 , 1 2 , 0 B 0 , 2 2 , 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 28

Matching pennies Player 2 Head Player 1 Head Tail -1 , Tail 1 1 , -1 -1 , 1 n Head è la risposta ottima di Player 1 alla strategia Tail di Player 2 n Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Tail di Player 1 n Tail è la risposta ottima di Player 1 alla strategia Head di Player 2 n Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Head di Player 1 Ø Quindi, NON c’è equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'orio - I parte 29

Risolvere Matching pennies Player 2 Head Player 1 Head Tail -1 , Tail 1 1 , -1 q 1 , -1 -1 , 1 r 1 -q n Rendete casuale la vostrategia per sorprendere il rivale Ø Player 1 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità r e 1 -r. Ø Player 2 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità q e 1 -q. n Strategie miste: Ø Specificano che una mossa sia scelta casualmente dall’insieme delle strategie pure con delle probabilità specifiche. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 30

Strategia mista n La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle sue strategie (pure). Ø Una strategia mista per Chris è una distribuzione di probabilità (p, 1 -p), dove p è laprobabilità di giocare Opera, e 1 -p è la probabilità di giocare Prize Fight (boxe). Ø Se p=1 allora Chris gioca sicuramente Opera. Se p=0 allora Chris gioca sicuramente Prize Fight. Battaglia dei sessi Pat Opera Chris Opera (p) Prize Fight (1 -p) 2 , 0 Prize Fight 1 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 31

Risolvere matching pennies Player 2 Head Player 1 Head Tail -1 , Tail 1 1 , -1 q Payoffs attesi 1 , -1 -1 , 1 r 1 -2 q 1 -r 2 q-1 1 -q n I payoffs attesi dal giocatore 1 sono: Ø Se Player 1 sceglie Head, -q+(1 -q)=1 -2 q Ø Se Player 1 sceglie Tail, q-(1 -q)=2 q-1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 32

Risolvere matching pennies Player 2 Head Player 1 Head Tail -1 , Payoffs attesi Tail 1 1 , -1 -1 , q 1 r 1 -2 q 1 -r 2 q-1 1 -q n La risposta ottima di Player 1 1 r B 1(q): Ø Ø Ø Per q<0. 5, Head (r=1) Per q>0. 5, Tail (r=0) Per q=0. 5, indifferente (0 r 1) 1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1 q 33

Risolvere matching pennies Player 2 Head Player 1 Head Tail Payoffs attesi -1 , Payoffs attesi Tail 1 1 , -1 q 2 r-1 1 , -1 -1 , 1 r 1 -2 q 1 -r 2 q-1 1 -q 1 -2 r n I payoffs attesi dal giocatore 2 sono Ø se Player 2 sceglie Head, r-(1 -r)=2 r-1 Ø se Player 2 sceglie Tail, -r+(1 -r)=1 -2 r Teoria dei giochi - D'orio - I parte 34

Solving matching pennies Player 2 Head Player 1 Head Tail Payoffs attesi -1 , Payoffs attesi Tail 1 1 , -1 -1 , q 2 r-1 1 Ø Ø Ø Per r<0. 5, Tail (q=0) Per r>0. 5, Head (q=1) Per r=0. 5, indifferente (0 q 1) 1 -2 q 1 -r 2 q-1 1 -q 1 -2 r 1 n Risposta ottima di Player 2 B 2(r): r r 1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1/2 1 q 35

Risolvere matching pennies Player 2 n Risposta ottima Player 1 Head B 1(q): Ø Ø Ø Per q<0. 5, Head (r=1) Player 1 Per q>0. 5, Tail (r=0) Per q=0. 5, indifferente (0 r 1) -1 , Head Tail 1 1 , -1 Tail 1 , -1 -1 , q n Risposta ottima Player 2 Ø Ø Per r<0. 5, Tail (q=0) Per r>0. 5, Head (q=1) Per r=0. 5, indifferente (0 q 1) 1 ü Controllo r = 0. 5 B 1(0. 5) q = 0. 5 B 2(0. 5) 1 -r 1 -q B 2(r): Ø 1 r Equilibrio di Nash in strategie miste r 1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1 q 36

Riassunto n Il problema dei beni comuni n Strategie miste n Soluzione di matching pennies n Prossimo argomento n Equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'orio - I parte 37

Strategia mista n Strategia mista: Ø La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle strategie (pure) del giocatore stesso. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 38

Strategia mista: esempio n Matching pennies n Player 1 ha due strategie pure: H e T ( 1(H)=0. 5, 1(T)=0. 5 ) è una strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0. 5 e 0. 5. ( 1(H)=0. 3, 1(T)=0. 7 ) è un’altra strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0. 3 e 0. 7. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 39

Strategia mista: esempio Player 2 L (0) Player 1 C (1/3) R (2/3) T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3 B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7 n Player 1: Ø (3/4, 0, ¼) è una strategia mista. Ciò implica, 1(T)=3/4, 1(M)=0 e 1(B)=1/4. n Player 2: Ø (0, 1/3, 2/3) è una strategia mista. Ciò implica, 2(L)=0, 2(C)=1/3 e 2(R)=2/3. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 40

Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie Player 2 Player 1 s 21 ( q ) s 22 ( 1 - q ) s 11 ( r ) u 1(s 11, s 21), u 2(s 11, s 21) u 1(s 11, s 22), u 2(s 11, s 22) s 12 (1 - r ) u 1(s 12, s 21), u 2(s 12, s 21) u 1(s 12, s 22), u 2(s 12, s 22) n Player 1 gioca una strategia mista (r, 1 - r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1 - q ). Ø Ø Ø Il payoff atteso di Player 1 giocando s 11 è: EU 1(s 11, (q, 1 -q))=q×u 1(s 11, s 21)+(1 -q)×u 1(s 11, s 22) Il payoff atteso di Player 1 giocando s 12 è: EU 1(s 12, (q, 1 -q))= q×u 1(s 12, s 21)+(1 -q)×u 1(s 12, s 22) n Quindi il payoff atteso di Player 1, data la strategia mista è : v 1((r, 1 -r), (q, 1 -q))=r EU 1(s 11, (q, 1 -q))+(1 -r) EU 1(s 12, (q, 1 -q)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte 41

Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie Player 2 Player 1 s 21 ( q ) s 22 ( 1 - q ) s 11 ( r ) u 1(s 11, s 21), u 2(s 11, s 21) u 1(s 11, s 22), u 2(s 11, s 22) s 12 (1 - r ) u 1(s 12, s 21), u 2(s 12, s 21) u 1(s 12, s 22), u 2(s 12, s 22) n Player 1 gioca una strategia mista (r, 1 - r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1 - q ). Ø Il payoff atteso di Player 2 giocando s 21 è: EU 2(s 21, (r, 1 -r))=r×u 2(s 11, s 21)+(1 -r)×u 2(s 12, s 21) Ø Il payoff atteso di Player 2 giocando s 22 è: EU 2(s 22, (r, 1 -r))= r×u 2(s 11, s 22)+(1 -r)×u 2(s 12, s 22) n Quindi il payoff atteso di Player 2, data la strategia mista è : v 2((r, 1 -r), (q, 1 -q))=q EU 2(s 21, (r, 1 -r))+(1 -q) EU 2(s 22, (r, 1 -r)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte 42

Esempio di payoff attesi Player 2 H (0. 3) Player 1 H (0. 4) T (0. 6) -1 , T (0. 7) 1 1 , -1 -1 , 1 n Player 1: Ø Ø Ø EU 1(H, (0. 3, 0. 7)) = 0. 3×(-1) + 0. 7× 1=0. 4 EU 1(T, (0. 3, 0. 7)) = 0. 3× 1 + 0. 7×(-1)=-0. 4 v 1((0. 4, 0. 6), (0. 3, 0. 7))=0. 4+0. 6 (-0. 4)=-0. 08 n Player 2: Ø Ø Ø EU 2(H, (0. 4, 0. 6)) = 0. 4× 1+0. 6×(-1) = -0. 2 EU 2(T, (0. 4, 0. 6)) = 0. 4×(-1)+0. 6× 1 = 0. 2 v 2((0. 4, 0. 6), (0. 3, 0. 7))=0. 3×(-0. 2)+0. 7× 0. 2=0. 08 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 43

Esempio di payoff attesi Player 2 L (0) Player 1 C (1/3) R (2/3) T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3 B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7 n Strategie miste: p 1=( 3/4, 0, ¼ ); p 2=( 0, 1/3, 2/3 ). n Player 1: Ø EU 1(T, p 2)=3 (1/3)+1 (2/3)=5/3, EU 1(M, p 2)=0 (1/3)+2 (2/3)=4/3 EU 1(B, p 2)=5 (1/3)+0 (2/3)=5/3. v 1(p 1, p 2) = 5/3 n Player 2: Ø EU 2(L, p 1)=2 (3/4)+4 (1/4)=5/2, EU 2(C, p 1)=3 (3/4)+3 (1/4)=5/2, EU 2(R, p 1)=1 (3/4)+7 (1/4)=5/2. v 1(p 1, p 2) = 5/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 44

Equilibrio in strategie miste n Equilibrio in strategie miste Ø Una distribuzione di probabilità per ciascun giocatore Ø Considerando le distribuzioni di probabilità nei payoff dei giocatori esse sono risposte ottime mutuali. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 45

Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie pure. Player 2 Player 1 s 21 ( q ) s 22 ( 1 - q ) s 11 ( r ) u 1(s 11, s 21), u 2(s 11, s 21) u 1(s 11, s 22), u 2(s 11, s 22) s 12 (1 - r ) u 1(s 12, s 21), u 2(s 12, s 21) u 1(s 12, s 22), u 2(s 12, s 22) n Equilibrio di Nash in strategie miste: n Una coppia di strategie miste ((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) è un equilibrio di Nash se (r*, 1 -r*) è una risposta ottima a (q*, 1 -q*), e (q*, 1 -q*) è una risposta ottima a (r*, 1 -r*). Ciò significa, v 1((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) v 1((r, 1 -r), (q*, 1 -q*)), per ogni 0 r 1 v 2((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) v 2((r*, 1 -r*), (q, 1 -q)), per ogni 0 q 1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 46

Ricerca dell’equilibrio in strategie miste di un gioco a 2 giocatori ognuno dei quali ha 2 strategie n Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 1 data la strategia mista del giocatore 2 n Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 2 data la strategia mista del giocatore 1 n Utilizzate queste due corrispondenze per determinare l’equilibrio di Nash in strategie miste. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 47

Controllare i dipendenti…. n I dipendenti possono lavorare (W) o defilarsi (S) n n Salario: $100 K a meno che colti senza far niente Costo dello sforzo: $50 K n I manager possono monitorare o no n n n Valore del prodotto del dipendente: $200 K Profitto se i dipendenti non lavorano: $0 Costo del monitoraggio: $10 K Teoria dei giochi - D'orio - I parte 48

Controllare i dipendenti… Manager Monitor ( q ) Non Monitor (1 -q) Dipend. W(r) 50 , S (1 -r ) 0 Payoff attesi 90 , -10 100 r-10 50 , 100 , -100 Payoff attesi 50 100(1 -q) 200 r-100 n La risposta ottima del dipendente B 1(q): Ø Defilarsi(S) (r=0) se q<0. 5 Ø Ø Lavorare (W) (r=1) se q>0. 5 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=0. 5 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 49

Controllare i dipendenti… Manager Monitor ( q ) Non Monitor (1 -q) Dipend. W(r) 50 , S (1 -r ) 0 Payoffs attesi 90 , -10 50 , 100 , -100 100 r-10 Payoffs attesi 50 100(1 -q) 200 r-100 n La risposta ottima dei manager B 2(r): Ø Monitor (q=1) if r<0. 9 Ø Ø Non Monitor (q=0) if r>0. 9 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=0. 9 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 50

Controllare i dipendenti… n Risposta ottima dei dipendenti B 1(q): S (r=0) se q<0. 5 Ø W (r=1) se q>0. 5 Ø Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=0. 5 n Risposta ottima dei manager B 2(r): Ø Monitor (q=1) se r<0. 9 Ø Non Monitor (q=0) se r>0. 9 Ø Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=0. 9 Ø Equilibrio di Nash in strategie miste ((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) 1 0. 9 r 0. 5 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1 q 51

2 giocatori ognuno con 2 strategie Player 2 Player 1 s 21 ( q ) s 22 ( 1 - q ) s 11 ( r ) u 1(s 11, s 21), u 2(s 11, s 21) u 1(s 11, s 22), u 2(s 11, s 22) s 12 (1 - r ) u 1(s 12, s 21), u 2(s 12, s 21) u 1(s 12, s 22), u 2(s 12, s 22) n Teorema 1 (proprietà dell’equilibrio di Nash in strategie miste) n Una coppia di strategie miste ((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se v 1((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) v 2((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) EU 1(s 11, (q*, 1 -q*)) EU 1(s 12, (q*, 1 -q*)) EU 2(s 21, (r*, 1 -r*)) EU 2(s 22, (r*, 1 -r*)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte 52

Riassunto n Strategie miste n Equilibrio di Nash in strategie miste n Prossimo argomento n Equilibrio di Nash in strategie miste n Utilizzo dell’indifferenza per la ricerca del MNE (Equilibrio di Nash in strategie Miste). Teoria dei giochi - D'orio - I parte 53

Battaglia dei sessi Pat Opera (q) Chris Opera ( r ) Prize Fight (1 -r) 2 , 0 Prize Fight (1 -q) 1 0 , 0 1 , 2 n Payoff atteso di Chris giocando Opera: 2 q n Payoff atteso di Chris giocando Prize Fight: 1 -q n Risposta ottima di Chris B 1(q): Ø Ø Ø Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) se q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=1/3 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 54

Battaglia dei sessi Pat Opera (q) Chris Opera ( r ) Prize Fight (1 -r) 2 , 0 Prize Fight (1 -q) 1 0 , 0 1 , 2 n Payoff atteso di Pat giocando Opera : r n Payoff atteso di Pat giocando Prize Fight: 2(1 -r) n La risposta ottima di B 2(r): Ø Ø Ø Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=2/3, Teoria dei giochi - D'orio - I parte 55

Battaglia dei sessi n Risposta ottima di Chris B 1(q): Ø Ø Ø TRE equilibri di Nash: Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) if q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=1/3 ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1)) ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) n Risposta ottima di Pat B 2(r): Ø Ø Ø Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=2/3 1 r 2/3 1/3 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1 q 56

Teorema 1: applicazione Matching pennies Player 2 H (0. 5) Player 1 H (0. 5) T (0. 5) -1 , T (0. 5) 1 1 , -1 -1 , 1 n Player 1: EU 1(H, (0. 5, 0. 5)) = 0. 5×(-1) + 0. 5× 1=0 Ø EU 1(T, (0. 5, 0. 5)) = 0. 5× 1 + 0. 5×(-1)=0 Ø v 1((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5))=0. 5 0+0. 5 0=0 n Player 2: Ø EU 2(H, (0. 5, 0. 5)) = 0. 5× 1+0. 5×(-1) =0 Ø EU 2(T, (0. 5, 0. 5)) = 0. 5×(-1)+0. 5× 1 = 0 Ø v 2((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5))=0. 5× 0+0. 5× 0=0 Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 57

Teorema 1: applicazione Matching pennies Player 2 H (0. 5) Player 1 H (0. 5) T (0. 5) -1 , T (0. 5) 1 1 , -1 -1 , 1 n Player 1: v 1((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5)) EU 1(H, (0. 5, 0. 5)) Ø v 1((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5)) EU 1(T, (0. 5, 0. 5)) n Player 2: Ø v 2((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5)) EU 2(H, (0. 5, 0. 5)) Ø v 2((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5)) EU 2(T, (0. 5, 0. 5)) Ø n Quindi, ((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per l’enunciato del Teorema 1. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 58

Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0. 5) Dipend. W (0. 9) 50 , S (0. 1) 0 Non Monitor (0. 5) 90 , -10 50 , 100 , -100 n Payoff atteso dei dipendenti giocando “W (lavoro)” EU 1(W, (0. 5, 0. 5)) = 0. 5× 50 + 0. 5× 50=50 n Payoff atteso dei dipendenti giocando “S (defilarsi)” Ø EU 1(S, (0. 5, 0. 5)) = 0. 5× 0 + 0. 5× 100=50 n Payoff atteso di questa strategia mista per i dipendenti Ø v 1((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5))=0. 9 50+0. 1 50=50 Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 59

Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0. 5) Dipend. W (0. 9) 50 , S (0. 1) 0 Non Monitor (0. 5) 90 , -10 50 , 100 , -100 n Payoff atteso dei manager giocando“Monitor” EU 2(Monitor, (0. 9, 0. 1)) = 0. 9× 90+0. 1×(-10) =80 n Payoff atteso dei manager giocando“Non Monitor” Ø EU 2(Not, (0. 9, 0. 1)) = 0. 9× 100+0. 1×(-100) = 80 n Payoff atteso di questa strategia mista per i manager Ø v 2((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5))=0. 5× 80+0. 5× 80=80 Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 60

Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Dipend. W (0. 9) S (0. 1) Manager Monitor (0. 5) 50 , 90 0 , -10 No Monitor (0. 5) 50 , 100 , -100 n Dipendenti v 1((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) EU 1(W, (0. 5, 0. 5)) Ø v 1((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) EU 1(S, (0. 5, 0. 5)) n Manager Ø v 2((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) EU 2(Monitor, (0. 9, 0. 1)) Ø v 2((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) EU 2(Not, (0. 9, 0. 1)) n Quindi, ((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per il Teorema 1. Ø Teoria dei giochi - D'orio - I parte 61

Teorema 1: applicazione Battaglia dei sessi Pat Opera (1/3) Chris Opera (2/3 ) Prize Fight (1/3) 2 , 0 Prize Fight (2/3) 1 0 , 0 1 , 2 n Usate il teorema 1 per controllare se ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) è un MNE. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 62

Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Player 2 Player 1 s 21 ( q ) s 22 ( 1 - q ) s 11 ( r ) u 1(s 11, s 21), u 2(s 11, s 21) u 1(s 11, s 22), u 2(s 11, s 22) s 12 (1 - r ) u 1(s 12, s 21), u 2(s 12, s 21) u 1(s 12, s 22), u 2(s 12, s 22) n Teorema 2 Sia ((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) una coppia di strategie miste, dove 0 <r*<1, 0<q*<1. Allora ((r*, 1 -r*), (q*, 1 -q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se EU 1(s 11, (q*, 1 -q*)) = EU 1(s 12, (q*, 1 -q*)) EU 2(s 21, (r*, 1 -r*)) = EU 2(s 22, (r*, 1 -r*)) n Ciò significa che ogni giocatore, nell’equilibrio, è indifferente tra le due proprie strategie. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 63

Utilizzo dell’indifferenza per trovare l’ Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie n Usate il Teorema 2 per trovare MNE n Risolvete n EU 1(s 11, (q*, 1 -q*)) = EU 1(s 12, (q*, 1 -q*)) n Risolvete n EU 2(s 21, (r*, 1 -r*)) = EU 2(s 22, (r*, 1 -r*)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte 64

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Matching pennies Player 2 H (q) Player 1 H (r) T ( 1–r ) -1 , T ( 1–q ) 1 1 , -1 -1 , 1 n Il Player 1 è indifferente fra giocare Head e Tail se: Ø EU 1(H, (q, 1–q)) = q×(-1) + (1–q)× 1=1– 2 q Ø EU 1(T, (q, 1–q)) = q× 1 + ×(1–q) (-1)=2 q– 1 Ø EU 1(H, (q, 1–q)) = EU 1(T, (q, 1–q)) 1– 2 q = 2 q– 1 4 q = 2 Ciò indica la probabilità q = 1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 65

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Matching pennies Player 2 H (q) Player 1 H (r) T ( 1–r ) -1 , T ( 1–q ) 1 1 , -1 -1 , 1 Il Player 2 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU 2(H, (r, 1–r)) = r × 1+(1–r)×(-1) =2 r – 1 Ø EU 2(T, (r, 1–r)) = r×(-1)+(1–r)× 1 = 1 – 2 r Ø EU 2(H, (r, 1–r)) = EU 2(T, (r, 1–r)) 2 r – 1= 1 – 2 r 4 r = 2 Ciò indica la probabilità r = 1/2 Ø Quindi, ((0. 5, 0. 5), (0. 5, 0. 5)) è giochi un MNE per l’enunciato del Teoria dei - D'orio - I parte Teorema 2. 66

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor ( q ) Dipend. W (r) 50 , S (1–r) 0 Non Monitor (1–q ) 90 , -10 50 , 100 , -100 n Payoff atteso dai dipendenti giocando “W” (lavoro) Ø EU 1(Work, (q, 1–q)) = q× 50 + (1–q)× 50=50 n Payoff atteso dai dipendenti giocando “S” (defilarsi) Ø EU 1(Shirk, (q, 1–q)) = q× 0 + (1–q)× 100=100(1–q) n Il dipendente è indifferente se giocare W o giocare S se: Ø Ø 50=100(1–q) q=1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte 67

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor ( q ) Dipend. W (r) 50 , S (1–r) 0 Non Monitor (1–q ) 90 , -10 50 , 100 , -100 n Payoff atteso dai manager giocando“Monitor” Ø EU 2(Monitor, (r, 1–r)) = r× 90+(1–r)×(-10) =100 r– 10 n Payoff atteso dai manager giocando“Non MOnitor” Ø EU 2(Not, (r, 1–r)) = r× 100+(1–r)×(-100) =200 r– 100 n Il Manager è indifferente fra giocare Monitor e Non Monitor se 100 r– 10 =200 r– 100 e ciò implica che r=0. 9. n Quindi, ((0. 9, 0. 1), (0. 5, 0. 5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2. Teoria dei giochi - D'orio - I parte 68

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Battaglia dei sessi Pat Opera (q) Chris Opera ( r ) Prize Fight (1 -r) 2 , 0 Prize Fight (1 -q) 1 0 , 0 1 , 2 n Usate il Teorema 2 per trovare il MNE Teoria dei giochi - D'orio - I parte 69

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Esempio Player 2 L (q) Player 1 T (r) 6 , B (1 -r) 3 R (1 -q) 4 2 , 6 , 3 6 , 1 n Usate il Teorema 2 per trovare il MNE Teoria dei giochi - D'orio - I parte 70

Riassunto n Strategie miste n MNE n Ricerca del MNE con l’utilizzo dell’indifferenza n Prossimo argomento n Gioco a due giocatori ognuno con un numero di strategie finite Teoria dei giochi - D'orio - I parte 71