Il calcolo infinitesimale Una teoria inventata due volte

Il calcolo infinitesimale Una teoria inventata due volte

Prima invenzione: 1666 L’università di Cambridge viene chiusa per la peste. Newton torna alla sua casa natale a Woolsthorpe nel Lincolnshire. Scopre la gravitazione universale e inventa il calcolo infinitesimale. Nel 1671 scrive il Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum, che però verrà pubblicato solo nel 1736.

Seconda invenzione: 1672 -75 Durante il suo soggiorno a Parigi, Leibniz getta le basi del calcolo differenziale.

L’atto di nascita: 1684 Leibniz pubblica sugli Acta Eruditorum un articolo dal titolo Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus.

Alle origini del calcolo

Curve come equazioni: Potrei riportare qui parecchi altri modi per tracciare e concepire curve sempre più complesse. Per comprendere però insieme quelle che si danno in natura e suddividerle ordinatamente in classi, non conosco nulla di meglio che dire che tutti i punti delle curve chiamo geometriche (cioè che dipendono da misure precise ed esatte) hanno necessariamente a tutti i punti di una retta una relazione che può essere espressa per mezzo di una singola equazione.

Il problema delle tangenti Per questo penserò di aver messo qui tutto quanto è necessario per gli elementi delle linee curve, quando avrò dato in generale il modo di tirare delle rette che cadano ad angolo retto su un loro punto arbitrario. E oso dire che questo è il problema più utile e più generale, non solo che io sappia, ma anche io abbia mai desiderato di sapere in geometria.

Il metodo di Fermat Si scrive la proprietà caratteristica della curva per i punti sulla tangente. Si trascurano tutti i termini che non contengono a né e, perché si annullano per l’equazione della curva. Si trascurano tutti i termini che contengono potenze di a o e o il prodotto ae, perché alla fine si annullano. Da quello che resta si ricava il rapporto a/e, che è uguale a t/y. F(x+a, y+e) ≈ 0 e A a y x T t B F(x, y)=0

Esempio: la parabola 2 +a 2 2+ 2 ax (x+a) x e= y+ y=x 2 e x t a y

Il problema è risolto? Si trascurano [nell’adequazione F(x+a, y+e) ≈ 0] tutti i termini che contengono potenze di a o di e o il prodotto ae, perché alla fine si annullano. Ma che succede se l’equazione della curva è

Il calcolo secondo Leibniz dy A dx y x T t B F(x, y)=0

Il calcolo secondo Leibniz 1. Se a è una quantità costante, da=0 e d(ax)=a dx 2. d(z–y+w+x)=dz–dy+dw+dx, 3. d(xy)=y dx+x dy 4.

Il calcolo secondo Leibniz d(xy) = (x+dx)(y+dy) - xy = xdy + ydx + dxdy d(xy) = xdy + ydx dx 2 = d(xx) = xdx + xdx = 2 xdx dx 3 = d(xx 2) = xdx 2 + x 2 dx = 3 x 2 dx dxn = n xn-1 dx

Il calcolo secondo Leibniz x=zn dx = n zn-1 dz =

Il calcolo secondo Leibniz Proposta quindi una qualsiasi equazione si può scrivere la sua equazione differenziale in questo modo: Per un qualsiasi termine che appare con la sola addizione o sottrazione, si sostituisce semplicemente il suo differenziale. Per un’altra quantità che non è un termine completo, ma concorre a formare un termine, si utilizza il suo differenziale non semplicemente, ma secondo le regole appena viste.

Il calcolo secondo Leibniz I metodi fin qui pubblicati non hanno questo passaggio; infatti usano per lo più segmenti come DA o simili, e non il segmento dy, quarto proportionale dopo DA, AP, e dx, il che perturba tutto. Di qui viene che prima si debbano eliminare le quantità fratte e irrazionali che contengono le variabili.

Il calcolo secondo Leibniz

Il calcolo secondo Leibniz Il problema diretto delle tangenti: Data l’equazione di una curva, trovarne l’equazione differenziale. Il problema inverso delle tangenti: Data l’equazione differenziale di una curva, trovarne l’equazione.

Il metodo cinematico Assioma, o principio di invenzione La direzione del movimento di un punto che descrive una linea curva è tangente a questa curva in ogni posizione del punto. Per mezzo delle proprietà specifiche della curva (che sono date) esaminate i diversi movimenti a cui è soggetto il punto che la descrive nel luogo dove volete tirare la tangente: di tutti questi movimenti componetene uno solo, tirate la retta secondo la direzione del movimento composto; avrete così la tangente alla curva.

Esempio: la cicloide La cicloide è generata da una circonferenza che si muove orizzontalmente e allo stesso tempo ruota attorno al suo centro con la stessa velocità.

Il calcolo secondo Newton Considero le quantità matematiche non come costituite da parti infinitamente piccole ma come descritte da un moto continuo. Chiamerò Fluenti queste quantità che considero come variabili per gradi, e le indicherò con le ultime lettere dell’alfabeto u, x, y, z. E le velocità con le quali le fluenti variano le chiamerò Flussioni e le esprimerò con le stesse lettere con un punto, come

Il calcolo secondo Newton

Il calcolo secondo Newton Ma Newton ha una marcia in più: gli sviluppi in serie. Nicolaus Mercator, Logarithmotechnia

Il calcolo secondo Newton 2 a=1 a 2+2 b=0 c+ab=0 2 d+2 ac+b 2=0. . .

Il calcolo secondo Newton {

La disputa sull’invenzione del calcolo. 1666 Newton inventa il metodo delle flussioni. 1676 In due lettere indirizzate a Oldenburg perché siano comunicate a Leibniz, Newton spiega il suo metodo delle serie. L’anagramma “ 6 accdæ 13 eff 7 i 3 l 9 n 4 o 4 qrr 4 s 9 t 12 vx”, che si traduce: “Data æquatione quotcumque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire et viceversa” lega questo metodo alle flussioni. 1672 -75 Leibniz trova I fondamenti del calcolo differenziale. 1684 Leibniz pubblica la “Nova methodus”.

La disputa sull’invenzione del calcolo. 1699 Nel suo articolo Lineae brevissimi descensus investigatio geometrica duplex Nicolas Fatio de Duillier accusa Leibniz d’aver preso il suo calcolo da Newton. Leibniz protesta con la Royal Society, il cui segretario Sloane censura Fatio. 1703 Cheyne pubblica la Methodus fluxionum inversa, che termina con la frase : « Quando rifletto su tutte queste scoperte del grande Newton, non posso fare a meno di dichiarare che tutto quanto è stato publlicato negli ultimi ventiquattro anni su questo argomento non è che una ripetizione o un facile corollario di quello che Newton molto tempo prima aveva comunicato ai suoi amici e al pubblico » .

La disputa sull’invenzione del calcolo. 1704 Newton pubblica l’Opticks con in appendice il Tractatus de quadratura curvarum, che contiene il metodo delle flussioni. 1705 In una recensione del Tractatus, publicata anonima sugli Acta Eruditorum, Leibniz scrive : “Pro differentiis igitur Leibnitianis Dn. Newtonus adhibet, semperque adhibuit, fluxiones, quae sint quam proxime ut fluentium augmenta aequalibus temporis particulis quam minimis genita; iisque tum in suis Principiis Naturae Mathematicis, tum in aliis postea editis eleganter est usus, quemadmodum & Honoratus Fabrius in sua Synopsi geometrica motuum progressus Cavallerianae Methodo substituit”. .

La disputa sull’invenzione del calcolo. 1710 John Keill pubblica sulle Philosophical Transactions un articolo sulle forze centrali, in cui accusa Leibniz di plagio. 1711 Leibniz protesta con il segretario della Royal Society et chiede che Keill sia invitato a rettificare le sue affermazioni. In seguito alla risposta ambigua di Keill, Leibniz chiede un intervento di Newton, presidente della Royal Society.

La disputa sull’invenzione del calcolo. 1712 La Royal Society nomina una commissione comprendente Halley, Jones, Burnet, Machin, de Moivre, Taylor, e vari altri. 1713 Le conclusioni della commissione, favorevoli a Keill, sono stampate con il titolo Commercium epistolicum. Newton scrive una recensione, pubblicata anonima sulle Philosophical Transactions, la Recensio libri.

La disputa sull’invenzione del calcolo. 1714 In risposta al Commercium epistolicum, Leibniz scrive una Historia et origo calculi differentialis, che non pubblicherà mai. 1716 Morte di Leibniz 1727 Morte di Newton

La disputa sull’invenzione del calcolo. Il Commercium epistolicum] riguarda un metodo generale per trasformare equazioni finite in infinite, e per applicare queste equazioni, finite e infinite, alla soluzione di problemi mediante il metodo delle flussioni e dei momenti. Quando finalmente ho ricevuto il Commercium epistolicum, ho visto che ci si allontanava completamente dallo scopo, e che le lettere lì pubblicate non contenevano una sola parola che potesse mettere in dubbio la mia invenzione del calcolo infinitesimale, su cui verteva la controversia. Invece di questo, ci si dilungava sulle serie, dove si riconosce la precedenza di Newton.

La disputa sull’invenzione del calcolo. Si lamenta che il comitato sia andato fuori strada, concentrandosi sul metodo delle serie. Ma deve considerare che questi due metodi non sono che due parti di un unico metodo generale di analisi. Hanno cambiato l’oggetto del contendere. Infatti in quel loro scritto, che con il titolo di Commercio Epistolico di John Collins hanno pubblicato nel 1712 al solo scopo di mettere in dubbio la priorità di Leibniz, si trova a malapena qualche cenno al calcolo differenziale; mentre tutte le pagine trattano delle serie cosiddette infinite. E si sono avvalsi dell’arte degli avvocaticchi, per trasferire il giudizio dalla materia in discussione a un’altra, cioè alle serie infinite.

La disputa sull’invenzione del calcolo. Nel 1684 Leibniz ha pubblicato solo gli Elementi del Calcolo Differenziale, e li ha applicati ai problemi delle Tangenti e dei Massimi e minimi, come Fermat e Gregory avevano fatto prima di lui, e ha mostrato come procedere in questi problemi senza rimuovere le radici, ma non ha affrontato problemi più elevati. Di tutto questo non si trovano nemmeno le tracce nelle opere dell’emulo precedenti le regole del Calcolo pubblicate dal Nostro, né alcunché che non avrebbero potuto fare Huygens e Barrow se avessere affrontato questi problemi. .

La disputa sull’invenzione del calcolo. Si supponga che la relazione tra x e y sia espressa da una qualsiasi equazione, come ad esempio Per tracciare la tangente CD la regola è la seguente. Si moltiplichino i termini dell’equazione per una qualsiasi progressione aritmetica secondo le potenze della y, e secondo le potenze della x, Il primo prodotto sarà il numeratore, e il secondo diviso per x il denominatore di una frazione che dà la lunghezza di BD, dal cui termine D si traccerà la tangente.

La disputa sull’invenzione del calcolo. Lo stesso metodo si può usare anche con radici contenute in radici. Ad esempio se una curva ha un’equazione piuttosto complicata, come l’equazione derivata, utile per trovare la tangente, si può scrivere subito senza calcoli, ed è

La disputa sull’invenzione del calcolo. Newton aveva scritto in queste due lettere che possedeva un’Analisi molto generale, consistente in parte nel metodo delle serie convergenti, e in parte in un altro metodo tramite il quale egli applicava queste serie alla soluzione di quasi tutti i problemi. Non ho mai negato di aver visto alcune lettere di Newton a casa di Collins durante il moi secondo viaggio in Inghilterra, ma non ho mai visto dove Newton ha spiegato il suo metodo delle flussioni, e continuo a non vederlo nel Commercium Epistolicum.

La disputa sull’invenzione del calcolo. Nelle mia lettera del 13 giugno 1676 dicevo che il mio Metodo delle serie si applicava a quasi tutti i problemi, ma non era generale senza un altro metodo, intendendo (come dicevo nella mia seconda lettera) il Metodo delle flussioni e delle serie arbitrarie. Ora sottrarmi questi altri metodi vuol dire lasciarmi col solo Metodo delle serie, che così cessa di essere generale. . Ora Leibniz si è messo a fare a pezzi il mio metodo generale e a sottrarmene prima una parte, poi un’altra, fino a renderlo irriconoscibile, e così ha dato una giusta occasione al comitato per considerarlo nel suo insieme.