III Matrices y determinantes Unidad de aprendizaje lgebra

III Matrices y determinantes Unidad de aprendizaje: Álgebra

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Ejemplo: Considerar la ordenación 1 4 2 3 , formada con los cuatro primeros números naturales. Basta con observar el esquema: 1<4 1<2 1< 3 4>2 4>3 2<3 Para concluir que el número de inversiones de la permutación anterior es 2. 25/01/2022 Página 10

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Comprobar, aplicando la definición, que: Para calcular un determinante de orden dos basta con multiplicar primero: Y luego restar el producto 25/01/2022 Página 13

Aplicación: 25/01/2022 Página 14

Desarrollo que puede memorizarse fácilmente haciendo uso del siguiente esquema, conocido como regla de Sarrus (sólo para determinantes de orden 3): 25/01/2022 Página 15

Comprobar que: 25/01/2022 Página 16

Aplicación: 25/01/2022 Página 17

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Ejemplos: Dada la matriz A Comprobar que: 25/01/2022 Página 20

El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus adjuntos respectivos. 25/01/2022 Página 21

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Transformaciones en un determinante Dada una matriz cuadrada A de orden n, se verifican las siguientes propiedades: 1. El valor de |A| no varia si se intercambian filas por columnas. 2. S i todos los elementos de una fila ( o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0. Todos los sumandos de |A| (que, a su vez, son productos) contendrán un elemento de tal fila, luego serán nulos. 25/01/2022 Página 23

3. Si en A si se intercambian dos filas (o columnas), entonces |A| cambia de signo. 4. Si en A existen dos filas ( o columnas) iguales, entonces |A| = 0. 5. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de A por un mismo número k, el |A| también queda multiplicado por dicho número. 25/01/2022 Página 24

6. Si en A existen dos filas (o columnas) proporcionales, entonces |A| = 0. 7. El valor de |A| no se modifica si a una fila ( o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un número. Si, efectuada esa suma, se desarrolla el determinante por los adjuntos de la nueva línea, tal determinante puede descomponerse en suma de otros dos: uno que coincide con el inicial y otro que, por tener dos líneas paralelas iguales, ser. nulo. 25/01/2022 Página 25

8. Si en A existe una fila (o columna) combinación lineal de otras, entonces |A| = 0. 9. La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) de A por los adjuntos de otra fila (columna) es igual a cero. La suma en cuestión coincidirá con el desarrollo por adjuntos de un determinante con dos líneas paralelas iguales, que será nulo por la propiedad 4. 25/01/2022 Página 26

Ejemplo: Calcular Aplicando reiteradamente la propiedad 7, a la segunda fila le podemos restar la primera multiplicada por 2; a la tercera, la primera multiplicada por 5; y, a la última, la primera multiplicada por 3. Al llegar aquí, la primera columna tendrá todos sus elementos, salvo uno, nulos, y bastará con desarrollar por ella para calcular el determinante: 25/01/2022 Página 27

Demostrar que: 25/01/2022 Página 28

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El rango de una matriz A no se modifica si: • Se altera el orden de las filas de A. • Seprescinde, en A, de una fila que sea combinación lineal de otras (en particular, si se elimina una fila de ceros). • Se multiplica una fila de A por un número distinto de cero. • Se suma a una fila de A una combinación lineal de otras. 25/01/2022 Página 30

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Entonces, considerada la fila k de A, cualquiera que esta sea, desde la (r+1) hasta la m, se tendrá, para todo valor de j, desde j = 1 hasta j = n: Cuando j tome los valores 1, 2, . . . , r en el determinanterior habrá dos columnas iguales; cuando j tome valores desde (r+1) hasta n, |M| será un menor de A de orden (r+1) > r, nulo por hipótesis). 25/01/2022 Página 38

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Lo cual significa que la fila k de A es combinación lineal de las r primeras y, por tanto, se puede prescindir de ella sin que el rango de A se modifique. Finalmente, como eso ocurre para las (m r) últimas filas de A, se tendrá, prescindiendo de todas ellas: Igualdad que se puede escribir debido a que: 25/01/2022 Página 40

Ello, según el teorema anterior, hace que las r primeras filas de A sean linealmente independientes Por tanto, Dado un menor no nulo de A, de orden r, para ver si otra fila de A es combinación lineal de aquellas con parte de cuyos elementos se ha formado tal menor, basta con calcular todos los menores de orden (r+1) que se puedan escribir completando el inicial con los elementos de esa nueva fila. (Se dice que tales menores de orden (r+1) se han obtenido rolando el menor inicial con tal fila). Si hubiera alguno no nulo, el rango de A será como mínimo (r+1) y partiríamos de el para formar, ahora, menores de orden (r+2). Si, por el contrario, todos los menores de orden (r+1) obtenidos rotando el inicial de orden r con dicha fila fueran nulos, eso nos permitiría prescindir de ella sin que el rango de A se modificara, pues la fila en cuestión será combinación lineal de las que 25/01/2022 Página 41 intervienen en el menor de orden r.

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Si hubiéramos definido el rango de A como el máximo número de columnas, y no filas linealmente independientes, habríamos visto que también en ese caso el rango A coincidirá con el orden del menor de A de mayor orden no nulo, por lo que: Se puede calcular el rango de A como el máximo número de filas o columnas linealmente independientes. 25/01/2022 Página 44

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