III Induktive Statistik 1 Schtztheorie 1 1 Grundbegriffe
III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1. 1. Grundbegriffe, Stichproben 1. 2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1. 3. Erwartungstreue Schätzer 1. 4. Konfidenzintervalle 1. 5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2. 1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2. 2. Konfidenzintervalle 3. Tests 3. 1. Grundbergriffe 3. 2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3. 3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3. 4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3. 5. Chi-Quadrat-Tests 3. 6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3. 7. Einfache Varianzanalyse
Teil III Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Wahrscheinlichkeitstheorie Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Die hypergeometrische Verteilung Notation
Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.
Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:
Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:
Schätzproblem Schätzer
Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell Θ
Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Modell Θ Schätzung g E
Stichprobe (diskreter Fall)
Mathematischer Rahmen
Stichprobenfunktionen
Sonntagseinsätze Feuerwache
Stichproben (stetiger Fall)
Mathematischer Rahmen
Statistische Struktur diskret stetig
Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung
Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.
ist M-L-Schätzer !
Likelihood-Funktion
Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend
Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulliverteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:
Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung x
Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder
Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poissonverteilter Stichprobenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder
Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulliverteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unbekannt
Übersicht
Beispiel Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W. maßes zum Parameter genommen wird.
Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:
Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:
Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:
Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu
Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt ist erwartungstreu
Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!
Übersicht erwartungstreu nicht erwartungstreu
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