II Lineaar ruut murdvrrandid ja vrratused Taimi TammVask

II Lineaar-, ruut-, murdvõrrandid ja -võrratused Taimi Tamm-Vask

Põhioskused Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine. Kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine. Ühe tundmatuga lineaarvõrratuse süsteemide lahendamine Tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemide abil. 2

Võrduse omadused n a = a § Kui a = b, siis b = a § Kui a = b ja b = c, siis a = c § Kui a = b, siis a + c = b + c § Kui a = b, siis ac = bc § Kui a = b, siis , kui 3

Võrratuse omadused § Kui a > b, siis b < a § Kui a > b ja b > c, siis a > c § Kui a > b, siis a + c > b + c § Kui a > b ja m > 0, siis am > bm ja § Kui a > b ja m < 0, siis am < bm ja 4

Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus tundmatu esineb vaid esimeses astmes. Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0, kus ax on lineaarliige ja b on vabaliige, a on lineaarliikme kordaja. 5

Lineaarvõrrand Lahendi üldkuju x = - Võrrandeid nimetatakse samaväärseteks: § kui neil on ühed ja samad lahendid § või ka siis kui neil lahendid puuduvad. 6

Lineaarvõrrandi omadused § Võrrandi pooli võib vahetada § Võrrandi mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga § Liidetavaid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poolele, muutes nende liidetavate märgid vastupidiseks 7

Lineearvõrrandil võib olla § täpselt üks lahend § lahendeid võib olla lõpmata palju § lahend võib puududa. 8

Lineaarvõrratus Kui ax + b > 0 ja a > 0, siis Kui ax + b > 0 ja a < 0, siis 9

Lineaarvõrrandisüsteeme lahendatakse: § liitmisvõttega (võrrandeid teisendatakse nii, et ühe muutuja kordajad oleksid teineteise vastandarvud); § asendusvõttega ( ühest võrrandist avaldatakse üks muutuja ja asendatakse see teise võrrandisse); 10

Lineaarvõrrandisüsteeme lahendatakse: § graafiliselt; § determinantide abil. Normaalkuju: 11

Lineaarvõrrandisüsteem § Võrrandisüsteemil on üks lahend, kui § Võrrandisüsteemil on lõpmata palju lahendeid, kui § Võrrandisüsteemil lahendid puuduvad, kui 12

Lineaarne võrratussüsteem Kaks ühe ja sama muutujaga võrratust koos vaadelduna moodustavad võrratussüsteemi, mille lahendihulgaks on antud võrratuste lahendihulkade ühisosa. Võrratussüsteemi lahendamisel võrratused lahendatakse eraldi ja seejärel leitakse süsteemi lahendihulk. 13

Ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand x 2 + px + q = 0 Taandatud ruutvõrrandi lahendite omadused ( Viete´i valemid) X 1 + X 2 = - p X 1 ∙ X 2 = q 14

Ruutvõrrand Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 15

Diskriminant : D = b 2 – 4 ac § Kui D > 0, siis on võrrandil kaks erinevat reaalset lahendit § Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalset lahendit § Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalsed lahendid puuduvad. 16

Ruutvõrratus ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 Ruutvõrratuse lahendamiseks leiame nullkohad. Selleks lahendatakse ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 17

Ruutvõrratus Kanname lahendid arvteljele ja joonestame läbi nende kõvera. Kui a > 0, siis alustame joonestamist suuremast nullkohast paremalt ja ülevalt, kui a < 0, siis paremalt ja alt. 18

Murdvõrrand 19

Murdvõrratus 20

Murdvõrratuse lahendite hulka ei kuulu nimetaja nullkohad. Lahendatakse intervallide meetodiga. § Leitakse kõik nullkohad: P(x) = 0, Q(x) = 0. § Kantakse kõik nullkohad arvsirgele. 21

Murdvõrratus n Joonestatakse läbi nende punktide joon, alustades paremalt ja ülevalt, kui kõrgema astme kordaja on positiivne ning paremalt ja alt, kui see kordaja on negatiivne. § Seejuures läbitakse mingit nullkohta lõigates x-telge, kui nullkoha järk on paaritu arv ning puudutades x-telge, kui nullkoha järk on paarisarv. 22