II Espacios vectoriales Unidad de aprendizaje lgebra EL

II Espacios vectoriales Unidad de aprendizaje: Álgebra

EL ESPACIO VECTORIAL El concepto de espacio vectorial puede ilustrarse en el plano cartesiano. Llamamos plano cartesiano real al plano "de la geometría analítica", es decir al producto cartesiano R X R de los reales por sí mismos. Los elementos de R X R son las parejas ordenadas (a, b) de números reales. Estas se representan como puntos: 13/01/2022 Página 2

13/01/2022 Página 3

Al referimos a un vector (a, b) diremos que a es la primera coordenada (o abscisa) de (a, b) y que b es la segunda coordenada (u ordenada) del mismo. La suma de dos vectores es el vector cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas respectivas de los sumandos. El producto de un escalar por un vector es el vector cuyas coordenadas son el producto del escalar por las coordenadas del vector Por ejemplo: (1, 2) + (-1, 3) = (0, 5) (0, 0) + (2, 3) =(2, 3) (-1, 2) + (1, -2) = (0, 0) (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 13/01/2022 Página 4

(a, 0) + (0, b) = (a, b) 3(1, 2) = (3, 6) (-1)(3, -2)=(-3, 2) a(1, 0) = (a, 0) b(0, 1) = (0, b) 0 (a, b) = (0, 0) Tenemos también que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) 13/01/2022 Página 5

Interpretación geométrica de la adición Recordemos los dos siguientes resultados: 1. Si las diagonales de un cuadrilátero se intersecan en su punto medio, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo: 13/01/2022 Página 6

13/01/2022 Página 7

Interpretación geométrica de la adición de vectores Sean P = (a, b), Q = (c, d) y R = P + Q, es decir, R = (a+c, b+d). Consideremos el cuadrilátero OPRQ: 13/01/2022 Página 8

13/01/2022 Página 9

13/01/2022 Página 10

13/01/2022 Página 11

13/01/2022 Página 12

13/01/2022 Página 13

13/01/2022 Página 14

13/01/2022 Página 15

13/01/2022 Página 16

13/01/2022 Página 17

13/01/2022 Página 18

13/01/2022 Página 19

13/01/2022 Página 20

En lugar de R se puede trabajar con cualquier otro campo K, como por ejemplo el campo Q de los números racionales o el campo C de los números complejos y todo lo que se haga para R seguirá siendo válido para cualquier campo. 13/01/2022 Página 21