IES LPEZNEYRA CRDOBA MATEMATICAS APLICADAS A LAS CCSSII
IES LÓPEZ-NEYRA (CÓRDOBA) MATEMATICAS APLICADAS A LAS CCSS-II 2º de BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Fco. Javier del Rey
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (I) v. Definición. - Llamamos sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a los sistemas cuya forma es: Donde respectivamente: son • Los coeficientes del sistema • Los términos independientes • Las incógnitas v. Expresión matricial del sistema. - El sistema anterior se puede expresar usando matrices de la forma siguiente: Donde: • C • X • B matriz de los coeficientes matriz de las incógnitas matriz términos independientes v. Solución del sistema. - Es todo conjunto de números reales, , que satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (II) v. Tipos de sistemas lineales. - Basándonos en el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser: Ejemplos DETERMINADOS Tienen una solución TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMPATIBLES Tiene solución INDETERMINADOS Tienen infinitas soluciones INCOMPATIBLES No tiene solución
ANÁLISIS DEL SISTEMA MÉTODOS CONDICIONES Método de Gauss Teorema de Rouché-Fröbenius • La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea COMPATIBLE, es que el rango de la matriz de los coeficientes C y el rango de la matriz ampliada A, sean iguales (sea h su valor). Es decir: Sistema Incompatible Sistema Compatible r(C)≠r(A) r(C)=r(A)=h Determinado h=n Indeterminado h<n • El método de Gauss es una generalización del conocido método de reducción. • Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas. (Importante, tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas) • Mediante transformaciones (se verán posteriormente) vamos a transformar nuestro sistema en otro equivalente (tienen las mismas soluciones) al primero, y cuya forma es: • El teorema de Gauss dice: 1) Ejercicios: 2) S. C. D. S. C. I. 3) S. I. Pág. 48 el 10 -b -Solo Pág. discutir 101 el 9 -b (libro). (Por CRAMER) R. -F. ). .
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Gauss Método de Cramer MÉTODOS RESOLUCIÓN • Este método se aplica a aquellos sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, siendo , , es decir debe ser un sistema compatible. • Sea el sistema: • Se puede demostrar que su solución viene dada por: • Una vez escalonado el sistema utilizando el método de Gauss, vimos quedaba: • Pues bien, si el sistema resulta ser compatible, su resolución es muy fácil, basta con: despejar x. Ejercicios: la última ecuación y la n de Ejercicios: sustituir su valor en la penúltima para obtener xn-1. Así sucesivamente vamos calculando las Pág. incógnitas. 102 Pág. el 11 -a-d 13 -a (libro). 48 ely 7 -b-c demás
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEOS v. Definición. - Son aquellos sistemas de ecuaciones lineales en los que los términos independientes de todas las ecuaciones son nulos. Es decir: b 1=0, b 2=0, . . , bm=0. v. Solución de los sistemas homogeneos. - Al ser todos los términos independientes cero, el rango de la matriz de los coeficientes coincidirá siempre con el de la ampliada, por tanto son siempre sistemas compatibles. Pueden darse dos casos: 1) r(C)=r(A)=h=n S. C. D. Solución trivial x 1=x 2=…=xn=0 - Esta solución trivial la tienen todos los sistemas homogéneos, por lo que carece de sentido - 2) r(C)=r(A)=h<n S. C. I. Infinitas soluciones
APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES A LA GEOMETRÍA v. Posición relativa de dos rectas en el plano. - En el plano la ecuación de una recta se puede expresión de la forma: • Ahora vamos a intentar el estudio de la posición relativa de dos rectas en el plano: • Si aplicamos el método de Gauss y escalonamos el sistema, quedará de la forma: • Según el método de Gauss: a) Si b) Si c) Si Una solución. Se cortan en un punto. Infinitas soluciones. Son coincidente. Ejercicios: 102 Pág. el 104 22 -a-d, el 45 -a 19 (libro). No existe Pág. solución. Son paralelas.
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