I sistemi di equazioni di I grado in

I sistemi di equazioni di I grado in due incognite Laura Cozza

Un sistema di equazioni DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, considerate contemporaneamente. L’insieme delle soluzioni di un sistema è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle equazioni che lo compongono. commento 3/3/2021 Laura Cozza 2

Risolvere un sistema di equazioni vuol dire perciò trovare tutte le soluzioni che verificano tutte le equazioni che formano il sistema: Dobbiamo trovare quei valori di x e y che sono soluzioni di tutte le equazioni 3/3/2021 Laura Cozza 3

In questa unità didattica consideriamo sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado, tali sistemi sono detti sistemi lineari 3/3/2021 Laura Cozza 4

Interpretazione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite Consideriamo il sistema: y = 2 x - 5 y = -x + 1 commento 3/3/2021 Laura Cozza 5

Interpretazione grafica • Risolvere graficamente un tale sistema significa trovare il punto di intersezione tra le due rette che rappresentano le equazioni date 3/3/2021 Laura Cozza 6

Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le equazioni: y = 2 x – 5 e y = -x + 5 Y= 2 x 5 Y X Il sistema ha una soluzione, poiché le rette si intersecano in un sol punto di coordinate (2 ; -1) y=- x+1 commento 3/3/2021 Laura Cozza 7

Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le equazioni y = 2 x – 5 e y = -x + 1, calcolandone alcune soluzioni. Poiché per due punti passa una ed una sola retta, è sufficiente considerare due valori di x e i corrispondenti valori di y. Abbiamo considerato per la prima retta i valori: x=0 => y = -5 x=1 => y = -3 Per la seconda retta x=0 => y=1 x=1 => y=0 Non è sempre possibile determinare graficamente la soluzione di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite. Possono esserci, infatti, imprecisioni nel disegno, oppure le coordinate del punto di intersezione potrebbero non essere individuabili esattamente. 3/3/2021 Laura Cozza 8

Rette incidenti Il sistema ha Una soluzione (x ; y) 1 punto in comune commento 3/3/2021 Laura Cozza 9

Un sistema con un numero finito e non nullo di soluzioni è anche detto sistema determinato. Un sistema lineare con una soluzione è quindi determinato. Non si deve confondere il caso di sistema non determinato con quello di sistema indeterminato. Un sistema non determinato può essere indeterminato o impossibile. 3/3/2021 Laura Cozza 10

In generale si possono presentare tre diversi casi. Due rette nel piano possono, infatti, avere tre reciproche posizioni: • Rette incidenti => un punto in comune; • Rette parallele distinte => nessun punto in comune; • Rette parallele coincidenti => infiniti punti in comune. Corrispondentemente, poiché ogni equazione di primo grado in due incognite è rappresentata da una retta , un sistema di due equazioni di questo tipo può avere: • Una soluzione (x ; y); • Nessuna soluzione; il sistema è impossibile; • Infinite soluzioni; il sistema è indeterminato 3/3/2021 Laura Cozza 11

Rette parallele distinte Il sistema Non ha soluzione; Il sistema è IMPOSSIBILE Nessun punto in comune 3/3/2021 Laura Cozza 12

Rette parallele coincidenti Il sistema ha Infinite soluzioni; Il sistema è INDETERMINATO Infiniti punti in comune 3/3/2021 Laura Cozza 13