I SAVJETOVANJE CG KO CIGRE Hotel Maestral Prno

I SAVJETOVANJE CG KO CIGRE Hotel Maestral, Pržno, 12. - 16. 10. 2009. ANALIZA EFEKTA BLIZINE KOD DVOŽIČNOG VODA PRAVOUGAONOG POPREČNOG PRESJEKA Dragan FILIPOVIĆ Univerzitet Crne Gore, Elektrotehnički fakultet Bulevar Džordža Vašingtona bb, 81000 Podgorica e-mail: draganf@ac. me Tatijana DLABAČ Univerzitet Crne Gore, Fakultet za pomorstvo Dobrota 36, 85330 Kotor e-mail: tanjav@ac. me

Struktura rada 1. Uvod 2. Integralna jednačina za gustinu struje i njeno približno rješavanje 3. Numerički rezultati 4. Zaključak Literatura

1. Uvod Vremenski promjenljiva struja se neravnomjerno raspodjeljuje po presjeku provodnika. Gustina struje je najveća uz površinu provodnika i opada što se više bližimo njegovoj osi. Ova pojava dolazi naročito do izražaja ako je frekvencija struje visoka. Tada struja postoji samo u vrlo tankom sloju uz površinu provodnika. Ova pojava neravnomjerne raspodjele vremenski promjenljive struje je dobila naziv površinski efekat ili skin efekat (skin effect). Ova pojava dovodi do povećanja podužne otpornosti provodnika i do smanjenja podužne unutrašnje induktivnosti. Zbog povećanja otpornosti dolazi do porasta Džulovih gubitaka u samom provodniku.

1. Uvod Ukoliko imamao dva provodnika na bliskom rastojanju, onda vremenski promjenljiva struja u jednom provodniku utiče na raspodjelu struje u drugom. Ovaj efekat se naziva efekat blizine (proximity effect). Ako su struje u provodnicima suprotnih smjerova onda se gustina struje povećava u djelovima provodnika koji su okrenuti jedan prema drugome. I ovdje se kao neposredna posljedica javlja povećanje otpornosti i Džulovih gubitaka.

1. Uvod U ovom radu je je analiziran niskofrekventni efekat blizine za slučaj dvožičnog voda pravougaonog poprečnog presjeka. Ova analiza je od praktičnog značaja za energetske vodove gdje se zbog velikih struja zahtijevaju masivni provodnici. U [1] Bubnov-Galerkinov metod je korišćen za analizu efekta blizine u sistemu dva provodnika pravougaonog poprečnog presjeka sa strujama u istom smjeru. U našem pristupu analiza efekta blizine kod dvožičnog voda je uzeta integralna jednačina za gustinu struje [2 -4].

1. Uvod Metod za rješavanje skin efekta pomoću integralne jednačine je prvi put publikovao Charles Manneback 1922. Integralna jednačina je izvedena pod uslovima da se radi o dobrim provodnicima i niskim frekvencijama, pri čemu se zanemaruju struje dielektričnog pomjeraja u odnosu na kondukcione struje. Ovako izvedena integralna jednačina skin efekta je u stvari standardna jednačina skin efekta i kao takva ostala je aktuelna do današnjih dana. Na bazi ove integralne jednačine prvi put se dobilo dobro poznato rješenje za usamljeni provodnik kružnog poprečnog presjeka. Ova jednačina je rješavana iterativnim postupkom i dobijeno je rješenje preko Beselovih funkcija.

1. Uvod B. D. Popović i Z. D. Popović 1972. godine 2 daju novi aproksimativni, ali zadovoljavajuće tačan kompjuterski orjentisani metod za rješavanje problema niskofrekventnog skin efekta za usamljeni cilindrični provodnik proizvoljnog poprečnog presjeka. Metod se sastoji u rješavanju integralne jednačine, pri čemu je nepoznata gustina struje prikazana u obliku dvojnog konačnog stepenog reda sa nepoznatim kompleksnim koeficijentima. Ovi nepoznati kompleksni koeficijenti su određeni metodom podešavanja u odgovarajućem broju tačaka unutar provodnika. U radu su dobijeni rezultati za gustinu struje i odnos otpornosti Ra. c. /Rd. c za cilindrične provodnike različitog poprečnog presjeka. [2] B. D. Popović, Z. D. Popović: "Method of determining powerfrequency current distribution in cylindrical conductors", PROC. IEE, Vol. 119, No 5. May 1972, pp. 569 -574.

1. Uvod Prethodni metod su koristili autori B. D. Popović i D. N. Filipović u radu 3 u kojem su dali rješenje za niskofrekventni efekat blizine kod dva trakasta paralelna provodnika konačne širine koji se nalaze u proizvoljnom međusobnom položaju. Rješavali su sistem dvije integralne jednačine za gustine struje približno uz korišćenje metoda podešavanja u tačkama i polinomske aproksimacije za gustine struje. Kao rezultat dobijene su približno gustine struje u trakama i odnos otpornosti Ra. c. /Rd. c. 3 B. D. Popović, D. N. Filipović: "Theory of power-frequency proximity effect for strip conductors", PROC. IEE, Vol. 122, No 8. August 1975, pp. 820 -823

1. Uvod U radu 4 , istom metodom kao u radu 3 , analiziran je efekat blizine za slučaj sistema od dva provodnika pravougaonog poprečnog presjeka sa strujama u istom smjeru. Isti postupak je korišćen i u ovom radu. Integralna jednačina se ne može riješiti u zatvorenoj formi ali se može tražiti približno rješenje u obliku konačnog dvojnog stepenog reda sa nepoznatim koeficijentima. Ovi koeficijenti se mogu odrediti poznatom point matching tehnikom. Posle nalaženja gustine struje lako se može naći podužna otpornost voda. 4 D. Filipović, T. Dlabač: "Low-frequency skin effect in a system of two rectangular conductors with identical currents", 8 th Conference PES 2007, September 3 -5, 2007. Nis, Serbia, pp. 47 -48.

2. Integralna jednačina za gustinu struje I njeno približno rješavanje w -kružna učestanost i - specifična provodnost Sl. 1 Poprečni presjek dvožičnog voda pravougaonog poprečnog presjeka provodnika, C je konstanta čija vrijednost ne utiče na relativnu raspodjelu gustine struje (C=1) Koordinate x, x', y i y' su normalizovane dijeljenjem stvarnih koordinata sa h (h je proizvoljan dimenzija koja karakteriše poprečni presjek; mi smo uzeli h=a). S 1 i S 2 predstavljaju poprečne presjeke lijevog i desnog provodnika, respektivno (1)

2. Integralna jednačina za gustinu struje I njeno približno rješavanje Jednačina (1) sadrži dvije nepoznate gustine struje, ali zbog simetrije važi (2) pa se jednačina (1) svodi na jednačinu: (3) Koja sadrži samo jednu nepoznatu gustinu struje.

2. Integralna jednačina za gustinu struje i njeno približno rješavanje Približno rješenje jednačine (3) se traži u obliku konačnog dvojnog stepenog reda (4) gdje su Jmn nepoznati koeficijenti koje treba odrediti Zamjenim (4) u (3) dobija se: (5)

2. Integralna jednačina za gustinu struje i njeno približno rješavanje gdje je (6) a formulama (7) i (8) su dati dvojni integrali: (7) (8)

2. Integralna jednačina za gustinu struje i njeno približno rješavanje Nepoznati koeficijenti Jmn se određuju poznatom "point-matching" tehnikom. Uzećemo da je jednačina (3) zadovoljena u (M+1)(N + 1) različitih tačaka (x, y) u S 1, čime se jednačina (5) pretvara u sistem (M+1)(N + 1) linearnih algebarskih jednačina sa (M+1)(N + 1) nepoznatih koeficijenti Jmn.

3. Numerički rezultati Sl. 1 Poprečni presjek dvožičnog voda pravougaonog poprečnog presjeka b=4 a, d=a=1 cm, f = 50 Hz = 57 106 S/m, M=N=4 Sl. 2 -a Raspodjela gustine struje u provodnicima sa Sl. 1

3. Numerički rezultati Rezultati za raspodjelu gustine struje odnosno linije jednakog modula gustine struje dobijeni primjenom programskog paketa FEMM 4. 0 (Finite Element method magnetisc) prikazani su na slici 2 b). Sl. 2 -b Raspodjela gustine struje u provodnicima sa Sl. 1

3. Numerički rezultati Parametar koji je od interesa je podužna otpornost voda. Njegova relativna vrijednost tj. stvarna vrijednost podijeljena sa vrijednošću pri jednosmjernoj struji može se naći kao [2] (9) Slika 3 pokazuje relativnu podužnu otpornost voda u funkciji parametra , za različite vrijednosti rastojanja između provodnika voda.

3. Numerički rezultati Sl. 3 Relativna podužna otpornost R'a. c. /R'd. c. za sistem sa Sl. 1 u funkciji parametra za različite vrijednosti rastojanja provodnika d (cm)

4. Zaključak U ovom radu analiziran je niskofrekventni efekat blizine kod dvožičnog voda pravougaonog poprečnog presjeka. Integralna jednačina za gustinu struje je riješena približno pretpostavljajući da je u obliku dvojnog stepenog reda sa nepoznatim koeficijentima. Za određivanje nepoznatih koeficijenata primijenjena je dobro poznata point matching tehnika. Prezentirani su numerički rezultati za gustinu struje i podužnu otpornost voda.

Literatura [1] P. Rolicz: "Skin effect in a system of two rectangular conductors carrying identical currents", Electrical Engineering 82 (2000) 285 -290 © Springer-Verlag 2000 [2] B. D. Popović, Z. D. Popović: "Method of determining power-frequency current distribution in cylindrical conductors", PROC. IEE, Vol. 119, No 5. May 1972, pp. 569 -574. [3] B. D. Popović, D. N. Filipović: "Theory of powerfrequency proximity effect for strip conductors", PROC. IEE, Vol. 122, No 8. August 1975, pp. 820 -823. [4] D. Filipović, T. Dlabač: "Low-frequency skin effect in a system of two rectangular conductors with identical currents", 8 th Conference PES 2007, September 3 -5, 2007. Nis, Serbia, pp. 47 -48.

I SAVJETOVANJE CG KO CIGRE Hotel Maestral, Pržno, 12. - 16. 10. 2009. ANALIZA EFEKTA BLIZINE KOD DVOŽIČNOG VODA PRAVOUGAONOG POPREČNOG PRESJEKA Dragan FILIPOVIĆ Tatijana DLABAČ HVALA NA PAŽNJI!

Pitanja za diskusiju n n Da li se slična analiza može sprovesti za slučaj provodnika okruglog poprečnog presjeka? Ovo bi bilo interesantno analizirati u slučaju sabirnica u obliku užadi za postrojenja na otvorenom, u kojem slučaju su provodnici pojedinih faza na relativno malom rastojanju. Da li su autori razmatrali uticaj efekta blizine na podužnu induktivnost provodnika u vodu i do kojih su rezultata eventualno došli.