I S TUYN TNH V NG DNG CHNG

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 5 A

CHƯƠNG 5 Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng 5. 1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến 5. 2 Ma trận 5. 3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử 5. 4 Định thức 5. 5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output 5. 6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột.

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận: Ví dụ:

MA TRẬN VUÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. Đường chéo chính gồm các phần tử:

CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang

MA TRẬN KHÔNG Tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: 0 hay 0 mxn

MA TRẬN HÀNG, CỘT Ma trận hàng: chỉ có một hàng Ma trận cột: chỉ có một cột

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN Ma trận vuông Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN CHÉO Ma trận vuông Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN ĐƠN VỊ Ma trận chéo Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

MA TRẬN BẬC THANG Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. Ma trận bậc thang: Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

VÍ DỤ 1 Không là bậc thang

VÍ DỤ 2 bậc thang

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

CỘNG HAI MA TRẬN Cộng các phần tử tương ứng với nhau Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

NH N MỘT SỐ VỚI MA TRẬN Nhân số đó vào tất cả các phần tử

PHÉP NH N HAI MA TRẬN Cho 2 ma trận: Khi này ma trận A nhân được với ma trận B Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau.

QUI TẮC NH N Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.

VÍ DỤ 4 Các ma trận nào nhân được với nhau?

ĐỊNH THỨC Cho ma trận A vuông, cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu: Đây là một số thực, được xác định như sau:

ĐỊNH THỨC CẤP N≥ 3 Dùng phần bù đại số Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.

VÍ DỤ 5 Cho ma trận: M 23=? ? ?

PHẦN BÙ ĐẠI SỐ Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:

KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận vuông cấp n: Đây là khai triển theo dòng 1. Ta có thể khai triển dòng bất kỳ.

VÍ DỤ 6 Tính định thức ma trận sau:

ĐỊNH THỨC CẤP 3 Ta dùng qui tắc sau:

VÍ DỤ 7 Tính lại định thức ma trận sau:

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định thức. 2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(k. A)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu. 6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần.

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng thứ 3 thì định thức không thay đổi. 8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0. 9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 11. Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức Các phép biến đổi trên dòng xem phía sau (phần tìm hạng ma trận)

TÍNH CHẤT Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho: Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1

TÍNH CHẤT

TÍNH CHẤT

ĐIỀU KIỆN ĐỂ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:

HẠNG CỦA MA TRẬN Định thức con của ma trận: Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn - Chọn k dòng - Chọn k cột

VÍ DỤ 8 Cho ma trận A. Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức con cấp mấy lớn nhất?

HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m. n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A. Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A. b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0.

VÍ DỤ 9 Tìm hạng của ma trận sau:

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau 2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0 3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số. 4. Tổng hợp:

VÍ DỤ 10 Thực hiện phép biến đổi ma trận: Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A

HẠNG CỦA MA TRẬN Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A. Ký hiệu: r(A) hay rank(A) Ma trận bậc thang của A: A→. . bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

VÍ DỤ 11 Tìm hạng của ma trận

TÍNH CHẤT

CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Phương pháp Gauss – Jordan Phương pháp Định thức

PP GAUSS JORDAN Bước 1: Lập ma trận [A|In] bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị In. Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [A|In] về dạng [In|B] Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và B=A-1 Chú ý: Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện một dòng 0 thì A không khả nghịch. Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo.

VÍ DỤ 12 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC Ta có: Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

VÍ DỤ 13 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

VÍ DỤ 13 Tìm ma trận phụ hợp của A:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN a) Xét phương trình: A. X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1. B b) Xét phương trình: X. A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B. A-1 c) Xét phương trình: A. X. C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1. B. C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình.

VÍ DỤ 14 Giải các phương trình sau:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận Ma trận A gọi là ma trận hệ số. X: ma trận cột các ẩn số B: ma trận cột các hệ số tự do Nghiệm của phương trình là một bộ số: Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn.

ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI

ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI

VÍ DỤ 15 Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm

CÁCH GIẢI HPT TUYẾN TÍNH Phương pháp Gauss – Jordan Phương pháp Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo

PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS – JORDAN

VÍ DỤ 16 Giải hệ phương trình sau:

PHƯƠNG PHÁP CRAMER Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.

PHƯƠNG PHÁP CRAMER Ví dụ: A 1 Thay cột 1 bằng cột hệ số tự do

PHƯƠNG PHÁP CRAMER

VÍ DỤ 17 Giải và biện luận hệ phương trình sau

PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. Nếu ma trận A khả nghịch thì:

VÍ DỤ 18 Giải phương trình sau

MÔ HÌNH C N ĐỐI LIÊN NGÀNH Mô hình Input-Output Leontief Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội.

BẢNG VÀO RA (I/O) Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927 Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi ngành Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu

MÔ HÌNH I/O Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như thế nào Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế

CÁC GIẢ THUYẾT Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định. Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu ra. Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần.

MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa (loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa loại I Ví dụ: a 23 = 0, 35 có nghĩa gì?

MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật. Đầu ra Đầu vào Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì?

TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất hàng hóa ngành i xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng);

BẢNG I-O DẠNG GIÁ TRỊ Ta có: Mua của ngành 1 Tổng cầu x 1 x 2 … xn Công thức: Bán của ngành 1 Cầu trung gian x 11 x 21 … xn 1 x 12 x 22 … xn 2 … … x 1 n x 2 n … xnn Cầu cuối cùng b 1 b 2 … bn

MÔ HÌNH I-O Ta có mô hình I-O: Dạng ma trận:

MỘT SỐ THUẬT NGỮ A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) B là ma trận cầu cuối cùng T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij

VÍ DỤ 19 Cho bảng I/0: Ngành GTSX 1 100 2 50 3 40 10 GTGT 60 GTSX Nhu cầu trung gian 20 100 Nhu cầu cuối cùng 10 8 62 10 16 14 10 8 12 88 50 40 A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí cuối cùng B) Giải thích ý nghĩa của a 32 và c 21

ĐÁP ÁN Ta có: a 32=0, 2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 0, 2

ĐÁP ÁN Ta có: c 21=0, 297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một khối lượng sp có giá trị là 0, 297

VÍ DỤ 20 Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật: a) Giải thích ý nghĩa con số 0, 4 trong ma trận A b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

GIẢI a) Số 0, 4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0, 4$ hàng hóa của ngành 2 b) Ta có:

GIẢI Ma trận tổng cầu: Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24, 84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20, 68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18, 36 (triệu USD)

PH N TÍCH THÊM Với j=2 ta có: Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 0, 3$. Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp 2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2).

PH N TÍCH THÊM Ta có: Mức lương ngành 1: Mức lương cả nền kinh tế:

DẠNG BÀI TẬP Xác định ma trận tổng cầu X Xác định tổng chi phí mỗi ngành Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX 570 ES 1. Nhập ma trận. Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( mat. A) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. Nhập kết quả vào bằng phím =, Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (Mat. B) Lập lại tương tự cho Mat. C.

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX 570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho Mat. A: Shift 4 (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (Mat. A) = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của Mat. A: Shift 4 (Matrix) 3 (Mat. A) x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: Mat. A x-1 x Mat. B để cho kết quả của X.

MỘT SỐ BÀI TẬP

BÀI 1 Cho hai ma trận: Tìm ma trận nghịch đảo của A. Tìm X biết: X. A=3 B

BÀI 2 Giải hệ phương trình sau

BÀI 3 Giải hệ phương trình sau

BÀI 4 Tìm m để ma trận sau khả nghịch

BÀI 5 Tìm m để hệ là hệ Crammer Giải nghiệm của hệ

BÀI 6 Giải và biện luận theo m

BÀI 7 Tìm để hệ có nghiệm duy nhất Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m

BÀI 8 Giải và biện luận

BÀI 9 Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ thuật: Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.

BÀI 10 Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: Cho biết b 1=30; b 2=15; b 3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng) a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp. b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp.

BÀI 11 Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ thuật: Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 40, 110 Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx tương ứng.

BÀI 12 Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như sau: Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input) 1 2 3 B 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40 Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành Lập ma trận hệ số kỹ thuật A

BÀI 13 Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo. Cho biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0, 1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 0, 6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng. Trong khi đó ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0, 5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng. a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế trên. b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần mở.

BÀI 14 Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: Cho b 1=1800; b 2=200 và b 3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng) a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a 21=0, 33 và a 33=0 trong ma trận A b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma trận A c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp.