I problemi di matematica Una ricerca nella scuola

I problemi di matematica Una ricerca nella scuola primaria Il perché di una ricerca Finalità Campione Metodologia Risultati Conclusioni

Il perché di una ricerca Il presente lavoro, ponendosi come fine quello di indagare sulle concezioni che i bambini di 7 – 8 anni hanno sui problemi di matematica, nasce da un’accurata riflessione compiuta durante le ore di tirocinio effettuate nell’anno accademico 2001 -2002 nel Circolo Didattico “E. De Amicis”. Come previsto dalle attività di tirocinio, noi future insegnanti eravamo chiamate a svolgere, con i bambini di una classe, un’unità didattica. Pertanto, io in collaborazione con il team accogliente della classe 3 A decisi di strutturare un’unità didattica sui problemi. Ma prima di programmare ogni possibile intervento didattico, condussi delle brevi conversazioni cliniche con gli alunni al fine di rintracciare l’idea che i bimbi avevano riguardo allo specifico concetto di problema. Quando, infatti, cerchiamo di insegnare un argomento non possiamo pensare che i nostri allievi siano vuoti contenitori da riempire con la convinzione: le convinzioni o meglio i sistemi di convinzioni influenzano il modo in cui l’argomento viene percepito e quindi appreso. Le risposte rivelarono sin da subito come le concezioni che i bambini avevano sul problema di matematica variavano incredibilmente. Pertanto, riflettendo sul mio ruolo d’insegnante, mi resi conto che prima di impartire qualsiasi tipo di insegnamento era necessario conoscere le loro più nascoste convinzioni uscendo fuori dal campo delle “impressioni, del “mi pare”, del “secondo me” , e rivestendo il ruolo del ricercatore; ruolo che secondo Gherardi (2000) permette all’insegnante un allargamento di vedute sul proprio agire in classe.

Finalità Scoprire le concezioni che i bambini hanno sui problemi di matematica; Scoprire le convinzioni che i bambini hanno sui comportamenti da mettere in atto di fronte al problema di matematica; Scoprire se le concezioni che i bambini hanno sui problemi di matematica influenzano i loro modi di: • Riconoscere il testo di un problema; • Scrivere il testo di un problema; • Scegliere i comportamenti da mettere in atto in presenza di un problema

Metodologia Il lavoro d’indagine è consistito nell’attuazione di un’unica fase. • E’ stata somministrata in maniera individuale un’intervista semi-strutturata • Le risposte sono state tutte tabulate su delle apposite schede che contenevano le analisi a-priori • L’analisi dei dati è stata ottenuta attraverso: - l’applicazione della statistica descrittiva (frequenza relativa e percentuale); - l’uso del programma Chic che permette di studiare le implicazioni fra gli item;

L’intervista semi-strutturata • Che cos’è un problema di matematica? • Quali caratteristiche deve avere un problema di matematica? Fai qualche esempio. • Quali fra i seguenti testi è un problema di matematica e quale non lo è? Perché? • Secondo te, a cosa serve un problema di matematica? • Nel risolvere un problema di matematica cosa ti interessa di più? • Se sbagli un problema, generalmente a cosa pensi sia dovuto? • Quando devi risolvere un problema di matematica, cosa fai? • Per risolvere un problema cosa bisogna saper fare?

I testi presentati sono: • 1. “ Giuseppe ha pescato 15 pesci. Suo fratello Gianni ne ha pescati 12. Il papà sarà soddisfatto della pesca, se rivende il pesce pescato a 30 euro? ” • 2. “ Una torta costa 5 euro; un biglietto per lo stadio costa 2 euro. Quanto costerà un biglietto per il cinema? ” • 3. “ Stai correndo inseguito da un compagno che ti vuole picchiare. Ad un certo punto la strada che hai preso è sbarrata da un muro. Puoi scavalcarlo o girarci intorno: cosa farai? ” • 4. “Devi misurare la larghezza e la lunghezza della tua stanza e devi dire se la sua forma è rettangolare o quadrata. Hai a disposizione un rotolo di spago”. • 5. “Quanti soldi avevi in tasca se hai speso 7 euro in giornaletti, 2 euro in rosticceria e 3 euro in figurine, e ti rimangono ancora 20 euro? ” • 6. Per il tuo compleanno ti sono state regalate 25 euro. Puoi comprarti qualcosa o metterle nel salvadanaio: cosa farai? • 7. Hai letto su un libro una storia di avventure che ti è molto piaciuta. Vorresti riviverla rappresentandola con i tuoi compagni. Ma siete solo in 4 e i personaggi della storia sono invece 5. Cosa pensi di fare? • 8. La mamma va a fare la spesa e compra 4 pacchi di sale fino, 2 pacchi di riso e 3 di caffè a chicchi. Per la strada le cade la borsa e si rompe 1 confezione di sale e 1 di caffè. A casa riesce a dividere il sale dal caffè. Quanto tempo ci avrà messo?

Analisi a priori Le analisi a priori sono state costruite in tre momenti differenti: - durante la costruzione dell’intervista; - dopo un pre-test effettuato su due bambini di terza elementare; - dopo la somministrazione dell’intervista al campione;

Campione L’indagine è stata rivolta a 60 bambini (7 - 8 anni) frequentanti la 3 A, 3 B, 3 C della scuola elementare del circolo didattico Edmondo De Amicis di Palermo nei mesi di novembre – dicembre 2002.

Risultati • Attraverso le percentuali più significative delle risposte ricavate dalle domande A, B e C, è stato possibile conoscere cosa è per i bambini un problema di matematica. A tal proposito si è ipotizzata la presenza di tre grandi modelli concettuali di problema posseduti dai bambini; • Attraverso le percentuali più significative delle risposte ricavate dalle domande D-E-F-G-H, è stato possibile conoscere le convinzioni che i bambini hanno circa i comportamenti da mettere in atto di fronte al problema; • Attraverso i grafici implicativi, è stato possibile rintracciare tra le risposte importanti relazioni.

I modelli concettuali di problema di matematica • 1° modello concettuale; • 2° modello concettuale; • 3° modello concettuale.

1° modello concettuale di problema di matematica Conformemente ad un primo modello, sembra che alcuni degli alunni identificano, riconoscono ed elaborano il testo di un problema di matematica tenendo conto della sola struttura linguistica formale. Si distinguono, infatti: § Coloro (30%) per cui il problema è una scritta dove ci sono i numeri. Tale testo non viene ulteriormente caratterizzato: in particolare è interessante notare come pochi bambini sentano l’esigenza di evidenziare esplicitamente fra le caratteristiche la presenza di una domanda posta alla fine (A 2, 7%), o la presenza di numeri e di una domanda (A 9, 7%). § Coloro i quali (32%) riconoscono come problemi di matematica, dopo solo una veloce sbirciatina, ogni situazione in cui sono presenti dei numeri. A tal proposito il 22% di essi affermerà: “ i testi n° 3, 4 non sono problemi di matematica perché non ci sono dati numerici ”; § Coloro (43%) che scrivono il testo di un problema di matematica, preoccupandosi solo di inserire i dati numerici facendo a meno di una possibile domanda.

2° Modello concettuale di problema di matematica Conformemente ad un secondo modello, alcuni degli alunni, identificano e riconoscono il problema di matematica attraverso il tipo di procedura che si mette in atto per la risoluzione: viene cioè definito implicitamente dalla necessità di eseguire operazioni. Si distinguono infatti: § Coloro (23%) i quali affermano “ per me un problema è una situazione da risolvere con i numeri”; § Coloro (7%) i quali affermano “ per me un problema è una situazione dalla quale, attraverso le operazioni, ottengo dei risultati”; § Coloro (2%) i quali affermano “ per me un problema è un problema di una persona però da risolvere con i numeri”

3° Modello concettuale di problema di matematica Conformemente ad un terzo modello, alcuni degli alunni, sono accomunati dal semplice fatto di identificare il problema di matematica dalla situazione in cui è presentato. Tuttavia essi si distinguono in quanto riconoscono ed elaborano il testo di un problema in modo differente. Infatti: § Tra coloro (15%) per cui il problema è un esercizio che si fa nell’ora di matematica, la maggior parte riconosce come problema ogni situazione che contiene dei numeri e una domanda. Tuttavia, mentre il 7% elabora una struttura problematica poco significativa dando un’eccessiva enfasi ai numeri e, il 5% inserisce alla fine del testo una domanda estranea alla situazione, solo il 3% scrive un testo inserendo correttamente sia i dati numerici sia una domanda coerente. § Tra coloro (13%) per cui il problema è un testo presentato dalla maestra di matematica, la maggior parte riconosce come problema ogni situazione che contiene dei numeri ed elabora, anche in questo caso, o un testo in cui sono presenti solo dei numeri o aggiunge una domanda estranea alla situazione.

Il problema di matematica viene visto come: • Occasione di consolidamento di abilità. Per il 37% dei bambini un problema di matematica serve per imparare a fare bene i conti; • Occasione di ragionamento. Per il 22% dei bambini un problema di matematica serve per esercitarci sul ragionamento della matematica; per il 17% per imparare a ragionare; per il 7% per esercitare la mente e, per il 3 % per farci riflettere; • Verifica delle proprie capacità o della propria preparazione. Per il 10% dei bambini un problema di matematica serve per mettere alla prova l’intelligenza di chi ha studiato; per il 3% per riconoscere l’intelligenza del ragazzo.

I processi che più interessano ai bambini nel risolvere un problema di matematica sono: § Svolgere subito le operazioni (42%); § Capire la domanda (15%) § Intuire prima il procedimento e poi se è il caso fare le operazioni (12%); § Indovinare le operazioni giuste (10%); § Eseguire le operazioni senza errore di calcolo (8%).

Se un bambino sbaglia un problema di matematica pensa che sia dovuto a: • • • Un errore di calcolo (40%); Dimenticanza nel considerare tutti i dati (17%); Un errore nella scelta delle operazioni da fare (15%); Presenza di numeri troppo grandi (8%); Lunghezza del testo (7%); Poco impegno (7%);

Ecco cosa dice che fa un bambino quando deve risolvere un problema • • Prova a svolgere subito le operazioni tra i numeri (32%); Cerca di capire cosa vuole la domanda (22%); Ricopia il testo, riscrive i dati e poi fa le operazioni (17%); Prova le operazioni che sembrano più adatte ai numeri a alle parole del problema e poi sceglie quello che torna meglio (7%).

Cosa bisogna saper fare per un bambino per risolvere un problema di matematica • • Saper fare bene i conti (53%); Capire quello che si legge (25%); Impegnarsi sul serio (17%); Saper imparare i trucchi (5%);

Le Relazioni fra le risposte: § A 1, B 1, C 2 , C 9, B 8 ci evidenziano che i concetti secondo cui un problema di matematica è un testo in cui ci sono dei numeri (A 1) e, la presenza dei numeri è la caratteristica di un problema (B 1), sembrano essere le cause per cui: - il 23% dei bambini riconosce come problema ogni situazione che presenta dei numeri (C 2); - il 20% afferma: “ i testi di problemi n° 3 e 4 non sono problemi perché non ci sono dati numerici”(C 9); - il 25% dei bambini scrive il testo di un problema dando un’eccessiva enfasi alla storia e ai numeri (B 8); • A 10, C 5, ci evidenziano come il concetto di problema di matematica viene definito implicitamente dalla necessità di eseguire operazioni. Pertanto, vedere un problema come una situazione che può essere risolta con i numeri sembra indurre il 22% dei bambini a riconoscere come problema di matematica ogni situazione in cui si possono svolgere delle operazioni • A 5, A 18, C 6 ci mostrano che il concetto di problema di matematica viene definito dalla situazione in cui è presentato. Questo fa sì che molti alunni riconoscano un semplice problema dall’essere presentato nell’ora di matematica e dalla maestra di matematica.

Conclusioni Conclusini del lavoro sperimentale Conclusioni personali Problemi aperti

Conclusioni del lavoro sperimentale • • Da quanto riportato, dunque sembrerebbe che gli alunni identifichino il problema di matematica secondo tre modelli concettuali differenti: 1. problema = numeri; 2. problema = operazioni; 3. problema = maestra di matematica. Modelli concettuali che sembrano incidere solo in parte su alcuni dei comportamenti che i bambini mettono in atto in presenza di un problema. In particolare, tabulando i dati è apparso interessante notare che mentre il terzo modello concettuale (comprendente A 5, A 18, C 6) sembra non avere nessun legame significativo con nessuno degli altri item (le risposte dagli alunni in questo caso appaiono molto varie). Il primo e il secondo modello concettuale (comprendente A 1, B 1, C 2, C 9, B 8 - A 10, A 18, C 5) sembrano indurre la maggior parte del campione ad affermare: • “Di un problema mi interessa di più svolgere le operazioni” • “Quando devo risolvere un problema provo a svolgere subito le operazioni tra i numeri” • “ Per risolvere un problema bisogna saper fare i conti”.

Conclusioni personali L’opportunità di condurre un’indagine sperimentale in campo educativo, mi ha dato la possibilità di completare ed arricchire di nuove riflessioni il percorso formativo scandito dalle esperienze del tirocinio e dallo studio delle diverse discipline. Grazie a questa esperienza di ricerca, infatti, sebbene si sia fatto riferimento ad un numero basso di soggetti, ho avuto modo, approcciandomi con un’ottica razionale ai problemi dell’insegnamento, di conoscere alcune delle convinzioni possedute dai bambini sul concetto di problema. Convinzioni sulla cui costruzione e consolidamento, spesso a mio parere potrebbe rivestire un ruolo centrale anche l’insegnamento ricevuto, e in particolare il tipo di problemi utilizzati nella prassi scolastica. Pertanto, al fine di superare l’identificazione problema di matematica = numeri o operazioni numeriche abbiamo riscontrato nella maggioranza delle risposte, potrebbe essere produttivo lavorare sul problema in due direzioni: • da un lato presentando al bambino, insieme a problemi matematici operativi, anche una serie di problemi matematici teorici che richiedano un maggior grado d’astrazione; • dall’altro cercando di dedicare maggiore attenzione alla situazione problematica effettivamente riferita, tralasciando tutto ciò che sia inerente ai numeri. •

Problemi aperti • • • I risultati ottenuti pongono, pertanto, una serie di questioni teoriche e didattiche, che potrebbero essere il punto di partenza per nuove riflessioni: Quali sono i fattori, che inducono la maggior parte dei bambini a vedere il problema in un dato modo? Forse il tipo di insegnamento impartito? In che modo alcune delle convinzioni suddette influiscono sul rendimento scolastico? Si possono modificare i sistemi di convinzioni del bambino? In caso affermativo, come? Qual è la loro evoluzione durante gli anni scolastici?