I poligoni e la circonferenza Poligoni inscritti e

I poligoni e la circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio si chiama apotema del poligono. Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia: • inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza • circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza. 1

I poligoni e la circonferenza Caso dei quadrilateri Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti: § un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari A+D = π E+B = π § un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. AB + DE ≅ AE + BD 2

I poligoni e la circonferenza Caso dei quadrilateri Conseguenze: § un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti non è congruente alla somma degli altri due § un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile § un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono supplementari § un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo (quindi è circoscrittibile) 3

I poligoni e la circonferenza Poligoni regolari Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare. Se un poligono è regolare allora: • ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati • ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati • è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro 4

I poligoni e la circonferenza Poligoni regolari Inoltre: § i punti di una circonferenza che la dividono in n archi congruenti sono i vertici di un poligono regolare § le rette tangenti ad una circonferenza condotte per i punti che la dividono in n parti congruenti, intersecandosi, formano un poligono regolare di n lati 5

I poligoni e la circonferenza Punti notevoli dei triangoli Punti notevoli di un triangolo: • gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, centro della circonferenza circoscritta al triangolo • le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro, centro della circonferenza inscritta • le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro 6

I poligoni e la circonferenza Punti notevoli dei triangoli • le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra AO ≅ 2 ON BO ≅ 2 OS CO ≅ 2 OM Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel caso del triangolo equilatero. 7