I NUMERI IRRAZIONALI Il numero irrazionale definito logicamente

I NUMERI IRRAZIONALI Il numero irrazionale, definito logicamente, è un «mostro intellettuale» . Possiamo così capire perché i Greci e tante generazioni successive di matematici trovarono questi numeri difficili da afferrare. M. Kline (1972)

Pitagora e l’incommensurabilità Si pensa che Pitagora fosse nato a Samo nel 585 a. c. Certo è che è esistita una scuola pitagorica nella Magna Grecia, tra il 585 e il 400 a. c. Questa scuola era quasi una società segreta e al centro della sua visione c’era l’idea che «tutto è numero» . I pitagorici studiarono in particolare i rapporti tra i numeri e la divisibilità, sottolineando l’importanza di certi rapporti che consideravano particolarmente belli. Questo fu suggerito soprattutto dal loro interesse per la musica.

Pitagora e l’incommensurabilità Pizzicando a differenti lunghezze la corda di una cetra, si ottenevano suoni diversi e alcuni di questi, se prodotti simultaneamente, producevano una sensazione gradevole, «armonica o consonante» . Mentre altri producevano una sensazione sgradevole, «disarmonica o dissonante» . Esisteva una relazione tra l’ «armonia» e i rapporti delle lunghezze dei tratti di corda sollecitati.

Pitagora e l’incommensurabilità I risultati ottenuti suscitarono la fiducia nel valore supremo del numero. «Tutto si può esprimere come rapporto di numeri» Ma… ben presto fecero una scoperta che metteva in discussione le fondamenta di questa credenza.

Pitagora e l’incommensurabilità Tutti ricordiamo il famoso teorema di Pitagora. I Pitagorici avevano cercato una regola per trovare terne di numeri naturali che potessero essere i lati di un triangolo rettangolo, oggi dette «terne pitagoriche» . Esempi: 3, 4, 5; 7, 24, 25; … n, (n 2 -1)/2 , (n 2+1)/2, con n numero dispari.

Pitagora e l’incommensurabilità •

Pitagora e l’incommensurabilità Questa scoperta sconvolgente fu fatta da Ippaso di Metaponto, che fu ucciso per questo motivo (durante un viaggio in nave fu gettato in mare). Inoltre, chi avesse osato svelare il risultato ai non adepti sarebbe stato punito con il taglio della lingua. A parte queste leggende, i greci studiarono le grandezze incommensurabili ma le trattarono come delle anomalie.

Pitagora e l’incommensurabilità •

Numeri algebrici e numeri trascendenti •

Numeri algebrici e numeri trascendenti In generale, i numeri irrazionali si distinguono in: • Algebrici, cioè soluzioni di equazioni algebriche, • Trascendenti. Capiremo che, quelli che «riempiono i buchi della retta» rendendola continua sono effettivamente i numeri trascendenti. L’insieme di tutti i numeri, razionali e irrazionali, è detto l’insieme dei numeri reali R.

I numeri reali La definizione dei numeri irrazionali poneva una sfida tutt’altro che semplice. Cantor e Dedekind, verso la fine dell’ 800, arrivarono a definire i numeri reali, quindi gli irrazionali, basandosi su concetti non elementari. Perciò, a differenza di quanto fatto per i razionali, non accenneremo alla costruzione dei numeri reali.